中心以外的非循环子群自正规化的有限群

钟祥贵, 张晓蕾



中心以外的非循环子群自正规化的有限群

钟祥贵, 张晓蕾

(广西师范大学数学与统计学院, 广西桂林, 541004)

利用中心以外的非循环子群自正规化性质, 刻画了有限群的结构, 得到: 如果对于有限群的每个素数幂阶非循环子群, 或者≤(), 或者|N() :≤ 2, 则是超可解群。对于任意非循环非中心子群满足N() =的有限群, 给出了它的结构分类。

有限群; 非循环子群; 指数; 正规化子

利用非循环子群的性质可以给出群的结构刻画[1-8]。2014年, 文献[1]研究了某些非循环子群在其正规化子中的指数较小时有限群的结构, 并且证明, 如果对于有限群的每个素数幂阶非循环子群,|N() :2, 则是超可解群。本文继续文献[1]的工作, 在更弱的条件下给出非循环子群自正规化的有限群的一些结构性质。本文讨论的群为有限群, 未加说明的符号均为标准的[9-10]。

1 主要引理

引理1[9]设有限-群有2个极大子群是交换的, 则至少有+ 1个极大子群是交换的。

引理2[10]设为超可解群, 则为幂零群。

引理3[9]设是有限群。如果的所有Sylow子群都循环, 那么= <,= 1 =,-1=>, 其中1(mod),是奇数, 0≤<,与(−1)是互素的。

引理4[11]设是内超可解群, 则下列结论成立:

(1) 存在的正规Sylow-子群, 并且()为() 的极小正规子群;

(2) 若2, 则exp=。若= 2, 则exp≤4。

引理5[11]设是有限群。若=, 其中,是的超可解正规子群, [,]幂零, 则超可解。

引理6[11]设是的最小素因子, 若的生成子群数2++ 1, 则超可解。

2 主要结果及其证明

定理1 设为有限群。如果的每个素数幂阶非循环子群均有≤(), 或者| N() :≤2, 则是超可解群。

证明 运用极小反例法。假设这个定理结论不正确, 设是极小阶反例。

设是的任意一个真子群,是的任意素数幂阶非循环子群, 且≮(), 显然≮()。依定理1假设,|N() :≤2, 从而|N() :≤2。由的极小选择,是超可解群, 则为内超可解群。

根据引理4(1),=, 其中是的正规Sylow-子群,是的一个补。显然是超可解的, 并且= 1。如果≤(), 则=, 所以。又因为是超可解的, 根据引理2,幂零, 所以幂零。再根据引理5可知超可解, 矛盾。所以≮()。如果≤(), 则由于()同构于()(())是超可解的, 根据文献[10](IX, 推1.13)知超可解。矛盾。所以,≮(), 从文献[11](定理7.3)得到是非循环子群。

根据定理1假设, 可设|N() :≤2, 因为正规于, 所以:= 2,为奇素数。设*为的极大子群,*正规于。如果*≤(), 则*Φ()为Φ()的正规子群。这与引理4(1)的结果相矛盾。所以*≮()。若*非循环, 则由≤ N(*)及定理1假设, 得到=|N(*) :*≤2。矛盾。所以*循环,是的极小非循环-群。注意到为奇素数, 根据文献[9](III, 定理6.7)可知≌, 从而是非交换22阶群。再根据引理6知是超可解群。矛盾。

定理2 设是非交换的幂零群, 则对于的任意非循环子群均有N() =, 或者≤()的充分必要条件是与下列群之一同构: (1),是素数; (2)8。

证明 充分性显然, 只证必要性即可。

因为是幂零群, 根据文献[9](IV, 定理2.7)可知的每个极大子群都正规。设为的任一极大子群, 则|N() :=:=, 其中是素数。若非循环并且≮(), 则由定理1假设,|N() := 1。矛盾。从而或者循环或者≤()。若≤(), 则= <>, ∀∈, 所以为交换群。矛盾。即为循环群。又因为非交换, 所以是内循环群。根据文献[9](III, 定理6.7)可得≌或≌8。

定理3 设是非幂零群。则对于的任意非循环子群均有N() =, 或者≤() 的充分必要条件是同构于超可解群<,= 1 =,-1=>, 其中是的最小素因子, ((1),) = 1, ≡ 1(mod),>>1,1。

证明 必要性。首先证明断言:的所有Sylow子群都是循环群。事实上, 由定理1可知为超可解群,至少有一个正规的具有素数指数的极大子群。设为这样的一个极大子群,:=为素数。如果非循环, 则由于|N() :=:1, 依定理1假设,≤()。从而=<,>, 其中∈。这导致是交换群, 从而是幂零群。矛盾。所以必为循环群。注意到:=,的任何Sylow-子群(≠) 均循环, 并且正规于。为完成上述断言的证明, 只需要证明的 Sylow-子群循环即可。

