两类非线性Schrödinger型方程的局部临界周期分支
2016-03-15杨剑,黄文韬
两类非线性Schrödinger型方程的局部临界周期分支
引文格式： 杨剑，黄文韬.两类非线性Schrödinger型方程的局部临界周期分支[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(1)：71-75.
杨剑1，黄文韬1,2
(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004；
2.贺州学院 数学系，广西 贺州 542800)
摘要：针对非线性Schrödinger型方程的局部临界周期分支问题，通过行波变换将两类Schrödinger型方程转换为同一等价Hamiltonian系统，应用Mathematica计算Hamiltonian系统的周期常数，得到原点为一阶细中心的充要条件，并证明了该系统在原点邻域存在一个局部临界周期分支。分析结果表明，两类非线性Schrödinger型方程均恰有一个局部临界周期分支，即在原点附近邻域内闭轨周期的单调性变换一次。
关键词：周期常数；细中心；局部临界周期分支
在微分方程定性理论中，极限环和局部临界周期分支(简称临界周期分支)问题是2个重要的研究方向，具有代表性的研究成果见文献[1-14]。动力系统临界周期分支描述了奇点附近邻域内闭轨周期的单调性变换的次数，单调周期函数已被运用于机械振动和波理论等，如文献[15-17]研究了闭轨周期单调性和临界周期分支问题。
非线性Schrödinger型方程
(1)
是奥地利物理学家Schrödinger[18]于1925年提出的量子力学的一个基本方程，是将物质波和波动方程相结合建立起来的非线性偏微分方程，被广泛应用于物理、化学等领域。
考虑两类Schrödinger型方程：
(2)
(3)
其中r2、s0、s2、c3、c5为实常数。
Guo等[19]用辅助方程法研究了方程(2)的精确行波解，Huang等[20]用双曲辅助方程法研究了方程(3)的行波解，Zhu[21]用扩展的双曲辅助方程法研究了方程(3)的行波解。Geng等[22]通过行波变换将方程(2)和方程(3)转换为同一等价Hamiltonian系统：
(4)
其中：
其对应的Hamiltonian函数为：
(5)
Geng等[22]应用动力系统方法和分支理论对系统(4)进行了研究，给出了方程的参数空间分岔集和相应的相图，并得到了不同参数条件下所有可能的行波解。
目前，关于方程(4)奇点邻域内闭轨周期单调性变换次数问题的研究还很少。鉴于此，应用复系统周期常数计算方法，研究系统(4)的中心情况和临界周期分支问题，并得到了方程(2)和方程(3)的临界周期分支情况，即周期波解单调性变换次数。
1预备知识
考虑系统原点为非退化中心且在原点邻域解析的实系统：
(6)
其中参数λ∈Λ。
由文献[23]可知，通过
变换，系统(6)变为下列复系统：
(7)
其中：
显然系统(7)的系数满足共轭关系：
(8)
称系统(6)与系统(7)互为伴随。
通过极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ，系统(6)变形为：
(9)
其中：
(10)
(11)
由文献[24]可知，在原点充分小的邻域内，设P(h,λ)为系统(9)通过(h,0)的闭轨的最小周期函数，则P(h,λ)局部可积且泰勒展开式为：
(12)
定义1针对系统(6)原点的中心情况，若存在λ*，使得
(13)
则称原点为k(k∈R)阶细中心；当k=0时，原点为粗中心；若存在任一正整数m，使得P2m=0，则原点为等时中心。
定义2对于参数λ*∈Λ，系统(6)的原点为细中心，当ε0>0时，对任意ε∈(0,ε0)和任一λ*的充分小邻域W，有λ1∈W，使得P′(h,λ)=0在U=(0,a)内恰好有k个解，则称λ*系统有k个局部临界周期分支。
定义3考虑如下集合：
记
V(f1,f2,…,fl)={λ|fi(λ)=0(i=1,2,…,l),λ∈RN}，f∶RN→R,称f1,f2,…,fl相对于f在λ*∈V(f1,f2,…,fl)上是无关的。
1)λ*的任意邻域包含一个λ∈V(f1,f2,…,fl)，使得fl(λ)f(λ)<0。
2)对于变量V(f1,f2,…,fj),2≤j≤l-1，存在λ∈V(f1,f2,…,fj)，fj+1(λ)≠0，且λ的任一邻域W都包含一个σ∈V(f1,f2,…,fj-1)，使得fj(σ)fj+1(λ)<0。
3)若λ∈V(f1)，f2(λ)≠0，则λ的任一邻域W*均包含一个σ，使得f1(σ)f2(λ)<0。
显然，若f1,f2,…,fl相对于f在λ*∈V(f1,f2,…,fl)是无关的，则任意λ∈V(f1,f2,…,fk-1)使得fk(λ)≠0时，对于每个k，f1,f2,…,fk-1相对于fk是无关的。
引理1[1]设系统参数为λ*时，系统(6)的原点为一个k阶细中心，则至多有k个临界周期从原点分支出来。若原点的周期常数P2,P4,…,P2k相对于P2k+2是无关的，则对于满足m≤k的任意正整数m，恰好有m个临界周期分支。
