向量个量知多少？

潘梅耘

向量的大小和方向的二重性决定了向量的个性特征，有些同学极易将向量概念、向量关系、向量运算、向量性质与数量相关内容混淆起来，不经意间就会被向量的个性所伤。为此本文就和同学们一起走进向量的“灵魂深处”，深刻洞悉向量的个性，以期让同学们准确而又深刻地把握平面向量的基本概念、基本运算和基本性质。

一、向量概念中的“精灵”——零向量

“模为0”就已使零向量沾染上了不少“仙味”，“方向任意”更使零向量平添了几分“灵气”。如（1）任意向量加上（或减去）零向量结果仍为该向量；零向量减去一个非零向量结果为该向量的相反向量；任意实数与零向量的乘积为零向量。（2）夹角是对非零向量而言的，从而高中阶段向量垂直也是对非零向量而言的。（3）向量平行（共线）、实数与向量的积以及向量数量积都对零向量单独定义，规定零向量与任意向量平行（共线），由此应注意到“同向”和“反向”这样的术语是仅对非零向量而言，规定任意实数与零向量乘积为0；规定0与任意向量的乘积为0。规定零向量与任意向量的数量积为0。

例1 下列各命题中正确的序号是____

①零向量没有方向；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若a∥b，则a=λb（λ∈R）；④若a=0，则对任意向量b，有a·b=0；⑤若λa=λb（λ≠0）。则a=b。

答案

⑤。

错因分析 ①错。规定零向量的方向是任意的。②错。规定零向量与任何向量平行，当b=0时，a∥c不一定成立。③错。基底相当于向量的单位（不同于单位向量），是用来刻画与它共线的向量的，零向量不可为基底，当a≠0，b=0时a≠λb（λ∈R）。④错。规定零向量与任何向量的数量积为0，0与0不能混淆。

二、向量关系中的“飞侠”——平行（共线）

用动态的观点认识向量平行（共线）关系，就可以体会向量“飞侠”的意境：

（1）中学数学中的向量是指自由向量，所以相等向量可视为同一向量。

（2）有向线段仅是非零向量某个位置的几何表示，非零向量并不是有向线段。非零向量的平行和共线是没有区别的。

（3）零向量作为一个特殊个体，规定它与任何向量平行（共线），作为平行（共线）定义的补充，不提及零向量的方向。

（4）平面向量在平移前后所对应的坐标是不变的。

答案 ④。

错因分析 根据向量平移坐标是不变的，说明①的正确答案是（3，4）；②错因是将向量的模与实数绝对值性质相混淆；③两个向量共线与两个向量所在的两条直线共线是两个不同的概念。

错因分析 错误多为向量运算与实数运算相混淆所致。

向量鲜明的个性导致向量概念与运算性质与实数不同，而有些性质又类似，给人一种似曾相识、雾里看花的感觉，因此同学们一定要注意向量易错题的收集和错因分析。