树指标集马氏链的鞅性

范振耀，金少华，边静

（1.唐山学院基础教学部，河北唐山063000；2.河北工业大学理学院，天津300401）

树指标集马氏链的鞅性

范振耀1，金少华2，边静1

（1.唐山学院基础教学部，河北唐山063000；2.河北工业大学理学院，天津300401）

研究在不限定根顶点O条件下，树指标集马氏链的常返性．给出了树指标集马氏链常返性的一个充分条件，并得到了在状态非常返的条件下，树指标集马氏链的若干鞅性．

树指标集马氏链;常返性;一致可积分鞅;L1鞅

0 引言

设T为任意的树，根顶点为O，T表示由根顶点O到第n层顶点所有顶点构成的子图．Ln表示由树T的第n层顶点组成的子图，树T的边界T是由树T的所有射线组成的集合，即由根顶点O发出的无限不自我相交的射线所组成的集合．

树指标集随机过程是近年发展起来的概率论的一个新的研究方向．Spitzer[1]首先研究Markov随机场，Berger和叶中行[2]研究了齐次树图上平稳随机场熵率的存在性，杨卫国[3]利用分析方法研究了树指标集马氏链一般的强大数定律，给出了齐次树指标集马氏链的若干极限性质，金少华[4]研究了非齐次树指标集马氏链的强极限率和偏差定理，陈晓雪，杨卫国[5]给出了树指标集马氏链的等价定义，党慧，杨卫国[6]研究了二叉树上分支马氏链定义的等价形式，并指出在二叉树情况下，树指标集马氏链是特殊的分支马氏链．树指标集马氏链的概念是由Benjam in.I和Peres[7]首先提出来的，其本质是Markov随机场，在文献[7]中，作者研究了树指标集马氏链常返和射线常返的性质，但文章是假定根顶点O在确定的条件下讨论的（TOx0, x0G,G=0,1,2,），并在文章中提出了若干问题，其中一个问题是树指标马氏链的常返性是否依赖于根顶点x0．范振耀，金少华[8]得出了在不限定根顶点O的条件下，有限状态集合树指标集马氏链或者非常返，或者强常返，并给出了在有限状态空间下树指标集马氏链马氏链的充分条件，本文的主要目的是在不限定根顶点O条件下，给出了树指标集马氏链常返性的另外一个充分条件，并研究了在状态k非常返条件下，树指标集马氏链的鞅性，为进一步研究树指标集马氏链提供了便利．

1 主要结论

若树指标集马氏链以正的概率访问状态k无穷多次，则状态k为常返的，若树指标集马氏链在一条射线上以正的概率访问状态k无穷多次，则状态k为射线常返的．设S,T为树T指标集马氏链，G

[1]Spitzer F．Markov random fieldson an infinite tree[J]．Ann Probab，1975，3：387-398．

[2]Berger T，Ye Z．Entropic aspectsof random fieldson trees[J]．IEEETrans inform Theory，1990，36：1006-1018．

[3]YangWeiguo．Some lim itproperties forMarkov chains indexed by ahomogeneous tree[J]．Statistics＆amp;Probability letters，2003，65：241-250．

[4]JIN Shaohua．Many Strong Lim it Theorems for Non-homogeneousMarkov Chainsby a Non-homogeneous Tree[M]．Published by the IEEECS：790-793．

[5]陈晓雪，杨卫国，王豹．树指标马氏链的等价定义[J]．数学研究，2012，45（4）：411-414．

[6]党慧，杨卫国．二叉树上分支马氏链的等价性质[J]．应用概率统计，2014，30（5）：491-496．

[7]Benjam ini I，Peres Y．Markov chains indexed by trees[J]．Ann Probab，1994，22：219-243．

[8]范振耀，金少华，边静．指标集马氏链的常返[J]．数学的实践与认识，2009，39：221-223．

[9]史及民．离散鞅及其应用[M]．北京：科学出版社，1999．

[责任编辑 杨屹]

Themartingale properties for the tree indexed Markov chains

FAN Zhenyao1，JIN Shaohua2，BIAN Jing1

(1.Basic CourseDivision,Tangshan College,HebeiTangshan063000,China;2.SchoolofScience,HebeiUniversity of Technology, Tianjin 300401,China)

The paper studies the recurrence of the tree indexed Morkov chainson condition that the rootvertex O in not lim ited,and getthemartingalepropertiesof the tree indexedmarkov chainsin thestateofnotbeing in recurrentconditions.

tree indexed Markov chains;recurrence;uniform ly integrablemartingale;L1martingale

O211.4

A

1007-2373(2016)03-0028-03

10.14081/j.cnki.hgdxb.2016.03.005

2015-07-13

河北省自然科学基金（201A5105073）；河北省高等学校科学技术研究项目（Z2014017）；唐山学院教科研项目（15008B）

范振耀（1979-），男（汉族），讲师，fanzy1127@126.com．