构造斜率求恒成立问题中参数的取值范围

何方璇

在各省市的高考题中，常将导数作为压轴题的考查对象，而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题，本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点，发现一类恒成立问题，采用构造动函数分类讨论往往很困难，但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量，达到事半功倍的效果。

一、一道高考题的两种解法

【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f（x）=ax+cosx，

x∈[0，π]

（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

解：（1）略

解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈[0，π]等价转换为ax+cosx-1-sinx≤0，

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0

g′ （x）=a-cosx-sinx=a- sin（x+ ），

∵x∈[0，π]，∴ sin（x+ ）∈[-1， ]

①当a≥ 时，g′ （x）≥0，g（x）在x∈[0，π]上单调递增，

gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0

即a≤ ，所以a∈？准

②当a≤-1时，g′ （x）≤0，g（x）在x∈[0，π]上单调递减，gmax（x）=g（0）=0≤0

即a∈R，所以a≤-1

③当-1

g（x）单调递减，x∈（x0，π]，g′ （x）>0，g（x）单调递增。所以gmax（x）为g（0）和g（π）的最大值。

g（0）≤0g（π）≤0得a≤ ，所以-1

④当-1≤a< 时，令g′（x）=0，？埚x1∈（0， ），x2∈（ ， ），

当x∈[0，x1），g′ （x）>0，g（x）单调递增，因为g（0）=0，？埚x3∈[0，x1）使g（x3）≥g（0）=0

所以1≤a< 不成立。

综上所述a的取值范围为a≤ 。

解法2：ax+cosx≤1+sinx

①当x=0时，a∈R

②当x∈（0，π]时，a≤ ，

令g（x）=sinx-cosx+1= sin（x- ）+1，g（0）=0

则上式转化为a≤ =k，其中k为函数图象上点（x，

g（x））与点（0，g（0））连线的斜率。

由三角函数知识g（x）= sin（x- ）+1的函数性质。

在（0， ]上g（x）为下凸的单调递增函数，在[ ， ]上g（x）为上凸的单调递增函数，在[ ，π]g（x）为上凸的单调递减函数。故k为先递增后递减的函数。

所以kmin（x）为k（π）和 k（x）中取得，

其中 k（x）为函数在点（0，g（0））处切线的斜率，

k（x）=g′（0）=1，k（π）=

∵k（π）< k（x）∴kmin（x）=k（π）= ，∴a≤

综上所述a的取值范围是a≤ 。

解法1构造含参数的动函数，此法的难点在于就参数a进行分类讨论。若采用分离常数构造定函数利用导数求最值的办法，需要二阶求导和洛必达法则，超出了高中生的理解范围。

解法2采用了分离常数构造割线和切线斜率的办法，有效地规避了分类讨论，也降低了求导的繁琐程度。

二、高考中的应用举例

1.与原点连线斜率： 型

例1.【2008全国Ⅱ】

设函数f（x）= .

（1）求f（x）的单调区间；

（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围。

解：（1）增区间（2kπ- ，2kπ+ ）（k∈Z）；减区间（2kπ+ ，2kπ+ ）（（k∈Z））.

（2）因为对任何x≥0，都有f（x）≤ax，于是a>0

由于函数f（x）= 是周期为2π的，

且函数y=ax是增函数，因此只需研究x∈[0，2π）情形。

又当x∈[π，2π]时，f（x）≤0，即只需研究x∈[0，π）情形。

①当x=0时，a∈R

②当x>0时，令g（x）= ，问题等价变换为a≥ =k，

其中k为函数图象上点（x，g（x））与点（0，g（0））连线的斜率。

下面考查g（x）= 的函数性质。

g′（x）= ，g′′ （x）= ≤0

在（0， ]上g（x）为上凸的单调递增函数，在[ ，π]上g（x）为上凸的单调递减函数。

故k为单调递减的函数。

所以k（x）< k（x），其中 k（x）为函数在点（0，g（0））处切线的斜率。

k（x）=g′ （0）= ∴k（x）< ，所以a的取值范围为a≥ 。

综上所述a的取值范围是a≥ 。

2.非原点连线斜率： 型

例2.已知函数f（x）=（1+x）lnx；

（1）求f（x）=1处的切线方程。

（2）设g（x）= ，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）<-2，求实数a的取值范围。

解：（1）切线方程为y=2x-2

（2）当x∈（0，1）时，f（x）<0，x-1<0，g（x）<-2故a<0；

g（x）<-2可等价变换为a>

令h（x）=（1+x）lnx，则上式转化为a>- · =- k，其中k为函数图象上点（x，h（x））与点（1，h（1））连线的斜率。

下面考查h（x）=（1+x）lnx的函数性质。

由h′ （x）=lnx+ +1，h′′ （x）= <0，h′ （x）在（0，1）上单调递减，

h′ （x）>h′ （1）=2>0

所以h（x）在（0，1）上是上凸的单调递增函数，故k为单调递减的函数。

所以k（x）> k（x），其中 k（x）为函数在点（1，h（1））处切线的斜率。

k（x）=h′ （0）=2

∴k（x）>2，- k<-1所以a的取值范围为a≥-1。

综上所述a的取值范围是a∈[-1，0）。

3.代换转化型：

例3.【2011年高考全国新课标卷理科21】

已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0。

（1）求a、b的值；

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）> + ，求k的取值范围。

解：（1）a=b=1

（2）当x>0，且x≠1时，f（x）> + 等价变换为k< +1

令t=x2，则x= ，1-k> ，设p（t）= lnt，则1-k> = =m

其中m为函数图象上点（t，p（t））与点（1，p（1））连线的斜率。

以下考查p（t）= lnt的函数性质。

p′（t）= （lnt+2），p′′ （t）=- lnt

p（t），p′ （t），p′′ （t）在区间（0，+∞）上的情况如下：

所以p（t）在（0， ）上为下凸的递减函数，在（ ，1）上为下凸的递增函数，在（0，+∞）上为上凸的递增函数，即m值先增大再减小，在t=1时取最大值。

所以m（t）> m（t），其中 m（t）为函数在点（1，p（1））处切线的斜率。

m（t）=p′（1）=1∴m>1，1-k>1所以k的取值范围为k≤0。

综上所述a的取值范围是k≤0。

三、教学反思

在高中数学中，有关函数和不等式的问题，学生大多数想到就是构造函数，通过求导证明单调性来研究问题。经过多年的训练，学生已经形成了思维定势，很难有新的突破。其实跳出固有思维，利用函数图象直观地理解问题，抓住问题的本质，往往可达到柳暗花明的效果。导数的本质是斜率的极限，从这个意义上来说，斜率更是至关重要。

参考文献：

熊欣，徐章韬.拉格朗日中值定理的初等化应用[J].数学通讯，2012（07）.

编辑 温雪莲