若否, 则有非循环的Sylow-子群。若≤(), 注意到正规于, 有为幂零。矛盾。所以≮()。因为非循环, 由定理2假设N() =, 如果非交换, 则≌8。若交换, 根据文献[9](IV, 定理5.14)知≌1。又因非循环,至少有2个不同的极大子群1,2。注意到≮(), 所以1,2至少有一个不是()的子群。不妨设1≮(), 记=1。容易看到正规于≤, 则N() ≥>, 所以≠ N()。由定理2假设得到循环或者≤()。若≤(), 则1≤()。矛盾。所以≮()即循环,1≤ C()。如果1,2均不是()的子群, 则≤ C()。为幂零。矛盾。所以只有一个极大子群不是()的子群, 其余的均含于中心。由于≮(), 所以只有2个极大子群, 其中一个含于中心, 另一个不含于中心。显然交换。从而只能≌1。而根据引理1,1不可能只有2个极大子群。矛盾。所以断言成立。

由上述证明及定理1假设可知,的所有Sylow子群都是循环的并且是非幂零的。根据引理3,= <,= 1 =,-1=>,((1),) = 1, ≡ 1(mod),>>1,>1。设是任一素因子,=<,>。由的定义关系可知, <> ≤ N(), 从而≮N()。又≮(), 所以定理1假设蕴含循环。故1(mod)。设是的最小素因子, 则是使1(mod)的最小正整数。如果至少有2个不同的素因子,。注意到(1,) = 1,-1+-2+++10(mod), 其中=或=。这导致整除。矛盾。所以=,为正整数。从而<>是的Sylow-子群。下面证明是的最小素因子。若否, 则存在的最小素因子使。设是的Sylow-子群, 则≤ <>循环。根据文献[9](II, 定理5.5)知是-幂零的。从而有正规-补使得=。因为≮(),< N() =。按定理1假设,是循环的。因为,为-群, 所以包含的任一Sylow-子群。从而<> ≤。由于<>char及正规于,得到<>正规于。矛盾。所以是的最小素因子, 并且同构于<,= 1 =,-1=>, 其中 ((1),) = 1,≡ 1(mod),>>1,≥ 1。

充分性。设是的非循环子群。根据的定义关系, 设=, b>, 其中为正整数,∈。注意到<>正规于并且=N() 等价于=N()。不妨设= 1, 即=,。显然≤()不能成立, 下面证明=N()。

取=a∈N(),,均为正整数。因为<>正规于蕴含<>正规于, 所以=H= < (), b>= <, b>== <,>。从而<b>,<>均为的Sylow子群。根据Sylow定理, 存在∈使<b>= <>。设=b1()2, 其中1,2为正整数。则存在正整数使b= ()1(al) y2。从而-1+x=(r-1)(j-2)。注意到<><>= 1。有-1+x= 1 =(r-1)(j-2)。即1(mod), (1)(2)0 (mod)。又由(1,) = 1可得20 (mod), 则=a=ba2= b()2∈, 即=N()。证毕。

总结定理2和定理3可得到定理4。

定理4 设是有限群。如果对于的任意非循环子群, 均有N() =, 或者≤(), 那么与下列群之一同构: (1) 交换群; (2)8; (3) <,= 1 =,-1=>, 其中是的最小素因子, 并且((1),) = 1,≡1(mod),>>1,≥1。

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[9] 徐明曜. 有限群导引(上册)[M]. 2版. 北京: 科学出版社, 1999.

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[11] 陈重穆. 内外群与极小非群[M]. 重庆: 西南师范大学出版社, 1988.

(责任编校: 刘晓霞)

Finite groups with some non-cyclic subgroups outside centre being self-normalizing

Zhong Xianggui, Zhang Xiaolei

(College of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China)

By some non-cyclic subgroups outside centre being self-normalizing to characterize the structure of finite groups, the results were obtained as follows: A finite groupis always supersolvable if either|N() :≤2 or≤() for every non-cyclic subgroupofof prime-power order. Also, finite groupswith all non-cyclic subgroups being self-normalizing or contained in() are completely classified.

finite groups; non-cyclic subgroup; index; normalize

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.04.001

O 152.1

1672–6146(2016)04–0001–03

钟祥贵, xgzhong@gxnu.edu.cn。

2016-05-19

国家自然科学基金项目(11261007); 广西省自然科学基金项目(2014GXNSFAA118009); 广西高校科学技术研究项目(ZD2014016)。