启发式教学法在线性代数教学中的应用研究

杨涌 文军 海昕

摘 要：与其他数学公共课程相比，线性代数课程具有内容抽象的突出特点。以Cramer法则教学内容为例，基于教学难点，结合教学实践和体会，探讨了启发式教学法在线性代数教学中的应用。

关键词：线性代数；启发式教学法；数学课程

线性代数是很多工程技术知识的基础，因此对非数学专业而言，线性代数课程是最重要的基础数学课程之一。线性代数课程的学时一般较少，但是概念和方法很多，并且表述抽象，这样就使一些看似简单的基本概念和方法对于学生而言在学习时也有难理解、难掌握的感觉，从而导致学习过程中的困惑、失落和畏难情绪。

导致这种难学难懂状态的基本原因可以从课程的特点和学生的基础两个方面进行分析：线性代数课程使用的教材一般注重逻辑的严谨性和表述的数学化，重点突出理论知识，用纯数学方法和技巧来描述普适性的规律，强调培养学生的抽象思维能力；而大一新生的数学知识与思维能力还局限于中学阶段，并未完全具备严谨的抽象理解和推理技能。因此当课程中的知识体系与学生已学知识没有太多联系，并且内容高度抽象，表面上与后续专业课程结合不紧密时，就会使学生对线性代数课程的认识形成难学并且不实用的直观印象。

从一般的认知规律而言，人们对于自然现象的分析都遵从由特殊到一般，由具体到抽象的过程。如何在线性代数课程的教学中按照认知规律，以学生为中心对教学方法进行改进和完善，培养学生的学习兴趣，使线性代数的教学能够做到易教易学是近年来线性代数教学工作者关心的重点问题之一。本文结合线性代数课程教学实践，以Cramer法则的证明为例，探讨启发式方法在实际教学中的应用。

一、对启发式教学法的认识

启发式教学法源于中国古代儒家的教育思想。在现代教育中，启发式教学被认为是一种可以有效开发学生创造性，培养学生主动思考和自主学习能力的教学模式。在具体实施中强调以学生为基本出发点，发挥好老师的主导作用，无论对学生还是老师都提出了更高的要求。

启发式教学法的实施就是教师从学生已有知识和思维模式出发，通过创设具有启发性的情境以及适时的思维指导，激活学生的思维，引导学生主动思考并达成教学目标。

线性代数课程旨在培养学生的抽象思维和形象思维能力以及学会把握这两种思维之间的联系，让学生探索对数学问题本质的理解，提高学习的主动性和解决问题的能力。因此能否将抽象的知识理论与学生认知结构中已有的知识建立起自然而内在的联系，直接决定了教学效果的优劣。

针对启发式教学法和线性代数课程教学的要求，在线性代数教学中引入启发式方法，引导学生将思维和情感融入教学过程中，从而生成积极而有效的教与学的有机过程将明显提高学生的学习积极性，从而改善教学效果。

二、启发式教学法在Cramer法则证明中的应用及实效分析

本节以Cramer法则的部分教学内容为例，浅谈启发式教学法在线性代数教学中的具体应用。

教学内容：Cramer法则是我校自编教材《线性代数与解析几何》第一章第五节的内容，具体内容如下：

定理1.3 若线性方程组

a11x1+a12x2+…a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2……an1x1+an2x2+…annxn=bn，

的系数行列式D≠0，则它有唯一解

xj= ，j=1，2…，n

其中Dj是把D的第j列换成常数列所得到的行列式，

即：Dj= bkAkj。

证：把xj= ，（j=1，2，…，n）代入线性方程组得：

aijxj= aijxj = aijDj

= aij bkAkj

= bk ai j Ak j

= bk？啄ikD，i=1，2，…，n其中：？啄ik=0 i≠k1 i=k，因此这组值是线性方程组的解。

……

（唯一性的证明略）

教学难点分析：Cramer法则的结论简洁直观，结论的证明过程具有高度的概括性和抽象性，具有显著的“数学之美”，但在实际教学过程中发现，对于初学线性代数的大一新生而言要较好地理解上述证明过程具有一定的难度。

