避免物理问题数学化的方法

袁才

【摘 要】学生学习物理过程中，时刻离不开数学。物理和数学有密切的联系但又有区别，学生在学习的过程中，常常会出现把物理公式理解为纯函数关系，忽视物理意义，适用的范围及条件，也没有注意到有些概念在物理和数学中具有不同的含义，对物理结果的物理意义缺乏思考等问题。文中针对此问题，探讨注意防止和纠正学生把物理问题数学化的倾向，让学生在涉及这些物理问题时不能出错。

【关键词】物理问题 物理意义 数学化

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）01B-0096-02

数学作为一种工具，可以帮助学生深入分析物理现象和物理过程，但是具有一定的局限性。在运用这个工具的过程中要防止和避免物理问题“数学化”，注意如下几点：

一、注意物理量比值定义式的理解

在数学公式 x=z/y 里，x，y，z 都是变量，公式变形为 y=z/x 后，函数关系依然存在。但物理量比值定义式变形后的物理意义却往往不同，这与数学是有区别的。

如电场强度E=F/Q，电容器的电容C=Q/U，磁感应强度 B=F/IL，密度p=M/V等。从数学角度看，都表示数量之间的函数关系，但它们作为物理量的定义式，并不表示着数量间的函数关系，而且有它们本身的物理含义。如E=F/Q，你就不能由数学知识得F≠0，E≠0，即该处有电场；F=0，E=0，该处的电场为零，也不能说E跟F成正比，E跟Q成反比。电场中某处的场强是由场源电荷和位置决定的，它与放入场中的电荷无关。放在电场某确定点的检验电荷所受电场力的大小与检验电荷电量大小成正比，即检验电荷的带电量越大，它所受电场力也越大，检验电荷的带电量越小，它所受电场力也越小。即使不放检验电荷，该处的场强还是那么大。检验电荷所受电场力与所带电量之比为一恒量，这个恒量就是电场强度。又如C=Q/U，我们不能认为C与Q成正比，与U成反比。因为电容器电容的大小由电容器的本身性质（如两板间电介质的相对介电常数，两板正对面积，两板间的距离）决定，而不是由电容器的带电量和极板间的电势差决定的。对于这些物理量的定义式，要深刻理解它们的物理意义，而不能单纯从数学角度去看待。

二、某些物理定律数学表达式的运用要注意适用范围及条件

物理的一些定律，常用简明的数学形式来表达，即物理定律的数学表达式。如万有引力定律F=（Gm1m2）/R2，库仑定律F=（kQ1Q2）/r2，胡克定律F=kx，阿基米德定律F=pgv等。对于这些式子，从数学角度看，变量的取值可以任意变化，但是，作为物理定律的数学表达式，却是不能任意变化的，它受到某些物理条件的限制。如F=（Gm1m2）/R2，从数学观点看，当 R→0时则有F→∞。但是作为一个物理定律的数学表达式，当 R→0时，物体就不能视为质点，表达式就不再成立了。对库仑定律F=（kQ1Q2）/r2及真空中点电荷的电场 E=KQ/R2都要做类似的理解。又如F=kx，从数学角度看，x 的值可以任意变化，但它作为一个物理定律的表达式，x 值的变化要受到一定的限制，即必须在弹簧的弹性限度之内。再如F=pgv这一定律的运用，当一长方体铁块浸没在容器底部，和容器底咬合无缝隙，并且铁块底部不受液体压强作用时，就不能再使用浮力公式了。因为浮力产生的机理是由压强差所形成的。

三、处理物理问题时，不能单纯按照数学推理，应当注意实际的物理过程和物理现象

例如有一道热学题，量热器的铜器小筒里盛有200克15℃的水，小筒的质量为160克，向水里放入50克0℃的冰。求量热器里的末温度是多少摄氏度[C铜=3.9×102（焦/千克·℃）]。

有的同学这样解，设末温度为 t℃ ，根据热平衡方程式有

（m水C水+m铜C铜）（t1-t）=m冰λ+m冰C水t

解得 t=-2.8℃，这结果显然是不合理的。从数学的解答过程中是没有错误的，原因出在实际物理过程中，水和小筒温度降至0℃放出的全部热量不至于使冰完全溶解，所以末状态是冰水共存，末温度应为0℃。

