广义ZK-MEW方程的行波解分支



广义ZK-MEW方程的行波解分支

引文格式： 肖军均，冯大河，孟霞.广义ZK-MEW方程的行波解分支[J].桂林电子科技大学学报，2016,36(1):66-70.

肖军均，冯大河，孟霞

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

摘要：为研究广义ZK-MEW方程的动力学行为及有界行波解，运用动力系统分支理论，得到了该方程在给定参数条件下的相图分支及光滑孤立波解、周期波解的解析表达式，并给出了这些解的数值模拟。

关键词：广义ZK-MEW方程；动力系统分支理论；光滑孤立波解；周期波解

基于ZK(Zakharov-Kuznetsov)方程[1]

和MEW(modified equal-width)方程[2]

文献[3-5]研究了广义ZK-MEW(Zakharov-Kuznetsov modified equal-width)方程：

(1)

其中：n∈Ν*，a、b、c为非零实常数。通过利用拟设孤立波方法研究方程(1)，Biswas[3-4]获得了一些1-孤立子解、拓扑及非拓扑孤立波解。Pandir[5]运用扩展的实验方程法，得到了方程(1)的孤立波解、有理和椭圆函数可积解。对方程(1)的动力学行为至今尚未研究，为此，利用动力系统分支理论[6-7]分析该方程的动力学行为并给出更丰富的精确行波解。

对方程(1)作行波变换：

可得常微分方程：

(2)

其中φ′=dφ/dξ。将方程(2)关于ξ积分一次，并且取积分常数为0，有

(3)

令φ′=y，可知方程(3)等价于如下Hamilton系统：

(4)

其中：A=-a/(bl+ck2)≠0；B=l/(bl+ck2)。显然，系统(4)具有如下首次积分：

(5)

1系统(4)的相图分支

设f(φ)=Aφn-Bφ，则有以下情况存在：

1)当n=1时，f(φ)仅有1个零点φ0=0，即系统(4)仅有1个平衡点O(0,0)。由于该情况比较简单，仅考虑以下2种情况。

2)当n=2m，m∈N*时，f(φ)有2个零点：φ0=0，φ1=(A-1B)(n-1)-1，即系统(4)在φ轴上有2个平衡点：O(0,0)，P1(φ1,0)。

3)当n=2m+1时，f(φ)有3个零点：φ0=0，φ1=(A-1B)(n-1)-1，φ2=-φ1，即系统(4)在φ轴上有3个平衡点：O(0,0)，P1(φ1,0)，P2(φ2,0)。

令hi=H(φi,0),i=0,1,2，则

若Pe(φe,ye)为系统(4)的平衡点，则对应系统(4)的Jacobi矩阵为：

故有

由动力系统知识可知，若J(φe,ye)<0，则平衡点Pe为鞍点；若J(φe,ye)>0，则平衡点Pe为中心点；若J(φe,ye)=0，且Pe的庞加莱指数为0，则平衡点Pe为尖点。因此有如下结论成立：

1)当n=2m时：若B>0或B<0，则系统(4)有2个平衡点，且O为中心点或鞍点，P1为鞍点或中心点；若B=0，则系统(4)仅有1个平衡点O，且O为尖点。

2)当n=2m+1时：若AB>0，则系统(4)有3个平衡点，当B>0或B<0时，O为中心点或鞍点，P1、P2均为鞍点或中心点；若AB<0，则系统(4)有且仅有1个平衡点，当B>0或B<0时，O为中心点或鞍点；若B=0，则系统(4)仅有1个平衡点O，且O为尖点。

根据以上结论，可得系统(4)的相图如图1、图2所示。

图1　当n=2m时，系统(4)的相图Fig.1　The phase portraits of system (4) for n=2m

图2　当n=2m+1时，系统(4)的相图Fig.2　The phase portraits of system (4) for n=2m+1

2广义ZK-MEW方程的行波解

定理1当n=2m，B>0时(见图1(a)、(d))，对应系统(4)连接鞍点P1的同宿轨道H(φ,y)=h1，方程(1)有一个光滑孤立波解。对应系统(4)的周期轨道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。

定理2当n=2m，B<0时(见图1(b)、(f))，对应系统(4)连接鞍点O的同宿轨道H(φ,y)=0，方程(1)有1个光滑孤立波解。对应系统(4)的周期轨道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有一族周期波解。

定理3当n=2m+1，A>0，B>0时(见图2(a))，对应系统(4)连接鞍点P1、P2的异宿轨道H(φ,y)=h1，方程(1)有1个扭(反扭)波解。对应系统(4)的周期轨道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。

定理4当n=2m+1，A<0，B>0时(见图2(d))，对应系统(4)的周期轨道H(φ,y)=h∈(0,+)，方程(1)有一族周期波解。

定理5当n=2m+1，A<0，B<0时(见图2(e))，对应系统(4)连接鞍点O的同宿轨道H(φ,y)=0，方程(1)有2个光滑孤立波解。对应系统(4)环绕平衡点O，P1、P2的大范围周期轨道H(φ,y)=h∈(0,+)，方程(1)有一族周期波解。对应系统(4)分别环绕中心点P1、P2的2族周期轨道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有2族周期波解。

