三次贝塞尔曲线关于深基坑深层水平位移数据异常修正的探讨

罗莉，文选跃

（广东省重工建筑设计院有限公司，广州 510670）

三次贝塞尔曲线关于深基坑深层水平位移数据异常修正的探讨

罗莉，文选跃

（广东省重工建筑设计院有限公司，广州 510670）

针对变形监测工程中时常出现的深层水平位移数据因孔深（即起算基准深度）的变化，造成数据异常的情况，利用三次bezier曲线数据内插拟合和两组数据相关计算，准确修正失真数据，反映深基坑支护工程的真实变化。

bezier曲线；深层水平位移；误差修正；内插

【DOI】10.13616/j.cnki.gcjsysj.2016.07.026

1 引言

在深基坑工程的监测过程中，时常会出现一些测点保护不当，造成深层水平位监测孔（测斜管）上部断裂和底端泥浆、石块等杂物填充，导致测斜管起算深度改变，引起的采集数据异常。同时，一些现场不合理的操作也能导致起算深度差异，也能造成数据异常。

测斜仪的原理是利用测量仪器轴线与铅垂线之间倾角来计算其水平位置，如果起算深度变化，则采集数据会不同。在测孔不发生变形的情况下，理论上两次测斜管水平位置的曲线，经过深度和水平方向的上下左右平移，是能够重合的；如果测斜管发生变形，在起算深度不变的情况下，前后两次测量的曲线具有一定相似性。

文章利用三次Bezier曲线内插修正深层水平位移测量数据，同时结合相关系数计算原理，探讨在相关系数最大的情况下，对深层水平位移测量数据修正的合理性。

2 深层水平位移测量原理

深层水平位移监测一般称为测斜监测，是一种利用重力感应传感器的便携式探头（测斜仪），观测深基坑或高边坡围护结构和土体各个深度水平位移的深基坑监测技术（见图1）。

图1 测斜仪的工作原理

测斜仪是一种通过重力感应原理，测量仪器轴线与铅垂线之间倾角的变化量，进而计算支护结构或土体各个深度水平位移的专门仪器。

测斜仪探头与铅垂方向的倾角和读书仪输出值之间的关系式:式中，U为读数仪输出值；A为加速度计的偏值（零点漂移）；K为加速度计的标度因数；g为重力加速度；

采用正反两个方向测量，消除加速度计零点漂移：

如图1，每个测点处测斜管的水平偏移量计算公式：

式中，L为测点间距，一般取 0.5m，为测斜管滑轮轴心间距。

由式（2）和式（3），得

规范要求，围护结构深层水平位移孔不小于桩（墙）体的深度，土体深层水平位移孔不小于基坑深度的1.5倍并进入稳定岩体；深层水平位移计算时，一般认为孔底稳定不变，并将测孔底部作为起算点，则测孔第n段深度的水平偏移总量计算公式为：

3 三次bezier曲线的分割和计算公式

3.1 三次bezier曲线的定义

给定4个顶点Vi（i=0，1，2，3），则可以定义一条平面三次Bezier曲线：

曲线P(u)通过首、末顶点V0和V3，并于由四个顶点相连所形成的控制多边形首、末两边相切，三次Bezier曲线的参数方程式为：

其中（xi，yi）是点Vi的坐标，i=0，1，2，3。

3.2 三次bezier曲线的分割作图（见图2）

首先给定参数值u，在特征多边形的每一条边上确定某一分割点，使分割后的两线段之比为u:（1-u），由此可以得到分割点的点矢为：式中，第二个下标1表示第1次分割，分割后得到3个分割点，由其组成一个新的多边形，其边数变为2（V01V11和V11V21）。

用同样的方法对该2条边进行第2次分割，得到2个分割点V02和V12（下标为2），形成一个新的边V02V12。

对第2次分割的边V02V12进行第3次分割，得到点V03（下标为3）即为三次Bezier曲线上与参数u相对应的点，线段V02V12为曲线在V03处的切线。

图2 三次Bezier曲线的分割作图计算示意图

4 相关系数的计算和主要运用方向

相关系数是研究变量之间线性相关程度的量，广泛应用于调查统计分析领域，例如衡量国民收入和居民储蓄存款、身高和体重、高中成绩和高考成绩、温度和空调使用量等变量间的线性相关关系等。一般情况下，相关系数越大表明相关程度就越高。

定义两组相互独立的随机正态连续数据Y1i和Y2i（i=1，2，…，n），其数学期望为EY1i和EY2i，方差为DY1i和DY2i。数学期望和方差代表两组数据重要的数学特征，数学期望表示了随机数据的平均值，方差描述了随机数据对于其数学期望的离散程度。当两者之间呈线性关系时，表现这两组数据之间相关程度用其协方差和相关系数进行确定。