学生学情分析：学生在学习该内容之前已经在第一节中利用中学阶段学习的线性方程组求解结果得到了关于二阶行列式和三阶行列式的相关结论；在之后的章节中已经学习过n阶行列式的系统理论，已经具备了掌握上述证明过程的基本知识。但对于此时接触线性代数知识体系只有两周左右的大一新生，在抽象表述和思维能力方面还具有一定的局限性，要理解好证明过程具有一定的难度，特别是与多维坐标相联系的求和抽象表示符号上难以很好地掌握。

教学难点破解：结合教学难点和学情分析，考虑到自然规律认知过程，在具体教学实施过程中引入了启发式教学法，做如下设计：

首先引导学生将结论代入一个具体的方程进行分析：把xj= ，（j=1，2…，n）代入线性方程组的第一个方程得：（分析过程中有意识将行、列对齐，方便学生在后续分析加强理解）

a11 +a12 +…+a1n

= [a11（b1A11+b2A21+…+bnAn1）]+a12（b1A12+b2A22+…+bnAn2） （*）

+…+a1n（b1A1n+b2A2n+…+bnAnn]

= [b1（a11A11+a12A12+…+a1nA1n）

+b2（a11A21+a12A22+…+a1nAn2） （**）

+…+bn（a11An1+a12A2n+…+a1nAnn]

=b1

然后利用观察启发和讨论启发两种不同的方式来进行设问和思维引导：（1）上述过程是否可以采用更加简洁、抽象的数学表示形式？（2）如何将上述过程改写为对任意一个方程来进行表述？

在对问题（1）的回答过程中引导学生首先将（*）式中每个小括号内的求和表达式（即每一行内部）按照Akj行坐标的顺序采用求和符号可简记为 bkAkj，再将（*）式不同行之间的求和运算按照Akj和a1j下列坐标的顺序简记为 a1j bkAkj；对于（**）式也进行上述分析，这样学生可以通过自己的主动思维，较好地理解与多维坐标相联系的双重求和符号 （…） （…）的实际意义及其变换顺序为 （…） （…）的实际过程，为后续的学习提供较好的基础。在对问题（2）的回答过程中引导学生深刻理解线性方程组的系数行列式中元素的行坐标与方程之间的实际联系，使学生深刻理解线性方程组的系数行列式中元素行坐标、列坐标与方程表达式之间的联系及其抽象表示。

最后在上述分析的基础上，让学生自主写出定理结论的证明过程，并对存在的问题进行讲解。

教学效果总结：在实际教学中引入上述启发式教学法后，通过对一个具体的方程进行分析，推导出简洁的抽象表述，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认知规律。学生反映对于学习中的难点有了更加直观和深刻的理解，有助于线性代数学习初期抽象表述能力、抽象思维能力的培养和提高。

本文结合线性代数教学中启发式教学法的应用，以Cramer法则的证明为例，探讨了对教学具体环节的改进，目的是克服教学中的难点，达到教学目标，这一改进在实际教学中取得了良好的效果。

线性代数课程由于内容抽象等特点，使其教与学的过程中存在一定的困难，而启发式教学法在线性代数课程的实际教学中体现出了独特的优势，不仅可以加深学生对抽象内容的理解，也可引导学生在分析实际问题时透过表面现象去探寻本质，从而提高抽象表述能力、抽象推理能力、协作探索能力等，提高数学综合素质及应用能力。但是，由于线性代数实际教学课时的限制，在完整的课程教学中如何系统、有效地实施启发式方法仍有一些问题需要进行深入探讨。

参考文献：

[1]冯良贵，戴清平，李超，等.线性代数与解析几何[M].科学出版社，2008.

[2]谢政.线性代数[M].高等教育出版社，2012.

[3]李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化，2004（1）：30-33.

[4]吴翊.启发式教学再认识[J].中国大学数学，2011（1）：67-68.

[5]王跃恒，李应求.关于以学生为中心的线性代数教学研究[J].中国大学数学，2011（8）：59-61.

[6]张忠华，李明睿.现代大学贯彻启发式教学的阻力与对策研究[J].现代教育科学，2009（6）：62-65.

编辑 薛直艳