魔方中的数学

孙峰

通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克·艾尔内于1974年发明. 关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造. 鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：原始状态的魔方一旦被打乱，想要将其复原是一件极其困难的事情.

1980年初，一家玩具公司将魔方带至在巴黎、伦敦和美国召开的国际玩具博览会展出，此后不久，随着魔方制造技术的改进，魔方迅速风靡全球，到1982年，短短的3年间魔方在全球就售出了200多万只，而到今天，全世界售出了数亿只魔方，魔方已经成为全球最为流行的玩具之一.

魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动. 外观上，由26个小正方体组成一个正方体. 其中包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有颜色；棱块12个，两面有颜色；角块8个，三面有色. 复原状态下，魔方每面都涂有相同的颜色，六个面的颜色各不相同. 魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化多端的组合.

魔方组合的数量可以按照如下方式计算：8个角块可以互换位置，存在8！种组合（8！=8×7×6×5×4×3×2×1），又可以翻转，每个角块可以具有3种空间位置，但因为不能单独翻转一个角块，需要除以3，总共存在8！×37种组合；12个棱块可以互换位置，得到12！，又可以翻转，得到212，但因为不能单独翻转一个棱块，也不能单独交换任意两个棱块的位置，需要分别除以2，得到12！×212/（2×2）种组合. 综上，得到魔方的所有可能组合数为：8！×37×12！×212/（2×2）=43，252，003，274，489，856，000≈4.33×1019. 这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这约是当前宇宙年龄的10倍.

实际上，如果将魔方拆开随意组合，其组合情况将多达5.19×1020种. 也就是说，如果拆散魔方，再随意安装，有11/12的几率无法恢复原状. 所以如果魔方被拆散，安装时应按复原状态安装，否则极可能会无法复原.

魔方复原的另一个困难来自于我们只能按特定的方式复原，即反复旋转某一面，一面上的9个方块必须整体参与运动，这样我们在复原过程中总是会打乱已经复原的部分，这种限制大大加大了复原魔方的难度.

很显然，任意组合的魔方都可以在有限步骤内复原，那么，问题来了，是否存在复原任意组合魔方所需的最少转动次数N？也即，如果至多进行N次转动便可以将任意魔方复原，这个N具体为多少？这个数字N被称为上帝数字，从魔方刚刚流行的1982年便被提了出来.

当然，对任意的魔方，寻找最少的转动步骤是极其困难的，需要针对每种情况寻找特定的步骤. 一般的，还是利用本文前面所述的复原办法，只需学习记忆少量的套路或公式，如CFOP法，需要学习记忆119个公式，平均只需55次转动便可复原魔方.

数学是一门充满魅力的学科，在它复杂表面的背后，隐藏着大量极其简单、漂亮的规律. 有趣的游戏、手头的玩具，往往在简单中蕴藏着深刻的数学规律. 而复杂的数学经常以极其简单、漂亮的形式展现.