Y1i和Y2i之间的协方差计算：

Y1i和Y2i的相关系数计算公式如下：

相关系数的绝对值界于[0,1]，相关系数越大，数据之间的相关性越强，相关系数越小，相关性越弱。

通常，界于 [0.8,1]表示极强相关，[0.6,0.8]表示强相关，[0.4,0.6]表示中等程度相关，[0.2,0.4]表示弱相关，[0.0,0.2]表示极弱相关或不相关。

5 工程实例

5.1 样本选择与处理前后对比

从作业中，选取几个典型的数据异常深层水平位移监测孔实例，并对比数据处理情况。

由图3可见，孔1-4均出现了数据异常。孔1因基坑开挖产生了向基坑方向的变形，修正前是一条畸变的曲线，修正后为平滑曲线；孔2～4因基坑未进一步开挖基本未发生变形，修正前存在不同程度的畸变，修正后为平滑曲线。变形情况基本与工况一致。

根据现场记录，数据异常的原因主要为测斜管管顶断裂或孔内堵塞，根据数据处理，可以判定异常的原因。

5.2 数据处理过程说明

对本次异常数据以0.005m的间距进行上下平移，同时根据三次Bezier曲线对每个深度的测量数据进行内插，求取每一个间距深度内插出来的测量数据与测斜孔异常的前一次数据的相关系数。

在确定基坑不发生变形的情况下，内插修正的数据与测斜孔异常的前一次数据的曲线基本平行；如基坑存在一定变形，内插修正的数据与测斜孔异常的前一次数据的曲线近似平行，且两次数据的曲线基本相似。

根据深层水平位移的计算原理，在测斜孔深度满足要求的情况下，我们认为孔底稳定不变，并将测孔底部作为起算点，孔底的变化量为零，以前一次数据的曲线为基准，将修正的数据进行平移至孔底重合，则数据修正完成。

由表1可见，修正的数据与异常前一次数据的相关系数超过0.99，相似性超过99%；通过修正深度，判定孔1、2、4异常的主要原因是管顶断裂，孔3异常的主要原因是管底堵塞。

5.3 连续两次测量数据修正前后的对比

将异常后的连续两次测量数据修正前后进行对比，其成果如图4。

图3 数据异常处理前后对比图

图4 连续两次测量数据修正前后对比图

6 判断与结语

通过工程实例的修正计算结果，可以得出如下几个判定。

（1）异常的曲线是畸形的，不符合基坑开挖后因受力变化产生变形的合理性；经修正后的曲线是平滑的，与基坑开挖后受力变化而产生的变形情况基本一致，与其他正常监测孔的变化情况一致。（2）修正前和修正后两次连续观测的对应的每一深度变化的差值基本一致，正确反映了两次测量之间的变化量。（3）修正的理论依据是因深度不同造成两次测量数据的错位，需要内插和上下左右平移使两条曲线近似重合，达到修正数据的目的，具有相当的可靠性。（4）修正后的数据与异常情况修正前的数据相关系数超过0.99，说明内插修正后两次数据已具有极强的相关性；同时也表明修正后的数据相似度超过99%，修正数据具有可靠的正确性。

因此，我们可以得出如下结论：在数据出现异常，且无法恢复的情况下，通过参考前一次正确的测量数据，根据三次Bezier曲线内插和相关系数的计算，求得与前一次最大相关的深层水平位移修正数据，具备一定的科学性，其变形姿态与正常施工受力变化情况一致。且经修正的数据，在一定程度上正确地反映了该部位的变形，可做指导施工使用。

【1】[美]约翰·邓尼克利夫[著]．卢正超,黎利兵，姜云辉，王耿，等译.岩土工程监测技术手册[M].北京：中国质检出版社、中国标准出版社，2013.

【2】张旭.利用三次Bezier曲线求解几何约束问题算法的改进研究[D].黑龙江大学,2009.

【3】王家润,赵南松,华文元,等.分段连续三次Bezier曲线控制点的构造算法[J].计算机工程与应用,2010（22）:190-193.

【4】谢明文.关于协方差、相关系数与相关性的关系[J].数理统计与管理, 2004（3）:33-36.

【5】孙福刚,郑广文.随机变量的方差、协方差与相关系数的一些性质及关系[J].克山师专学报,2003（3）:23-25.

The Discussion on Correcting Abnormal Data of Horizontal Displacement of Deep FoundationBased on Cubic Bezier Curve

LUOLi,WENXuan-yue
（GuangdongZhonggongArchitecturalDesignInstituteCo.Ltd.,Guangzhou510670,China）

The article describes the horizontal displacement abnormal data due to hole depth change (starting reference depth) in deformation monitoring projects.Usingcubic bezier curve date interpolation fittingand two setsofrelated data to calculate and revise themiscalculate data accurately.At the end , the real changeofdeepfoundationsupportprojectisshowed.

beziercurve;horizontaldisplacement;errorcorrection;interpolation

F416.9

A

1007-9467（2016）07-0042-03

2016-6-11

罗莉（1985.12～），女，贵州人，工程师，从事地铁土建施工第三方监测、民用基坑、既有结构保护监测研究，（电子信箱）349027838@qq.com