试论微积分在概论统计中的应用

2016-03-15陈洁

课程教育研究 2016年1期

【摘要】概率统计就是针对与自然界中随机出现的统计规律，微积分不仅是概率统计的基础，概率统计与微积分之间是相互联系、相互发展的。通过一些实例的解答，讨论微积分在概率统计中的应用。

【关键词】微积分概率统计函数应用

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0133-02

微积分与概率论是两门非常重要的数学学科，均为高等学校理工专业的必须课程，为后续专业课提供必要的数学工具。虽然两者发展路径不太一样，但两者间却有着密切的关系，可以说微积分是概率论的地基，概率论是微积分的延续。作为微积分课程的一门后续课程——概率论，如何正确巧妙地运用微积分方法技巧是值得重视的问题。本文试图归纳一些问题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的用途，同时希望在学习微积分、概率论时引起注意，从而产生更多、更好的微积分方法为概率论所应用。

1.概率统计与微积分之间的联系

概率统计就是针对自然界的不确定性的现象，包括结果的不确定、偶然随机现象所呈现出的集体性规律，再根据概率论、数理统计的方法，统计出数据的规律性。然而对于微积分，也就是研究函数的微分、积分以及有关函数概念与函数应用的数学分支，微积分在建立中的出发点就是直观的无穷小量，这个基础理论显然也是不牢固的，通过19世纪柯西与维尔斯特拉斯的极限理论以及康托尔的实数理论，才形成当前严密化的微积分知识。而且若果说没有微积分的推动，那么对于概论统计中的公理化、系统化学科也将很难形成。微积分同概论统计之间是有一定的亲缘关系，微积分不仅可以决定概率论中的确定论特征，概率论的发展也是另辟蹊径，概论统计中不仅有着非线性、反因果的特征，微积分更是可以渗透到概率统计中的各个方面。

因之，微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域。随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等，显然借鉴或搬运了微积分的现有成果。又如概率论中运用微积分的基础——极限论的地方也非常多，诸如分布函数的性质、大树定律、中心极限定律等。总之，微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面。

2.微积分在概率统计中的实际应用

2.1微分法

某些随机事件的概率有依赖于1个变量的特点（比如依赖于时间变量等）。该概率作为1个未知函数，有类比于通过微分方程确定未知函数的途径，从局部性质（增量研究）入手，由微分的方法可求出所需的概率。

例1 某机器在△t时间内因故障而停止的概率为a△t+o（△t）（a为正常数）。如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立，如在时刻t0机器在工作着。试求此机器由t0到t0+t这段时间内不停工作的概率。

解：在机器工作稳定的情况下，所求概率应该只与时间区间[t0，t0+t]的长短有关，而与起点t0无关。故所求概率只是t的函数，记为P（t）。由于对P（t）的整体性状的信息认识不足，只是局部地知道机器在充分小的△t时间内因故障停车的概率为a△t+o（△t）。可以先去考查P（t）在局部范围的增量变化特征。明显地，机器[t0，t0+t+△t]内不停，当且仅当在[t0，t0+t]及[t0+t，t0+t+△t]2段时间内都不停时才成立。利用这2个事件的独立性可得：

2.2逐项微分法

根据变量数学期望与方差的定义，利用随机变量的概率分布或分布密度的特点，可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差。对于概论分布或分布密度含有参数的随机变量，也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差。

2.3幂级数法

级数是数学的重要组成部分，是表示函数的重要工具。所谓幂级数法，就是在某个任意点的领域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代之方程以逐个确定系数。幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论。

2.4特殊函数法

Gamma函数与Beta函数在概率论中有着广泛的应用，借助Gamma函数，概率论中有重要的？祝分布和x2分布。

由此可见，微积分是学习概率论的基础。犹如以上几例经常遇到用微积分的基本方法去解决一些概念问题。

微积分有着几百年的历史，已经非常完善，也许这也是为什么数学家们用微积分解决概率论问题的原因之一，微积分确实推动了概率论这门学科的快速发展。反之，概率论的很多思想也可以用于解决复杂的微积分问题，希望我们可以发现更多地方法，用于两者的共同发展。

参考文献：

[1]马文.概率的应用及思维方法[M].重庆：重庆大学出版社，1989.

[2]孙春香，李冠军.数学建模思想在概率统计教学中的应用[J].科技资讯，2012，14（12）：76-77.

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