基于DDA和FEM的砌体结构震动分析

方　杰　秦小军　蔡永建　王秋良　雷静雅

1　中国地震局地震研究所(地震大地测量重点实验室)，武汉市洪山侧路40号，430071 2　中国地震局地壳应力研究所武汉科技创新基地，武汉市洪山侧路40号，430071



基于DDA和FEM的砌体结构震动分析

方杰1,2秦小军1,2蔡永建1,2王秋良1,2雷静雅1,2

1中国地震局地震研究所(地震大地测量重点实验室)，武汉市洪山侧路40号，430071 2中国地震局地壳应力研究所武汉科技创新基地，武汉市洪山侧路40号，430071

摘要：运用非连续变形分析(DDA)和有限元方法(FEM)对砌体结构进行震动分析。建模中将砌体结构的砖、柱、过梁以及楼板等视为独立的弹性体分别作有限元划分，弹性体之间运动由接触界面的张开、闭合和滑动控制来实现，通过防止弹性体间的侵入来校正弹性块体系统的位移与应变最小二乘拟合结果。弹性块体间滑动采用库仑摩尔定律控制砂浆的作用与失效，输入相当于地震烈度Ⅸ度的加速度峰值的迁安波对砌体结构模型进行震力分析，研究相应震动过程。算例表明，DDA和FEM组合的方法能很好地模拟砌体结构受地震作用的动力响应过程。在较大地震作用下，砌体结构首先从底层开始开裂破坏并导致结构倒塌，与农村砌体结构震害现象吻合较好。

关键词：砌体结构；非连续变形分析；有限元方法；震动分析

我国农村最为普遍的房屋结构形式是砌体结构[1]，地震中非常容易受到破坏甚至倒塌[2-3]。FEM对于模拟过程中存在独立块体位移的单元通常需要添加特殊的约束条件，会降低模拟的真实效果，甚至会导致模拟失真[4]。本文尝试结合DDA和FEM对整体砌体结构进行震动分析，探索砌体结构的震动破坏倒塌机理。

1基于DDA和FEM的模拟方法

1.1FEM的局限性

FEM适用于求解线性问题的相对位移或变形，而非线性问题的有限元方法求解通常采用等效线性化、分步计算线性化等方法。当出现开裂、相对分离等可能存在多解的情况时，为使系统刚度矩阵基本达到满秩要求，需引入特殊约束方程和特殊单元来弥补或通过阻尼最小二乘迭代逼近。在模拟砌体结构的倒塌过程中，砌块与粘合砌块的砂浆强度差别较大，砂浆一旦发生非线性破坏则不可恢复，砌块很有可能出现独立的运动，这些都对有限元方法的应用造成很大困难，从而影响模拟的真实程度。

1.2DDA

DDA特别适用于非连续块体系统的运动与分析，能很好地解释在足够多的测点上观测的位移、应变以及分析块体系统中的力和位移的相互作用[5-6]。

对单个块体，块体中任一点(x,y)的位移(u,v)可用6个位移不等式变量表示：

(1)

式中，(u0,v0)是块体内指定点(x0,y0)的刚体平移，r0为块体绕转动中心(x0,y0)的块体转角，(εx,εy,γxy)是该块体的正应变和剪应变。点的总位移(u,v)是由所有变量(u0,v0,r0,εx,εy,γxy)引起的位移之和：

(2)

式(2)也可以写为：

(3)

式中，下标i表示第i个块体。

通过块体之间的接触和作用在各块体上的位移约束条件，把若干个单独的块体连接起来并构成一个块体系统。设块体系统内有n个块体，可得平衡方程如下：

KD=

(4)

式(4)是瞬态力平衡方程式。因为单个块体有6个自由度(u0,υ0,r0,εx,εy,γxy)，所以式(4)的系数矩阵中，每个元素Kij是6×6阶子矩阵。Di和Fi是6×1阶子矩阵，其中Di代表块体i的变形变量(d1i,d2i,d3i,d4i,d5i,d6i)，Fi是块体i分配到6个变形变量的荷载。子矩阵Kii与块体i的材料特性有关，Kij(i≠j)则由块体i和块体j间的接触条件决定。

这些平衡方程是外力和应力所产生的总势能之和Π为最小求导出的。式(4)的第i列由6个线性方程组成：

(5)

式中，dri是块体i的位移分量，微分为：

(6)

式(6)是关于变量dri的平衡方程对未知量dsi求导的系数。因此，式(6)的所有项构成一个6×6阶子矩阵，即式(4)中的子矩阵Kij。式(6)表明方程(4)的系数矩阵K是对称矩阵，微分为：

(7)

