谈高中数学《排序不等式》的教学

◆周海舟

谈高中数学《排序不等式》的教学

◆周海舟

《排序不等式》是高中数学选修4-5不等式选讲教材第三讲第三节的内容。不等式选讲部分作为每年高考解答题的第24题，为3道选做题中的一道。在2015年“一师一优课、一课一名师”网上晒课活动中，我选取这部分内容进行了教学设计、实地教学以及在数学组同仁们的大力支持下，对本节课进行反复打磨，取得了一定的教学效果，并先后被评为自治区级优质课以及部级优质课。现就这部分内容的教学谈一下我的认识和看法。

一、教学内容分析

排序不等式，又称排序原理：设a1?a2?…an，b1?b2?…bn为两组数c1，c2，…cn是b1，b2，…bn任意一个排列，则a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1?a1c1+a2c2+…+ancn?a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn.

当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，等号成立。其中：和S=a1c1+a2c2+…+ancn称为数组（a1，a2，a3，…，an）和（b1，b2，b3，…，bn）的乱序和，按相同顺序相乘所得积的和S1=a1b1+a2b2+…+anbn称为顺序和，按相反顺序相乘所得积的和S2=a1bn+a2bn-1+…+anb1称为反序和。

排序不等式是一个经典的不等式，是均值不等式更一般的表达形式，为学习柯西不等式奠定基础。排序不等式在实数范围内均成立，适用范围广，有现实生活中较强的实用性。

二、教学策略说明

1.采取学案教学，提高课堂效率

为了讲好这部分内容，我精心准备了学案，并提前一天将学案发给学生们进行预习，使学生们在课前对该部分内容有一定的认识，从而更好地进行课堂学习，提高课堂效率。为了解学生的数学学习情况，我曾对本校学生进行抽样调查，共发放227份问卷，收回有效问卷227份，其中文科学生问卷108份，理科学生问卷119份。经统计发现只有3.5%的学生（理科5人，文科3人）经常会在数学课前进行预习，说明绝大多少学生都不主动预习下节课要讲的内容。与学生进行交流，发现很多学生不知道该如何预习。因此，我采取了提前发放学案的方式，告诉学生们下节课要讲什么，逐渐培养学生们的预习意识，增强学生的学习主动性。

2.情景引入，集中学生的注意力

在课堂引入中我采取了情景引入的方式，精心设计了问题情景：国庆节长假期间，达瓦和父母一起报名参加“雪山连北京”旅行团去首都北京旅游。在旅游即将结束的时候，达瓦想用自己的零花钱给自己的爷爷、两个姨妈和三个好朋友分别买一样纪念品。达瓦看中了三样纪念品：鸟巢明信片（10元/张）、天坛模型（15元/个）和长城纪念册（25元/本）。在父母的建议下，达瓦决定采取以下的买纪念品方案：1、不同辈分的纪念品不同；2、相同辈分的纪念品相同。达瓦如何买纪念品花钱最少？如何买花钱最多？情景引入的内容紧密结合学生的生活实际，学生容易理解并通过计算很快得出花钱最少的方案和花钱最多的方案。在达到引入课堂目的的同时还渗透了爱国主义教育以及尊敬长辈、合理花钱的教育。

3.教学内容与现实生活紧密结合，激发学生的学习兴趣

排序不等式的教学过程中，我精心设计了例题1和练习1。

例题1：5个人各拿一只水桶到一个水龙头处排队接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是40秒，80秒，60秒，100秒，50秒。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？

分析：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题.设第i一个接水的人需要ti秒，则5人都接满水所需的等待总时间是S=5t1+4t2+3t3+2t4+t5

根据排序不等式可知，要使总和最小，则应使t1，t2，t3，t4，t5按照从小到大排列。

练习1：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？

分析：要使损失最小就应使等待的总时间最小，应该采取反序和，即先修第二台，然后修第三台，最后修第一台。

例题1和练习1均基于现实生活，同样的还可以适用于超市排队付账等情况，使学生们认识到数学源于生活并可以用于解决生活中的问题。在解答的过程中，将生活问题转化为数学式子，适当渗透数学建模的思想，提高学生用数学知识解决生活问题的能力。另外，还与生活中的排序问题相结合，对学生进行有序排队的社会公德意识教育。

4.做到条理清晰，详略得当，重点突出

基于排序不等式作为一个数学定理，本节课沿用了大部分数学定理“发现规律—归纳、猜想—证明—应用”的教学过程，采取特殊到一般的数学思想，通过教师的引导使学生们总结出排序不等式，并进行不等式的应用讲解和练习。

排序不等式的文字表达、数学表达以及应用均在学生的可接受范围内。不等式本身的定理证明对于区内学生来说难度较大，但教材上有详细的证明过程，有兴趣的学生可以进行自主学习，有不懂的地方可以问同学和老师。本节课我将主要精力放在发现规律、归纳猜想以及不等式的应用上，对排序不等式本身的证明上采取了弱化处理，只是告诉学生们这个不等式已经被证明，可以放心使用。同时告诉学生们猜想只有经过证明才能被称为定理，例如著名的哥德巴赫猜想因为未能被证明，只能称为猜想。使学生们了解数学理论的严谨性。

5.培养学生一题多解的意识

在例题2的教学中，我进行了一题多解训练。

例2：已知a、b、c、d∈R，证明a2+b2+c2+d2≥。

ab+bc+cd+da

解法1：不等式左边可以看成顺序和，右边看成乱序和。由要证不等式的对称性，不妨设a≤b≤c≤d，由排序不等式顺序和≧乱序和得；

a∙a+b∙b+c∙c+d∙d≥a∙b+b∙c+c∙d+d∙a

∴a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

解法2：

∵a2+b2≥2ab

b2+c2≥2bc c2+d2≥2cd

d2+a2≥2da

同向不等式相加得：

2（a2+b2+c2+d2）≥2（ab+bc+cd+da）

两边同时除以2得：

a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

解法3：

∵a2+b2+c2+d2-（ab+bc+cd+da）

∴a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da

6.按螺旋式上升理念安排内容

在进行排序的过程中，与排列组合相关知识相结合，在螺旋式上升中加深学生对排列组合相关知识的理解，符合新课程标准中螺旋式上升的理念。

7.布置分层作业

让学生们根据自身的情况选择要完成的作业，既可以调动学困生的学习积极性，又可以使学优生更上一层楼，满足了大部分学生的求知欲，使学生们分别体验到成功的喜悦，增强学生的学习主动性。

西藏山南市第一高级中学
责任编辑：周朝坤