基于无偏灰色Verhulst模型的铁路货运量预测研究



基于无偏灰色Verhulst模型的铁路货运量预测研究

安永娥，鲍学英，王起才

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州 730070)

铁路运输是受多因素影响的复杂的动态系统，这些影响因素的多样性、模糊性和渐变性，导致了铁路系统的复杂性[1-2]。这种错综复杂的内在关系决定了铁路货运量与影响因素之间存在复杂的非线性关系，综合考虑这些因素的影响，建立准确的铁路货运量预测模型对铁路货运的组织、决策等具有重要意义。近年来，许多学者对铁路货运量的预测方法进行了大量研究，常见的铁路预测方法有指数平滑法、回归分析法、GM(1,1)模型预测法和BP神经网络法等。马晓珂等[3]用指数平滑法对铁路运量进行预测，该方法只能用于定量分析且由于平滑系数的选取具有不确定性；李彦[4]选用挖掘方法之一的线性回归模型，通过与其他2种挖掘方法比较，指出线性回归模型误差较大，精度较低，其原因是货运原始数据线性程度比较差，一般均为非线性关系，支持向量回归机输入参数较少；曹飞[5]用GM(1,1)模型及残差GM(1,1)模型对铁路货运量进行预测，通过比较发现，残差GM(1,1)模型较GM(1,1)模型的误差更小，精度更高。由于原始数据中不规则数据随机性的影响且GM(1,1)模型要求数据呈指数分布，所以对铁路运量有较为明显的误差；赵闯等[6-7]用神经网络对铁路货运量进行预测，神经网络作为一种非线性非参数模型，能较好地解释铁路货运量与影响因素之间的复杂非线性关系，具有的自学习、自适应能力可有效降低因假定有误而引起的预测误差，因而被引入到铁路货运量预测中。由于神经网路本身固有的缺陷，在实际应用中经常遇到过拟合、局部极小值和“维数灾难”等问题[2]；谭司庭等[8]用一种改进的变权组合预测模型，实现货运量的短期和长期预测；张玥等[9]用新陈代谢GM(1,1)模型对东北地区2006~2011年铁路货运量进行预测。根据无偏GM(1,1)模型直接建模法的思想对传统灰色Verhulst进行改进，可得到无偏灰色Verhulst模型，此模型消除了灰色Verhulst模型自身固有的偏差[10]。通过无偏灰色Verhulst模型、灰色Verhulst模型、GM(1,1)模型对铁路货运量预测的比较，可以看出无偏灰色Verhulst模型具有更高的精度。

高品质、高密度开通兰州至中川铁路是兰州城区和兰州新区融合发展、同城一体化的迫切要求，也是助推兰州新区快速发展的强大支撑，更是国家“一带一路”发展战略的重要组成部分。客货运营是中川铁路的核心业务，中川铁路商业开发规模大、内容多、投资大，在可行性研究阶段，需要建立模型对货运量进行预测，以便分析铁路的经济效益和使用价值。

1无偏灰色Verhulst模型

1.1灰色Verhulst模型理论

灰色Verhulst模型主要用来描述饱和状态的演化过程，若原始数据呈单峰型，则可对原始数据做一阶累加生成建立模型；若原始数据本身呈S型形态，且样本量较小，则可以不经过一阶累加生成直接建立模型，即取原始数据为X(1),其1-AGO为X(0),建立灰色Verhulst模型直接对x(1)进行模拟[11]。

设非负原始序列,其中X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(k),…,x(0)(n)),其中k=1,2,…，n

X(1)为X(0)的1-AGO序列：X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…x(1)(k),…,x(1)(n))，其中

Z(1)为X(1)紧邻均值生成序列：Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…z(1)(n)),其中

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…n

定义1：设X(0)为原始序列，X(1)为X(0)的1-AGO序列，Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，则称

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

(1)

为灰色Verhulst模型。

定义2：称

(2)

为灰色Verhulst模型的白化方程。

(3)

1.2灰色Verhulst模型本身误差分析

文献[11]中的例10.1.1用灰色Verhulst模型对某型鱼雷研制费用进行模拟和预测。原始数据如表1所示。

对某鱼雷研制费用用灰色Verhulst模型进行模拟，得到时间响应式为

由此得到的模拟值a如表2所示。

以表2中得到的模拟值a为原始数据再次做灰色Verhulst模型，得到时间响应式为

由此得到的模拟值b如表3所示。

表1　某型鱼雷研制费用

表2　第1次误差检验表

表3　第2次误差检验表

由表3可知，用完全满足灰色Verhulst模型时间响应函数形式的数据建立灰色Verhulst模型仍然会产生误差，即灰色Verhulst模型自身具有误差。通过对此模型进行改进以消除模型本身的误差，这样便可提高模拟及预测精度。

1.3改进的无偏灰色Verhulst模型

1.3.1无偏灰色Verhulst模型改进的思想

参照文献[12]中GM(1,1)幂模型的改进思想，即对GM(1,1)幂模型的时间响应式

(4)

两边同时取1-Y次方得:

(5)

上式右边为关于k的非齐次指数函数，这在形式上和GM(1,1)模型对一阶累加生成序列的模拟响应式是一致的。由文献[13]可知，无偏GM(1，1)模型的同一表达式为：

(6)

其中，-a为发展系数，b为灰色作用量。令上式可表示为：

x(1)(k)=β1x(1)(k-1)+β2,k=2,3,…,n

(7)