是式(5)移至右端的自由项。所以式(7)的各项构成6×1阶子矩阵，并将它加到子矩阵Fi上。

块体系统的运动与位移由给定的位移函数确定，据此计算弹性应力、运动阻尼、初始应力、点荷载、线荷载、体荷载、锚杆连接、惯性力、粘性力以及一个方向或一个点的位移约束等的总势能，分别求各势能的变分，形成相应子矩阵，叠加到总体矩阵上，便可建立总体的联立方程式。

式(4)表述的各个块体是相对独立的。DDA中，块体是具有刚性边界的弹性体，在块体系统运动过程中，块体间不允许出现拉伸和侵入现象。当出现侵入现象时，通过施加刚硬弹簧把侵入的点沿着最短的路径推回，由此将各块体联成一个系统求解。

1.3DDA与FEM结合

将砌体结构的砖、柱、过梁以及楼板等视为独立的弹性体，各弹性体分别作有限元划分，计算其应力应变；各弹性体之间接触界面的张开、闭合和滑动用DDA控制实现，弹性体之间的滑动采用库仑摩尔定律模拟砂浆的作用与失效，并通过防止弹性体间的侵入来校正块体系统的位移与应变最小二乘拟合结果。由此构成的砌体结构模拟模型既发挥了DDA和FEM的特长，又有效改善了FEM的局限性。本文的具体建模和计算通过LS-DYNA程序实现。

2建模中的主要问题

2.1单元接触及参数选取

砌体结构内部，砖与砖之间为自动单面接触，砖与地面之间以及砖与过梁、楼板之间为面面接触。在震动分析中，砌体结构中的水泥砂浆最易受剪切破坏，需选取合理的粘性摩擦系数VC来控制最大摩擦力[7-8]。VC值可取(MU10,M5)砂浆的抗剪切屈服应力，依据《砌体结构设计规范》(GB50003-2011)，取0.11 MPa。动摩擦和静摩擦系数取0.8。

2.2预加荷载处理

几何上建立的砌体结构模型在瞬时预加重力等荷载时，块体系统会因为重力作用导致压缩而出现较大范围的侵入，经DDA计算至稳定需要相当长的时间，砖砌方式不合理或施加地震荷载时可能会出现结构失稳现象。解决方法有两种：1)分步缓慢地施加重力等作用，至砌体结构基本稳定后再施加地震荷载；2)采用动力松弛方法预加载重力等荷载，再施加地震荷载。动力松弛是通过增加阻尼，在虚拟时间内对结构进行动力释放，使动能降为0，相当于用静态分析进行几何构型的应力初始化，此步骤完成后立即恢复模型的阻尼参数。本文采用第2种方法，利用动力松弛来消除初始应力，使结构在施加地震动前应力达到一个误差允许的振荡范围，再对地面输入地震波进行模拟分析。

3砌体结构算例

考虑我国南方无抗震构造措施的两层农村砌体结构，取每层高度为3.3 m，结构总高度为6.6 m，开间为3.6 m×(4.5+3.6) m，前门尺寸为1.8 m×2.1 m，中间门尺寸为0.9 m×2.1 m，窗户尺寸为1.8 m×1.2 m，楼板厚度为120 mm，外墙厚度为240 mm，砌体材料选用普通烧结砖，尺寸选为240 mm×120 mm×60 mm，砖采用梅花桩式砌法。结构平面图见图1，砌体结构算例模型见图2。

楼板和过梁均采用现浇，按照构造要求配筋。楼板活荷载为2.0 kN/m2，恒荷载为4.0 kN/m2，荷载折算在楼板材料密度里。因钢筋在混凝土中是均匀分布的，等效后的钢筋混凝土弹性模量与混凝土、钢筋各自的弹性模量和体积分数相关[9-10]，计算公式为:

E=E0C0+E1C1

(8)

式中，E为等效材料的弹性模量，C0、C1分别为混凝土、钢筋的体积分数，E0、E1分别为混凝土和钢筋的弹性模量。

砌体采用分离式建模，钢筋混凝土采用整体式建模，地面建模采用钢筋混凝土材料。依据《砌体结构设计规范》(GB50003-2011)、《混凝土结构设计规范》(GB50010-2011)以及《烧结普通砖》(GB5101-2003)，各材料参数取值见表1。

4震动分析

通过对地面输入相当于地震烈度Ⅺ度的加速度时程曲线进行震动计算，地震波选用迁安波，间隔0.01 s，地面加速度峰值调整为0.4 g，卓越周期为19.1 s。震动分析表明，底层墙体四角和墙体首先产生较大变形，墙体出现剪切缝，然后整体结构在地震和自重作用下发生倾斜，底部结构完全倒塌，倒塌后个别构件集合开始独立运动，最后整体结构倒塌。