四、某些概念在物理中与数学中含义不同

有些概念在物理中与数学中含义是不同的，应用时必须加以区别。如“无穷大”“无限可分”。在物理中，“无限可分”不一定要永远分下去，“无穷大”也不一定要求很大。如匀速直线运动是指“任意相等时间间隔内，物体的位移都相等”的运动，但实际上，并不要求把时间无限地分下去。对“任意相等时间间隔”应理解为“在实验误差范围内，相等的时间间隔”便可以了。又如重物从高处落向地面时，地球是否也同时向重物靠近？对于这个问题，地球的质量虽然不是无穷大，但与重物质量相比较，二者相差很大很大，因此，可以把地球的质量当作无穷大来处理。从而认为，地球并不向重物靠近。

五、物理的解不同于数学的解

在物理中，数学是处于从属地位的，它的运用受到物理实质的制约。由物理问题导出的方程的解，数学意义上合理，物理意义上未必合理。物理问题的解受物理过程和条件的限制。

例如，有一个电池，电动势是ξ=6伏特，内阻 r=0.5 欧姆，实验时要把它接在一电热丝上，使其发出9瓦特的热功率。试确定电热丝的阻值应是多少。

设电热丝的电阻是R，由全电路欧姆定律可得电路中的电流强度I=ξ/（R+r），电热丝发热功率P=I2R，即P=ξ2R/（R+r）2，化简后代入已知量得9R2-27R+2.25=0，解得R1=3（欧），R2=0.1（欧）。

以上两个解对上面一元二次方程而言是合理的，而且把它们代入P=I2R公式中，确实也都等于9瓦（近似的）。但要注意，当R=0.1欧时，内阻的功率损耗是很大的，几乎是电热丝发热功率的6倍。在这种情况下，电能的利用率就太低了，肯定要烧坏电源，事实上是不能用的。所以本题的结论应该取阻值是3欧姆的电热丝。

又例如，质量为m的小球A，以水平速度v与静止在光滑水平面的大小相同，质量为3m的小球B发生碰撞，碰撞后小球A的动能损失了3/4，问小球B的速度多大？

由于碰撞的过程中的动量守恒和A的动能变化可列方程：

①

②

由①②联立方程，解得两组解：A组；B组。

如果仅从数学的角度来看，两组答案都有意义。若从物理意义上分析，可知若选择A组的结果，即B球以的速度在前面运动，而A球却以大于B球的速度也向前运动，这样必然要越过B球而前进，显然不合理，应舍去A组答案。若选择B组答案，则碰撞后两球向相反方向运动，这一组答案才是合理的。

六、不能用正负值比较大小

（一）矢量的正负表示方向，不表示大小

比较矢量的大小要看绝对值。比如电场中A点的电场强度 E=100N/C，B点的电场强度E=-200N/C，但不是说A点的电场强度比B点的电场强度大，应该是A点的电场强度小于B点的电场强度（E的负号仅表示B点电场强度方向与规定的电场强度方向相反）。所有矢量的正负都表示方向而不表示大小。

（二）有点标量的正负也不表示大小

有的标量也有正负。标量中有的正负表示大小，如温度。但有的标量的正负不表示大小，如功是标量，功的正负既不表示功有方向也不表示功的数量的大小，既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”，正功和负功只表示两种不同的做功效果。力对物体做正功，说明物体在发生该段位移的过程中，该力是动力，使物体的动能增加。力对物体做负功，说明物体在发生该段位移的过程中该力是阻力，使物体的动能减小。磁通量是标量，也有正负，其正负既不表示大小也不表示方向，仅表示磁感线穿入或者穿出某个面，也就是说计算磁通量时，“面”是有方向的。磁通量的正负虽然不表示大小，但是正负磁通量可以抵消，磁通量正负与电荷的正负和功的正负相似。

总之，物理学作为一门自然科学，既跟其他自然学科有密切的联系，同时又是一门独立的学科，有其自身的特殊规律。所以在应用其他学科的知识尤其是用数学知识来分析物理问题的时候，注意概念的物理意义以及规律成立的条件，这样才不至于用纯粹的数学知识来解决物理问题。因此，我们在物理教学中要注重强化物理含义、物理内涵、物理形成过程以及物理规律成立的条件的指导，这样才能使学生在扎实的物理知识上，灵活运用数学知识来解决物理问题，从而避免物理问题数学化的倾向。

【作者简介】袁 才（1979— ），男，汉族，籍贯博白，中学一级教师，理士学位，现就职于玉林市博白县第三高级中学。研究方向：高中物理教学。

（责编 卢建龙）