对“数学教学不要无原则地搞一题多解”的思考

筅江苏省南通市通州区金沙中学　张永杰

对“数学教学不要无原则地搞一题多解”的思考

筅江苏省南通市通州区金沙中学张永杰

去年，教育部《普通高中数学课程标准（实验）》副组长、修订组组长、首都师范大学博士生导师王尚志教授在浙江嘉兴数学学科课程纲要建设推进研讨会上作了“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告.报告中王教授抛出了一个观点：数学教学不要无原则地搞一题多解.由于没机会参加会议聆听王教授报告，所读文本信息也只有观点并无阐释，所以无从获取更多教诲，但该观点确实触动了笔者，作为一线教师感同身受，也引发了笔者对“数学教学不要无原则地搞一题多解”的系列思考.

一、解读“数学教学中不要无原则地搞一题多解”

1.背景分析

王尚志教授报告的重心是介绍这次课标修订的两个重要突破：一是学生的“六大数学核心素养”，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养有待提高；二是把评价、考试纳入课程标准，形成学业质量标准，以后不设考纲，高考以课标为标准.对第一个突破要清楚其发展轨迹，主要体现为：从1962年的大纲提出了运算、空间想象、逻辑推理三大能力，到本世纪初的高中数学的课改大纲发展为抽象概括、逻辑推理、空间想象、运算求解、数据处理五大能力，再到今天的六大数学核心素养，关注学生数学学习的能力、素养发展与提高是数学课程标准制定与修改的一贯基本思考.第二个突破，主要是要把教育理想、教育目标落实到数学课程并与数学课程深度融合，落实在学生发展中，以适应“科学技术迅猛发展，21世纪对人才基本能力的要求，教育的深入发展逐步建立法制化、制度化的标志”这三大背景和国际趋势，改变我国课标、考纲各自为政，课标执行力远不如考纲、高考指挥教学现状.

高中数学教学，注重考试分数、升学率等眼前利益，忽视理性精神、数学能力和素养、全面发展等长期利益.教师的理念不与时俱进，数学课堂教学的主旋律就是解题教学，而且其“异化”途径往往是“数学教学=解题教学=题型教学=刺激-反应训练”（章建跃老师语）.无原则的一题多解必然发生于其中.曾经在一所省四星级高中听过一堂高三复习课，教师尽其所能，学生也积极配合，一道填空题讲出了八种解法，课堂气氛良好，课后向学生了解本题的收获，有的已不能讲出这些解法的要领和意义，只是感觉当初听懂了，教师的解法多，五彩缤纷，这说明能力不强的学生很多解法听过做过就忘了，消化不了，那样的一题多解就没有多大积极意义了.讲授的一题多解要着眼于能力，不能变成无谓的解法堆积和发散.如果让一题多解泛滥，那么一部分同学可能会不多解不罢休，深陷其中不能自拔；一部分越听越迷糊，题目拿到手不知从何下手.一题多解教学是必要的，但不应该成为课堂教学的常态.

高中课程改革的大背景下，学校的培养要着眼于学生的核心素养和能力的提高.无原则地搞一题多解是功利短视的做法，它违背了学生的发展需要，违背了课标精神，最终也适应不了新的高考要求和人才选拔制度.

2.论点域的确立

正如世上难有绝对的真理，命题成立有其前提条件.“一题多解”简单地说就是从不同角度、按不同思路、用不同方法给出同一道习题的解答.“一题多解”可以是一种个人的研究兴趣和特点，譬如伟大的高斯就喜欢一题多解，对一些重要定理的证明，他一惯不满足已得证法，还长期寻找新的、更漂亮的证法，有的甚至前后相距数年、几十年；一题多解也是训练、展示和交流的需要，如不少数学期刊杂志刊登发表一题多解的文章；一题多解也是课堂教学，特别是解题教学普遍认可、有效的一种教学方式，在我国数学课堂上，像著名数学特级教师孙维刚，就喜欢和倡导“三多”，即“一题多解、多题一解和一题多变”的教学.故对王尚志教授“数学课堂中不要无原则地搞一题多解”这一观点，在了解其背景之后我们必须还要搞清楚其讨论范围，那就是数学课堂、数学教学.不是反对教师的“一题多解”学术研究取向，也不是否定和打击学生对数学问题“一题多解”的兴趣，而是想借此探讨“如何在高中数学课堂中认识、处理好一题多解”，通过一题多解真正激发起学生思维，增强学生的思维能力，提高学生的数学素养，提升教学的质量与效果.