前5 s内，砌体结构模型处于弹性变形状态，以水平晃动为主，仅出现细小裂缝。5.138 5 s时(图3(a))，砌体结构晃动幅度加大，底层墙体四角最早开始出现较大裂缝，二层结构响应现象不明显。5.998 9 s时(图3(b))，由于地震作用，底层结构砖与砖之间摩擦产生的最大应力超过了最大容许剪应力，底层墙体发生比较明显的剪切破坏，开始出现塑性变形，底层窗户和门洞处出现斜裂缝，内部隔墙倒塌破坏，山墙有凸出变形。10.444 s时(图3(c))，从结构正面和背面看，底层结构的窗上墙和窗下墙都出现了明显的45°斜向裂缝，从侧面看山墙出现了中间凸两边凹的变形现象，山墙上可见清晰的波浪型裂缝，二层四角开始出现较大裂缝。10.683 3 s时(图3(d))，底层结构外横墙塌落，出现倒向一侧的倒塌形式，砖块四散，二层结构墙体大部分破坏。

砌体结构在较大地震作用下发生倒塌的过程中，表现为层间屈服，底层结构四个角的砌块首先发生破坏，多先集中于门窗洞口处，砌块间开始出现滑动、转动、张开等运动形态；随着地震的持续，二层结构随之开始破坏。这些现象与汶川地震和芦山地震中砌体结构表现出的底层抗剪能力不足而导致底部破坏甚至倒塌的震害现象吻合较好，符合实际情况。

5结语

1)基于DDA和FEM构建砌体结构模型进行震动分析，有效改善了FEM的一些局限性，且更好地考虑了砌体结构破坏的特征。实际算例结果验证了本文方法的有效性。

2)砌体结构在较大地震作用下的倒塌表现为层间屈服的现象，底层结构四个角和门窗开洞处首先开裂、破坏，墙体出现凹凸不平的变形，然后倒塌，上层结构破坏相对滞后。这些现象与真实震害现象吻合较好。

3)算例结果显示，要增强砌体结构的抗震能力，可以加强砌体结构的四角及门窗洞口处构造，如在四角增加构造柱，强化门窗过梁或设置门窗边框等。

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Foundationsupport:SpecialFundofChinaThreeGorgesCorporationResearchProject,No.SXSN/2377,SXSN/3354.

Aboutthefirstauthor:FANGJie,postgraduate,majorsindisastermitigationandpreventionengineering,E-mail:fangjiejun@yeah.net.

Earthquake Response Analysis on Masonry Structural by Discontinuous Deformation Analysis and Finite Element Method

FANGJie1,2QINXiaojun1,2CAIYongjian1,2WANGQiuliang1,2LEIJingya1,2

1KeyLaboratoryofEarthquakeGeodesy,InstituteofSeismology,CEA,40HongshanceRoad,Wuhan430071,China2WuhanBaseofInstituteofCrustalDynamics,CEA, 40HongshanceRoad,Wuhan430071,China

Abstract:ThispaperusesdiscontinuousdeformationanalysisandFEMtostudytheearthquakeresponseanalysisonmasonrystructures.Inthemodelingprocess,thebricks,columns,lintelsandfloorsinthemasonrystructureareregardedasindependentelastomer.Eachelastomerisclassifiedasafiniteelement.Movementamongtheelastomersisbasedontheopening,closureandslidecontrolofthecontactinterface.Topreventtheintrusionofelastomerwecorrecttheresultsofleast-squareofdisplacementandstraintothesimulationsystem.WeuseCoulomb-Moore’slawtocontrolthefunctionandfailureofmortar’sforcesamongelastomers.WeinputthepeakaccelerationequaltotheseismicintensityofⅨdegreesofQiananwaveinthemasonrystructuremodelfordynamicanalysisandtostudythewholeseismicresponseprocess.TheanalysisoftheexampleshowsthemethodsofDDAandFEMcansimulatethedynamicresponseprocessofmasonrystructuresubjectedtoearthquakeverywell.Undertheeffectofalargeearthquake,thebottomofmasonrystructurefirstlybegantoshowcracksandthenledtostructuralcollapse.Thisagreeswiththeearthquakedamagephenomenaseeninruralmasonrystructuresinreallargeearthquakes.

Keywords:masonrystructure;discontinuousdeformationanalysis;finiteelementmethod;earthquakeresponseanalysis

收稿日期：2015-11-04

第一作者简介：方杰，硕士生，研究方向为防灾减灾工程及防护工程，E-mail:fangjiejun@yeah.net。 通讯作者：秦小军，研究员，研究方向为防灾减灾工程及防护工程，E-mail:Qinxj@eqhb.gov.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.012

文章编号：1671-5942(2016)06-0520-05

中图分类号：P315

文献标识码：A

Correspondingauthor:QINXiaojun,researcher,majorsindisastermitigationandpreventionengineering,E-mail:Qinxj@eqhb.gov.cn.

项目来源：中国长江三峡集团公司科研专项(SXSN/2377，SXSN/3354)。