观察灰色Verhulst模型的时间响应式不难发现，将时间响应式两边同时取倒数，即

(8)

得到的式子正好是关于k的非齐次指数函数，故可用GM(1，1)幂模型改进的思想，即对原始数据作倒数生成按照无偏GM(1,1)模型直接建模法建立模型。

1.3.2无偏灰色Verhulst模型的建立与求解

设X(0)为原始数列，X(1)为X(0)的1-AGO序列，Y(1)为X(1)的倒数生成序列，则称

(9)

为无偏灰色Verhulst模型。

以上模型中的带估计参数β1和β2可以直接通过最小二乘原理进行估计。

若β1和β2为无偏灰色Verhulst模型的参数向量，则无偏灰色模型参数的最小二乘估计：

其中，

(10)

1.3.3无偏灰色Verhulst模型本身误差分析

由上述可知灰色Verhulst模型本身存在系统误差，现在对无偏灰色Verhulst模型本身的误差通过例子进行验证。以表2中得到的模拟值a为原始数据再次做无偏灰色Verhulst模型，得到时间响应式为

由此得到的模拟值c如表4。

表4　第3次误差检验表

由表4可以看出，无偏灰色Verhulst模型消除了自身固有的偏差。

2兰州到中川铁路货运量的模拟与预测

例1 下面分别利用GM(1,1)模型、灰色Verhulst模型、无偏灰色Verhulst模型对兰州至中川铁路货运量进行模拟与预测，分别比较其精度。兰州至中川2009-2013年铁路分担货运量数据见表5。

表5兰州至中川铁路分担货运量

Table 5 Freight volume from Lanzhou to zhongchuan

万t

表5中的数据本身呈S型形态，且样本量较小，则可以不经过一阶累加生成直接建立模型。

1)利用2009-2013年的数据建立GM(1，1)模型，取初始条件

得时间响应式为：

2)利用2009-2013年的数据建立灰色Verhulst模型,取相同的初始条件，得时间响应式为：

3)利用2009-2013年的数据建立无偏灰色Verhulst模型,取相同的初始条件，得时间响应式为：

3种模型的模拟预测值与实际值的比较情况如表6所示，通过图1可以更加直观的反映出3种模型在预测铁路货运量时的精度。

通过表6可以看出，虽然2012年改进后模型的相对误差高于灰色Verhulst模型的相对误差，但是从总体上看无偏灰色Verhulst模型的平均相对误差小于GM(1，1)模型与灰色Verhulst模型的平均相对误差，这种现象在实际应用中出现也是正常的。因此，无偏灰色Verhulst模型的相对误差较少，即具有较高的预测精度，说明无偏灰色Verhulst模型在铁路货运量预测中的适用性和优势性。

表6　3种模型的模拟预测值与实际值的比较

图1　3种模型的模拟预测值与实际值的比较Fig.1 Comparison of actual value and simulation predicted value

3结论

1)用GM(1，1)幂模型改进思想对灰色Verhulst模型进行改进，即对原始序列作倒数生成，按照无偏GM(1,1)模型直接建模法建立模型，得到无偏灰色Verhulst模型。

2)通过实例分析，改进后的无偏灰色Verhulst模型消除了系统误差。

3)运用无偏灰色Verhulst模型对兰州至中川2009-2013年铁路货运量进行模拟，若原始数据呈单峰型或S型，通过实例可以看出无偏灰色Verhulst模型在铁路货运量预测中的适用性和优势性。

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(编辑蒋学东)

摘要:铁路工程项目投资和效益的控制，铁路运输发展战略的制定以及铁路运输设施效益的提高都与铁路货运量密切相关，准确预测铁路货运量具有重要意义。根据无偏GM(1,1)模型直接建模法的思想对传统灰色Verhulst进行改进，即对原始序列作倒数生成，运用新生成的序列建立模型，便可得到无偏灰色Verhulst模型。改进后的模型消除了灰色Verhulst模型自身固有的偏差，用此模型预测兰州至中川铁路货运量，结果表明，无偏灰色Verhulst模型比传统灰色Verhulst模型和GM(1,1)模型的预测精度更高。

关键词：货运量；铁路工程；倒数生成；无偏灰色Verhulst模型

Railway freight volume forecasting based onunbiased grey Verhulst modelAN Yonge, BAO Xueying,WANG Qicai

(School of Civil Engineering ,Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China )

Abstract:Controls of investment and benefits in railway engineering project, formulation of development strategy of railway transportation and efficiency of railway transport facilities are the four parts that are closely related to the railway freight volume. It is of great significance to predict railway freight volume accurately. According to the idea of direct modeling method of unbiased GM(1,1) model, a traditional grey Verhulst is improved ,that is reciprocal sequence of original is generated and unbiased grey Verhulst model is built by the newly generated one. This model can eliminates the inherent bias and can be used to forecast freight volume from Lanzhou to zhongchuan. The results show that, compared with traditional grey Verhulst model and GM(1,1) model, predictions of unbiased grey Verhulst model are more accurate.

Key words:freight volume; railway engineering project; generated reciprocal; unbiased grey Verhulst model

中图分类号：TU528

文献标志码：A

文章编号：1672-7029(2016)01-0181-06

通讯作者：鲍学英(1974-)，女，宁夏中卫人，教授，从事建设项目管理及经济评价研究；E-mail:813257032@qq.com

基金项目：长江学者和创新团队发展计划资助项目 (IRT1139)

收稿日期：*2015-06-22