考虑剪切效应时双模量梁弯曲变形的计算

吴晓　赵均海　黄志刚　杨立军

摘 要 推导出了双模量梁剪切弹性模量的表达式，采用材料力学原理证明了双模量梁中性轴位置与作用在梁上的横向外载荷无关.在考虑剪切变形的基础上，采用Timoshenko梁理论研究了双模量梁的弯曲变形问题，利用奇异函数得到了双模量梁在横向外载荷作用下的挠曲线通式.以双模量简支梁为例，给出了考虑剪切效应对双模量简支梁弯曲变形影响时的判别式，讨论分析了剪切效应对双模量简支梁弯曲变形的影响.

关键词 剪切效应；双模量；梁；弯曲变形；Timoshenko；奇异函数；中性轴

中图分类号 O341 文献标识码 A 文章编号 1000-2537（2015）04-0063-05

Abstract The expression of shear elastic modulus of bimodulous beam was given， and that lateral loads acting on bimodulous beams have no effect on the position of the neutral axis was proved. Based on consideration of shear deformation， bending deformation of bimodulous beam was studied by Timoshenko beam theory and the deflection expression of bimodulous beam under lateral loads was deduced. The determinant of considering shear effect on bimodulus beam bending deformation was given， and the influence of shear effect on bending deformation of bimodulous beam was discussed by examples.

Key words shear effect； bimodulous； beam； bending deformation； Timoshenko； singularity function； neutral axis； elastic modulus

在实际工程中，许多工程结构由双模量材料制成，即由拉压弹性模量不同的材料制成.铸铁、金属合金和混凝土等材料都具有拉压弹性模量不同的双模量特性，已有文献对双模量结构在外载荷作用下的变形进行了计算分析.文献[1～2]采用有限元法分析了双模量材料板的变形， 文献[3]采用细观力学研究了双模量泡沫材料等效弹性模量， 文献[4]研究了双模量材料的本构关系， 文献[5～8]对双模量材料结构弯曲及扭转变形进行了计算分析，文献[9]研究了双模量梁的弯曲变形，但是没有研究剪切效应对双模量梁的弯曲变形影响；文献[10]证明了轴向载荷对双模量梁中性轴位置有较大影响.基于上述因素，本文给出了双模量梁剪切弹性模量的表达式，证明了横向外载荷对双模量梁的中性轴位置无影响，并采用Timoshenko梁理论研究了双模量梁的弯曲变形，分析讨论了剪切变形效应对双模量梁弯曲变形的影响.

1 剪切弹性模量表达式

2 确定中性轴位置

由于双模量梁在外载荷作用下弯曲时，会形成弹性模量不同的拉伸区和压缩区，由弹性理论可知双模量梁弯曲时的应力和应变关系为

由式（17）和式（20）可知当c→∞时，即为忽略剪切效应时双模量简支梁在均布载荷或集中载荷作用下中点的挠度，这说明本文推导双模量梁的挠曲线通式是正确的.从以上算例可知，本文在考虑剪切变形的基础上，采用Timoshenko梁理论研究了双模量梁的弯曲变形问题，通过奇异函数得到了双模量梁在横向外载荷作用下的挠曲线通式，利用双模量梁在横向外载荷作用下的挠曲线通式可以方便计算出双模量梁的弯曲挠度.对表1进行分析可知有机玻璃双模量材料简支梁在均布载荷作用下当hl≤17时，可以忽略剪切变形的影响；对表2进行分析可知有机玻璃双模量材料简支梁在集中载荷作用下hl≤16时，可以忽略剪切变形的影响.

5 结论

通过上述推导证明与实例分析可知：

（1）得出了双模量梁剪切弹性模量的表达式.

（2）采用材料力学原理证明了双模量梁中性轴位置与作用在梁上的横向外载荷无关.

（3）在考虑剪切变形的基础上，采用Timoshenko梁理论研究了双模量梁的弯曲变形问题，利用奇异函数可以方便得到双模量梁在横向外载荷作用下的挠曲线通式.

（4）对表1进行分析可知有机玻璃双模量材料简支梁在均布载荷作用下当hl≤17时，可以忽略剪切变形的影响；对表2进行分析可知有机玻璃双模量材料简支梁在集中载荷作用下当接近hl≤16时，可以忽略剪切变形的影响.

参考文献：

[1] MEDRI G. A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression [J].Trans ASME， 1982，26（104）：26-28.

[2] SRINIVASAN R S， RAMACHANDRA L S. Axisymmetric nonlinear dynamic response of bimodulous annular plates [J].J Vib Acous， 1990，112（2）：202-205.

[3] 李战莉，黄再兴.双模量泡沫材料等效弹性模量的细观力学估算方法[J].南京航空航天大学学报， 2006，38（4）：464-468.

[4] 蔡来生，俞焕然.拉压模量不同弹性物质的本构[J].西安科技大学学报， 2009，29（1）：17-21.

[5] 吴 晓，杨立军，孙 晋.双模量圆板弯曲变形的计算分析[J].西安建筑科技大学学报：自然科学版， 2009，41（1）：88-92.

[6] 吴 晓，黄 翀，孙 晋.双模量悬臂梁在分布载荷作用下的Kantorovich解[J].湖南科技大学学报：自然科学版， 2012，27（2）：55-59.

[7] 吴 晓，杨立军，孙 晋.用双模量理论分析灰铸铁拉伸与扭转的破坏试验[J].湖南科技大学学报：自然科学版， 2011，26（3）：51-54.

[8] 吴 晓.用Kantorovich及Galerkin联合法研究双模量板的弯曲[J].西安建筑科技大学学报：自然科学版， 2012，44（4）：457-461.

[9] 周小平，卢 萍，张永兴，等.不同拉压模量弹性地基梁的解析解[J].重庆大学学报：自然科学版， 2007，30（7）：78-82.

[10] 姚文娟，叶志明.不同模量弯压柱的解析解[J].应用数学和力学， 2004，25（9）：901-909.

（编辑 陈笑梅）