3.批判的为“无原则”

“数学课堂中不要无原则地搞一题多解”显然是用批判的眼光、辩证的视角来审视数学课堂的一题多解的，在“无原则”，不是简单粗暴地全盘否定课堂教学中的一题多解，更不是针对一题多解.我们进一步的思考是：什么是无原则地搞？它有哪些主要表现形式？其内在本质原因何在？

二、剖析“无原则一题多解”的形式与缘由

下面我们分析“无原则一题多解”的一些主要表现形式，并努力探寻背后潜藏的本质原因.

1.观念的误导

数学学科的特点决定数学思维的特殊性，表现为解决问题方法、策略和路径的多样性.一题多解是数学解题的正常形态，是训练和培养思维广阔性品质的好方式，为我国广大数学教师认可、喜爱，并能有意识、自觉地实践于数学课堂教学.问题出现在，一题多解是一种好的教学方式，但无原则的滥用却使好东西变了味，走了样.就像人参、燕窝等高级补品，营养价值高，但盲目进补，不但对进食者无益，反而伤了身体.好东西也要看怎样用，包医百病，好东西一定有好效果的观念是肯定会误人的.

2.功利的追逐

因为高考就是解题，追逐的是拿高分，是升学率.带着两个锚航行更安全，多一种方法多一种选择，基于这种心理，一题多解迎合多方需求，为高考多拿分、拿高分提供了某种可能.但是，眼里只有高考，一切围着高考打转，把数学教学异化为解题教学，更进一步变成“刺激—反应”的体力活，其结果只能使“一题多解”变成功利追逐的手段，应试的帮凶.正如数学家丘成桐所说：“做研究与做题目没有太多关系，……全国为了考试而努力，是个灾难性的问题.”

3.本质的迷失

把一题多解搞成“题型+技巧”，教师津津乐道于传授各种各样的“锦囊妙计”，对“从概念和定理出发思考和解决问题”不予重视，按章建跃老师的说法是本质上对逻辑推理不重视；例、习题选择标准是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互关联的题目，目的是让学生熟练更多的技巧，这样的一题多解，本质上是缺乏方法的目的性.所以，一题多解一旦沦为技巧的堆砌和细枝末节的纠结，必然对数学思想方法、数学能力素养等的形成和数学整体观构建不利，甚至造成干扰和伤害.

4.角色的错位

无原则地搞一题多解往往是教师的主观意识中“角色错位”造成的.一方面，教师想通过一题多解“加大思维容量”，教师只要求“讲思路”而对严格的逻辑推理过程及其表达缺少示范和要求，学生听起来似懂非懂，写起来乱七八糟；另一方面，由于一题多解确实对学生能力要求高，而学生的学习能力在客观上存在不足和个体差异，往往是教师自己在一题多解，或者是少数优生表演，而大多数的学生则变成听众和观众.这种由于缺乏“如何解题”、“怎样教会学生解题”引导和启发的“一题多解”，只是往学生头脑中灌输了一些彼此不太相关的所谓方法，结果是：多了，反而乱了，什么也没学会，什么也没抓住.

三、构建“有原则的一题多解”

只批判“无原则地搞一题多解”并无多大意义，破是为了立.一题多解作为我国数学解题教学的优良传统，我们应该辩证的继承，充分挖掘、发挥其正效应、正能量.相对于无原则，一个自然的想法是确立原则，使无原则地搞变为按原则操作.所以需要构建“有原则的一题多解数学教学”，对此，谈谈个人几点不成熟的想法.

