理论分析与数值模拟相结合的圣维南原理教学方法探索

摘 要：在本科生材料力学课程的教学中，圣维南原理是一个比较抽象的概念，通过概念学习，学生可以理解其含义，但是不够深刻，部分学生甚至对结果持怀疑态度，为此，笔者以一高径比为二的圆柱体为模型，在轴向受压时，在静力等效原则下，通过改变端面面力的分布方式，来对比柱体中应力分布的差异，发现其结果与圣维南原理描述的一致，通过此次对比教学，让学生直观地认识了圣维南原理的内涵。

关键词：材料力学；有限元模拟；ANSYS；圣维南原理；静力等效；应力分布；理论分析

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.05.208

1 引言

材料力学是机械专业重要的专业基础课，相关知识也是后续课程的基础，理解和掌握一些基本概念或原理，对后续的进一步学习大有裨益。笔者在一线的教学过程中发现，有几个概念学生总是理解的不透彻，似懂非懂，或者是概念上理解了，但是对于真正结果心存怀疑，比如应力集中，圣维南原理等概念，本文就针对圣维南原理进行有限元数值模拟，让学生不仅在概念上理解该原理，通过数值模拟，更直观地认识圣维南原理。

2 圣维南原理的描述

圣维南原理：作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。

从圣维南原理的文字描述可以看出，圣维南原理实际上定性描述了一类问题，当静力等效的时候，改变力系的分布只会对力系附近的应力分布产生影响，而远离力系分布的区域应力不受影响。作为初次学习材料力学的本科生，这个定理的引出从文字上仔细推敲还是可以理解的，但是不够直观，不够深刻。

3 有限元分析模型

如图2所示，一个圆柱体。柱高0.2m，圆柱横截面直径为0.1m。约束方式：下端面水平和竖直方向的位移全部约束，上端面水平位移约束。柱体材料弹性模量为E=210GP，泊松比μ=0.3。上表面再施加以均布压力，分析在上下端面附近和远离上下端面处的应力分布特征。有限元模型如图2所示。

本例中的圆柱是一个轴向压缩问题，所以这里选取竖向正应力为分析结果，观察其分布特征，如图3所示，第三主应力如图4所示。

如果是脆性材料，轴压压力状态下，可能发生剪切破坏，这里列出XY和YZ方向的剪应力，分别如图5和图6所示。

从图3到图6可以看出，在两端靠近面力或约束处，应力分布不均匀，而在远离上下两个端面处，应力分布趋于均匀。

再将同样值的面力按静力等效原则，施加在上下两个端面，再次进行有限元模拟，结果与上图非常接近，只是在上下两个端面附近略有差异，具体应力分布图这里就不一一列举，这就说明，改变力系的分布只会对力系附近的应力分布产生影响，而远离力系分布的区域应力不受影响，有限元模拟结果直观地显示了圣维南原理所表达的含义。

4 结束语

本文通过理论分析与有限元数值模拟，通过交互模式，让学生直观地理解圣维南原理内涵，达到了预期目的。更主要的是让学生接触了用数值方法可以解决更多理论分析所不能解决的问题，尤其作为化工机械专业，有限元模拟已经在行业结构设计中发挥着重要的作用，具体如何使用有限元，在后续的有限元分析课中再详细展开。

参考文献：

[1]高耀东.ANSYS机械工程应用精华50例（第3版）[M].北京：电子工业出版社，2011.

[2]张秀辉，胡仁喜，康士廷等.ANSYS 14.0有限元分析从入门到精通[M].北京：机械工业出版社，2013.

[3]单辉祖.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]徐芝纶.弹性力学简明教程（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

资助项目：北方民族大学校级教学研究与改革项目（项目批准号：JYYB201401）

作者简介：康亚明（1980-），男，宁夏西吉人，研究方向：岩石力学与地下工程。