结合相图分析方法及定理1~5，考虑方程(1)在n=2时的行波解。

2.1n=2，A>0，B>0(图1(a))

1)对应系统(4)连接鞍点P1(B/A,0)的同宿轨道H(φ,y)=h1=B3/6A2，方程(1)有1个光滑孤立波解。式(5)可改写为：

(6)

由系统(4)的第1个方程和方程(6)可得：

(7)

取初值φ(0)=-B/2A，对方程(7)积分一次，可得方程(1)的1个谷形光滑孤立波解(也称暗孤立子)的显性表达式：

(8)

2)对应系统(4)环绕中心点O(0,0)的周期轨道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。式(5)可改写为：

(9)

其中ψi(i=1,2,3)为方程(2A/3)φ3-Bφ2+2h=0的3个实根，且ψ1>ψ2>φ>ψ3。由系统(4)的第1个方程和式(9)可得：

(10)

取初值φ(0)=ψ3，对方程(10)两端积分一次，可得方程(1)周期波解的显性表达式：

(11)

图3　周期波解(11)趋近于谷形光滑孤立波解(8)的波形变化Fig.3　The waveform changes for periodic wave solutions (11) tending to smooth solitary wave solutions with valley type (8)

1)对应系统(4)连接鞍点O(0,0)的同宿轨道H(φ,y)=0，方程(1)有1个光滑孤立波解。因此，方程(5)可改写为：

(12)

联立方程(12)和系统(4)的第1个方程，可得

(13)

取初值φ(0)=3B/2A，并对方程(13)积分一次，可得方程(1)的1个峰形光滑孤立波解(也称亮孤立子)的显性表达式：

(14)

2)对应系统(4)环绕中心点O(0,0)的周期轨道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有一族周期波解，其表达式与方程(11)相同。

2.3n=2，A<0，B>0(图1(d))

1)对应系统(4)连接鞍点P1(B/A,0)的同宿轨道H(φ,y)=h1=B3/6A2，方程(1)有1个峰形光滑孤立波解，其显性表达式为：

(15)

2)对应系统(4)环绕中心点P1(B/A,0)的周期轨道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。因此，方程(5)可改写为：

(16)

其中ψ1>φ>ψ2>ψ3。由系统(4)的第1个方程和方程(16)可得：

(17)

取初值φ(0)=ψ1，并对方程(17)积分一次，可得方程(1)的周期波解，其显性表达式为：

(18)

其中：

2.4n=2，A<0，B<0(图1(f))

1)对应系统(4)连接鞍点O(0,0)的同宿轨道H(φ,y)=0，方程(1)有1个峰形光滑孤立波解，其显性表达式为：

(19)

2)对应系统(4)环绕中心点P1(B/A,0)的周期轨道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有一族周期波解，其表达式与方程(18)相同。

图4　周期波解(11)趋近于峰形光滑孤立波解(19)的波形变化Fig.4　The waveform changes for periodic wave solutions (11) tending to smooth solitary wave solutions with peak type (19)

利用动力系统分支理论和微分方程定性分析方法，研究了广义ZK-MEW方程，获得了该方程所有参数分支和光滑孤立波解、扭(反扭)波解、周期波解存在的条件，进而给出了当n=2时的所有精确行波解的显性表达式。通过对行波解的分析及数值模拟可知，随着h的变化，周期波解逐渐趋近于光滑孤立波解。

参考文献:

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[5]PANDIR Y.New exact solutions of the generalized Zakharov-Kuznetsov modified equal-width equation[J].Pramana-Journal of Physics,2014,82(6):949-964.

[6]LI Jibin,LIU Zhengrong.Smooth and non-smooth travelling waves in a nonlinearly dispersive equation[J].Applied Mathematical Modelling,2000,25(1):41-56.

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[8]BYRD P F,FRIDMAN M D.Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists[M].Berlin:Springer,1971:72-79.

编辑：张所滨

Bifurcations of traveling wave solutions for generalized ZK-MEW equation

XIAO Junjun, FENG Dahe, MENG Xia

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：To study the dynamical behaviors and bounded traveling wave solutions of generalized ZK-MEW equation, the bifurcations of phase portraits and the representations of smooth solitary wave solutions and smooth periodic wave solutions are obtained under the given parametric conditions by employing the bifurcation theory of dynamic system. Moreover, the numerical simulations for those solutions are provided.

Key words：generalized ZK-MEW equation; bifurcation theory of dynamic system; smooth solitary wave solutions; periodic wave solutions

中图分类号：O175.1

文献标志码：A

文章编号：1673-808X(2016)01-0066-05

通信作者：冯大河(1970-)，男，湖南怀化人，教授，博士，研究方向为动力系统的分支与混沌、微分方程定性理论。E-mail：dahefeng@hotmail.com

基金项目：国家自然科学基金(11162004,11461021)；桂林电子科技大学研究生教育创新计划(YJCXS201557)

收稿日期：2015-10-09