分类讨论思想在初中数学解题中的应用管窥

王婷

数学是我国初中阶段教学中较为复杂的一门学科，其具有严密的逻辑特点，是学生学好其他科目的基础. 初中数学教师要立足课本，根据学生的实际情况制定符合学生身心发展特点的教学方法，通过激发学生的兴趣来提高学生的数学成绩. 分类讨论思想是当前初中数学最主要的一种思想，不仅是学生学习的难点，同时也是考试的重点. 因此，初中数学教师要重视分类讨论思想，在课堂教学中加强这一思想的教学，课下多布置分类讨论思想的习题，使学生熟练掌握并运用分类讨论思想.

1. 初中数学中分类讨论思想应用原则

1.1 同一性与相称性原则

对于初中数学来说，教师首先要引导学生明确分类讨论的对象，只针对有特性的对象进行分类，不需要分类所有的对象，且分类时要运用同一标准，分清楚主次. 例如，在讲解三角形分类知识时，很多学生会将三角形分成钝角、直角、锐角、等腰、等边三角形等，而这种分类方法却是错误的，既利用边进行分类，又利用了角.

1.2 互斥性与多层次性原则

互斥性是指进行分类后的对象，其子项要互相排除，同一个子项中不可能包含相同的事物. 如，初二某班级中总共7名学生参加了球类与田径比赛，其中有4名学生参加球类比赛，5名学生则是田径比赛；这就说明在7名学生中有同时参加两项比赛的学生，且是2名，不能将这7名学生简单的分为球类与田径比赛两类，否则会犯逻辑性错误. 在解初中数学题目时，会遇到某些复杂的题目，部分情况下可采用“二分法”，根据对象的层次性将其逐层分类.

2. 分类讨论思想在初中数学中的应用

2.1 分类讨论思想在方程中的应用

学生可通过消元、转化、位移等方法解方程，然而，大部分学生会忽视方程的局限性问题，如：含绝对值的方程，其未知数的取值范围不是全体实数.

初中数学教师要引导学生全面的思考、分析问题并进行正确的解题. 如：七年级教师在讲解“一元一次方程”这一章节内容时，可在黑板上写出|3 - x| + |x + 2| = 5这一方程，同时引导学生思考解含绝对值的方程的方法，首先将绝对值里面的公式分为三类：正数、负数和零. 初中数学教师要利用分类讨论思想思考这一问题，分别对方程中的两个公式|3 - x|与|x + 2|分类讨论，公式|3 - x|有x > 3，x < 3，x = 3三种情况，且公式|x + 2|也有三种情况：x > -2，x < -2，x = -2，并将x的范围画在数轴上，结合数轴将原方程转化为三种形式. 第一，当x > 3时，|3 - x| < 0，|x + 2| > 0，原方程可转化为-（3 - x） + x + 2 = 5，通过解方程可得x = 3，与假设x > 3不符，故x > 3时原方程无解. 第二，当-2 ≤ x ≤ 3，|3 - x| > 0，|x + 2| > 0，原方程可转化为3 - x + x + 2 = 5，方程恒成立，故-2 ≤ x ≤ 3时，x为全体实数. 第三，当x < -2时，|3 - x| > 0，|x + 2| < 0，原方程可转化为3 - x - （x + 2） = 5，通过解方程可得x = -2，与假设x < -2不符，故x < -2时原方程无解. 初中数学教师可引导学生运用分类讨论思想进行问题的分析，并根据具体问题进行合理的分类，进而达到提高数学成绩的目的.

2.2 分类讨论思想在圆中的应用

圆的对称性、圆与直线、圆与正多边形、圆与圆之间的关系都是初中数学教学的重点内容. 分类讨论思想是解决圆的对称性以及圆的位置关系的重要且常用的解题方法，这种解题思想更能够培养初中学生的数学思维，学生可将题目中的变量找出，并根据图形之间的关系进行解题.

例如，初中数学教师在讲解“圆的对称性”这一章节内容时，首先为学生讲解课本上的例题：已知两个相交圆的半径分别为5 cm和4 cm，其公共弦长为6 cm，根据已知条件解出两圆的圆心距. 通过判断分析可知该图形具有不确定性，要利用分类讨论思想解答这道问题；由于圆具有对称性，因此该公共弦有可能位于两圆心之间，也可能位于两圆心的同侧. 根据判断可分为两种情况，第一，当公共弦位于两圆心之间时，根据已知条件解出两圆的圆心距为4 + ；第二，当公共弦位于两圆心同侧时，根据已知条件解出两圆的圆心距为4 - . 这种运用分类讨论思想分析、解答数学问题的过程，能够培养学生的思维能力，提高学生独立解决问题的能力，符合初中学生的身心发展特点.

2.3 分类讨论思想在三角形问题中的应用

对于初中学生来说，有些复杂的三角形问题，也会用到分类讨论思想. 当题目所给的已知条件不能够用一般方法解答时，只有运用分类讨论思想才能解出来，如已知某等腰三角形的两条边的长度，求该三角形的周长与面积. 由于不知道三角形的腰与底边长到底是哪个，需要运用分类讨论法进行假设. 例如：已知某直角三角形的两条边长分别为4 cm与3 cm，求出该直角三角形第三条边的长度. 第一，三角形两直角边为4 cm与3 cm，可得第三条边为5 cm；第二，三角形的斜边长度为4 cm，一直角边为3 cm，另一直角边为cm.

分类讨论思想是初中数学解题的关键，初中学生要明确掌握分类讨论思想的技巧，能够根据统一的标准科学合理地进行对象分类，并根据分类逐步解出数学问题. 加强初中生运用分类讨论思想，能够培养学生的数学思维，提高学生独立思考、解决问题的能力.