2细中心与局部临界周期分支
由文献[22]可知，当
λ=(d0,d1,d2)∈Ci(i=1,2),
其中,
(14)
系统(4)的原点O(0,0)为中心。
通过
变换，系统(4)可变换为其伴随复系统：
(15)
其中：
应用文献[23]中的递推算法，利用Mathematica软件分别计算在C1、C2条件下系统(15)原点的复周期常数，可得到原点细中心的阶数及临界周期分支的个数。
(16)
其中d0≠0。
由τ1=0可知，d1=0，τ2=τ3=…=0，则系统(4)可变形为：
(17)
显然系统(17)是线性系统，此时原点为等时中心。
定理2当λ=(d0,d1,d2)∈C1时，原点为系统(4)的等时中心的充分必要条件是λ=(d0,d1,d2)∈S1。其中：
(18)
(19)
其中d0≠0,τ1=…=τk-1=0,k=2。
从τ1=0可知，d1=0。由λ=(d0,d1,d2)∈C2可知，d1、d2不同时为零，则τ2≠0。系统(4)的原点至多是一阶细中心，则最多有一个局部临界周期分支。
定理4当λ=(d0,d1,d2)∈C2时，系统(4)的原点为一阶细中心，当且仅当λ=(d0,d1,d2)∈S2，其中，
(20)
定理5若系统(4)的原点为一阶细中心，则至多有一个局部临界周期从原点分支出来，且恰有一个局部临界周期分支。
证明由文献[24]知，对于系统(4)在原点充分小邻域内通过(h,0)的闭轨周期(最小正周期)函数可表示为：
(21)
其中：P2k为实系统(4)原点的第k个周期常数；τk为伴随复系统(15)原点的第一个非零复周期常数；P2k与τk满足P2k=-πτk。
P(h,y)的一阶导数为：
(22)
其中G4(h)为关于h的二阶多项式。
设d0=1,d1=0,d2=1,可知τ1=0,τ2=0.375,G4(h)无正零点，因此需要通过扰动得到。令ε1=-0.000 000 01,ε2=-0.000 1，有d0=1,d1=0+ε1=-0.000 000 01,d2=1+ε2=0.199 9。在ε1、ε2的扰动下，可知τ1=-1.5×10-8,τ2=0.374 813,经计算可知，G4(h)有一个正零解h=0.000 141 457。
3结束语
通过行波变换将两类Schrödinger型方程(2)、方程(3)转换为同一等价Hamiltonian系统(4)，应用Mathematica计算该系统的周期常数，得到了原点为一阶细中心的充要条件，并证明了该系统在原点邻域存在一个局部临界周期分支。分析结果表明，在式(14)成立时，系统(4)原点可通过扰动分支出一个局部临界周期分支，方程(2)和方程(3)在连续周期波解u(x,t)≡0邻域内存在一个局部临界周期分支，即在原点附近邻域内闭轨周期的单调性变换一次。其他非线性Schrödinger型方程的中心情况及临界周期分支问题仍需进一步研究。
参考文献:
[1]CHICONEC,JACOBSM.Bifurcationofcriticalperiodsforplanevectorfields[J].TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety,1989,312(2):433-486.
[2]SIBIRSKIKS.Onthenumberoflimitcyclesintheneighborhoodofasingularpoint.[J].Differentsial’nyeUravnenija,1965(1):53-66.
[3]LINYiping,LIJibin.Normalformandcriticalpointsoftheperiodofclosedorbitsforplanarautonomoussystems[J].ActaMathematicaSinica,1991,34:490-501.
[4]ROUSSEAUC,TONIB.Localbifurcationofcriticalperiodsinvectorfieldswithhomogeneousnonlinearitiesofthethirddegree[J].CanadianMathematicalBulletin,1993,36(4):473-484.
[5]ROMANOVSKIVG,HANMao’an.Criticalperiodbifurcationsofacubicsystem[J].JournalofPhysicsAGeneralPhysics,2003,36(18):5011-5022.
[6]ZHANGWeinian,HUOXiaorong,ZENGZhenbing.Weakcentersandbifurcationofcriticalperiodsinreversiblecubicsystems[J].Computers&MathematicswithApplications,2000,40(6):771-782.
