谈化归与转化思想在解析几何中的应用

2016-02-22余丰

中学课程辅导·教学研究 2016年26期

⌾余丰

谈化归与转化思想在解析几何中的应用

⌾余丰

转化思想与化归思想解答问题的重要思想方法，尤其在求解解析几何问题中。一般来说，数学教学中各种问题都会涉及到转化思想以及化归思想。例如，数形结合反映出数与形之间的相互转化;函数与方程则反映出函数、不等式以及方程之间的相互转化;分类讨论则反映出局部以及整体之间的相互转化。由此可见，转化思想以及化归思想是数学解题中常用的手段。因此，本文将转化思想以及化归思想作为立足点，根据数学实例来探讨转化思想以及化归思想在数学解析几何中的实际应用，旨在为数学学习提供参考。

转化思想；化归思想；解析几何

数学在高中各科中属于较难的课程，而解析几何则是高中诸多数学知识中难度较大的内容。如何真正理解解析几何知识，并熟练掌握解析几何的解题方法，是每个高中学生必须面对的重要问题。根据老师的指导和本人的解题实践发现，灵活运用转化与化归思想分析解析几何问题，往往能使问题简明而直观，从而提高解题的速度和准确率。

一、转化思想以及化归思想的基本概念

转化思想以及化归思想其实质就是不断地观察、分类以及联想且运用正确的数学方法进行有效变换，使某一题目的原问题转化为新问题，再通过对新问题进行有效求解来达到解答原问题的一种数学思想方法在解析几何的解题过程中，如果学生能够有效运用转化思想以及化归思想，便能事半功倍地完成解答。

二、转化思想以及化归思想在解析几何当中的实际应用

1.动点以及定点之间的相互转化一般来讲，动点以及定点的存在都是相对而言。对于同一个解题对象，根据实际要求可灵活变换其动点以及定点。例如，在解答多个动点的题目时，可依照题意将多个动点中的某一动点视为定点，然后根据相关结论或规律，寻找动点与定点之间的相互联系解答问题。

例已知点P是直线y=x上的任一动点，点M是圆O1:x2+(y-1)2=0.25上的任一个动点，点N是圆O2:(x-2)2+y2=0.25上的任一个动点，求|PN|-|PM|的最大值。

本题是一道典型的解析几何动点求最值问题，题中涉及三个动点之间的距离，学生解题有较大的难度。所以可以考虑运用数学转化及化归思想来进行解答。分析题目的图形，我们可借助几何性质将使本题中动点之间的距离转化为定点之间的距离来求解。为了降低难度，可以任取一个点P，先将其视为一个定点，当点N为PO2延长线与圆O2的交点时，|PN|取到最大值；当M取PO1和圆O1的交点时，PM就能够取得最小值。再让点P动起来，从而求|PN|-|PM|的最大值，就转化为求|PO2|-|PO1|+2的最大值。经过这样的转化，三个动点之间的距离转化为动点P到两个定点O1和O2的距离问题，接下来根据图形对称性不难得出所求最值。

2.数与形之间的相互转化众所周知，解析几何的根本核心就是通过代数方法来完成几何问题的解答，其基本理念就是数形结合，以数代形的方式使得几何条件能够代数化，再将代数运算过程进行几何化，进而优化几何题目的解题过程。

①若点B坐标为(0,-0.25)，满足|BE|=|BF|，求直线l的斜率；

②若A是椭圆的右顶点，并且∠EAF的角平分线为x轴，试求直线l的斜率。

本题的求解，首先应抓住几何条件的基本特征进行考虑，再通过有效的代数形式进行表示。题①，可由|BE|=|BF|结合等腰三角形三线合一等条件，化为等腰三角形底边上的中线与底边垂直，得到BE与BF的斜率乘积为-1从而求解；题②，可抓住∠EAF的角平分线是x轴，从而由AE与AF关于x轴对称，进而转化为直线AE和AF斜率之和为0，以下再进一步转化为方程求解即可。

3.定点定值以及恒等式之间的转化在解答二次曲线问题中，将定点定值灵活转化为恒等式，可有效解答出实际值。

①求圆C的方程；