[7]CHENXingwu,ZHANGWeinian.Decompositionofalgebraicsetsandapplicationstoweakcentersofcubicsystems[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics,2009,232(2):565-581.
[8]YUPei,HANMaoan.Criticalperiodsofplanarrevertiblevectorfieldwiththird-degreepolynomialfunctions[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,2009,19(1):419-433.
[9]ROUSSEAUC,TONIB.LocalbifurcationsofcriticalperiodsinthereducedKuklessystem[J].CanadianJournalofMathematics,1997,49(2):338-359.
[10]MANOSASF,VILLADELPRATJ.Anoteonthecriticalperiodsofpotentialsystems[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,2006,16(3):765-774.
[11]YUPei,HANMao’an,ZHANGJizhou.Criticalperiodsofthird-orderplanarhamiltoniansystems[J].InternationalJournalofBifurcationandChaos,2010,20(7):2213-2224.
[12]ZOULan,CHENXingwu,ZHANGWeinian.LocalbifurcationsofcriticalperiodsforcubicLiénardequationswithcubicdamping[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics,2008,222(2):404-410.
[13]XUQiujin,HUANGWentao.ThecenterconditionsandlocalbifurcationofcriticalperiodsforaLiénardsystem[J].AppliedMathematicsandComputation,2011,217(15):6637-6643.
[14]CHENTing,HUANGWentao,RENDacheng.WeakcentersandlocalcriticalperiodsforaZ2-equivariantcubicsystem[J].NonlinearDynamics,2014,78(4):2319-2329.
[15]DUZhengdong.OnthecriticalperiodsofLiénardsystemswithcubicrestoringforces[J].InternationalJournalofMathematicsandMathematicalSciences, 2004(61):3259-3274.
[16]GASULLA,ZHAOY.Bifurcationofcriticalperiodsfromtherigidquadraticisochronousvectorfield[J].BulletinDesSciencesMathematiques,2008,132(4):292-312.
[17]CIMAA,GASULLA,DASILVAPR.Onthenumberofcriticalperiodsforplanarpolynomialsystems[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2008,69(7):1889-1903.
[18]SCHRÖDINGERE.Anundulatorytheoryofthemechanicsofatomsandmolecules[J].PhysicalReview,1926,28(6):1049-1070.
[19]GUOBolong,WUYaping.Orbitalstabilityofsolitarywavesforthenonlinearderivativeschrödingerequation[J].JournalofDifferentialEquations,1995,123(1):35-55.
[20]HUANGDingjiang,LIDesheng,ZHANGHongqing.ExplicitandexacttravellingwavesolutionsforthegeneralizedderivativeSchrödingerequation[J].Chaos,Solitons&Fractals,2007,31(3):586-593.
[21]ZHUShundong.Exactsolutionsforthehigh-orderdispersivecubic-quinticnonlinearSchrödingerequationbytheextendedhyperbolicauxiliaryequationmethod[J].Chaos,Solitons&Fractals,2007,34(5):1608-1612.
[22]GENGYixiang,LIJibin,ZHANGLixiang.ExactexplicittravelingwavesolutionsfortwononlinearSchrödingertypeequations[J].AppliedMathematicsandComputation,2010,217(4):1509-1521.
[23]黄文韬.微分自治系统的几类极限环分支与等时中心问题[D].长沙：中南大学，2004.
[24]叶彦谦.多项式微分系统定性理论[M].上海科学技术出版社，1995.
编辑：张所滨
Local bifurcation of critical periods for two nonlinear Schrödinger type equations
YANG Jian1, HUANG Wentao1,2
(1.School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China；
2.Department of Mathematics, Hezhou University, Hezhou 542800, China)
Abstract：To solve the local bifurcation of critical periods of nonlinear Schrödinger type equation，the generalized nonlinear derivative Schrödinger equation and the high-order dispersive nonlinear Schrödinger equation are converted to a equivalence Hamiltonian system by using traveling wave transformation. The period constants of Hamiltonian system are calculated and the necessary and sufficient condition of the origin with one order weak center is obtained by using Mathematica software. It is proved that there is one local bifurcation of critical periods in the origin of the system．The result shows that the two nonlinear Schrödinger type equations have only one local bifurcation of critical periods in the neighborhood of near origin, which means that the monotonicity of the periodic for two nonlinear Schrödinger type equations changes once.
Key words：period constant; weak center; local bifurcation of critical periods
中图分类号：O175.12
文献标志码：A
文章编号：1673-808X(2016)01-0071-05
通信作者：黄文韬(1966-)，男，广西永福人，教授，博士，研究方向为微分方程定性理论。E-mail:huangwentao@163.com
基金项目：国家自然科学基金(11261013)；广西自然科学基金(2012GXNSFAA053003)
收稿日期：2015-06-12