1.目的性原则

学数学离不开解题，但要明白解题是为了什么？目的性要明确.一般地，我们认为通过解题，加深概念理解，深化对概念间联系性的认识，优化数学认知结构，训练数学思维，提高学生数学能力和数学核心素养，而不是为了解题而解题.按王尚志教授的说法，数学有对思维训练、实用价值及备考训练的三大作用.一题多解是一种重要的数学活动，一定程度上它为实现这三大作用提供路径.

需要指出的是，在课堂教学操作层面，对一题多解，一方面要对其中的每一具体解法，要结合其特点、特征，侧重于个性和更具体的目的或功能分析；另一方面要重视进行方法间的横向比较，拓展学生思路，引导学生养成从不同视角看数学问题，用不同表征、陈述和解决问题，从而使学生更好地整体把握和认识数学.

另外，在不同课型、不同学习阶段，目的性是存在差异的，如新授课以巩固和深化概念为主，概念联系只能是与旧知单向；习题课、复习课，特别是高三复习课，由于知识、技能和方法基本在之前分散学过，所以横向前后联系更广泛，优化认知结构相对更重要，思维训练就更灵活.不同数学内容，不同课型，对一题多解的需求和要求是不一样的，一题多解的目的或所要达成的目标是有区别的.

2.“好题”原则

显然，不是任何一个题都适合你的学生，特别是适合一题多解的.例如：求过点（3，2）的直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值.本题用直线的点斜式求出截距后再使用基本不等式轻松解决，然而过分强调一题多解的话，直线方程可以有截距式和斜截式的选择；求最值可以有导数和二次函数的选择，实际比较下来都不如第一种方法好，这样就没有必要在此题上强调一题多解了.如果是从不同的角度思考，方法上差不多简便，那么就可以考虑让学生思考多种解法，明晰各自思路的要领，以达到融会贯通的目的；如果一种方法简洁明了，其他方法又绕弯又费解，就无需讲多种解法.孙维刚老师说：“我给学生出一道题，自己要先做10道题，从中选出最精彩、最典型、最能启发学生思维的，做好基本功.”那么，选择什么样的题最能启发学生思维、最适合进行一题多解训练呢？主张“让学生解好题”和“好解题教学”的章建跃老师给我们提供了“好题”标准：从数学角度衡量，“好题”应具有如下“品质”：与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系，解题方法自然、多样，具有自我生长的能力等；从培养思维能力的角度，则应有：问题是自然的，对学生智力有适度的挑战性，题意明确，不纠缠细枝末节，表达形式简洁、流畅、好懂等.适合一题多解的题目选择还应注意时间点，只有在学生牢固掌握各种解法时，适时恰当引导，才能让学生真正做到一题多解.例如：在直线的方程中，涉及截距问题时，往往截距式和斜截式运用一种形式就可以很好地解决问题，可是不少刚学习这一知识的学生在解题时会同时出现截距式和斜截式，反映出学生出现了在方法上的选择困难.

3.教师主导原则

目的性原则和“好题”原则，是从数学内容、教学功能角度提出的标准，按章建跃老师的“三个理解”说法，主要侧重于“理解数学”.一题多解强调教师主导原则，主要是从“理解教学”角度提出，具体表现为：首先，例、习题选取，其目的性确立，“好题”选择和判断主要是靠教师把握，需要教师自身有高的数学素养（当然包括一题多解能力）；其次，数学课堂的一题多解，当然需要教师课堂组织和领导.对一题多解教学，教师主导作用在以下几个关键点上显得尤为重要：个体的独立思考、小组（班级）交流与展示、点评与总结等.譬如章建跃老师认为下面这种组织形式是解题教学的好习惯：出示题目—请大家认真读题、审题，有想法后就举手—闭上自己的嘴耐心等候—说说你的想法，而不和盘托出自己的想法—还有不同的想法吗—大家总结一下.

教师的真正意义不在于告诉学生可以怎么解，而在于知道在适当的时机引导学生个性思考、合作探究、交流争辩，积累总结，让课堂闪耀学生的思维火花.搞一题多解的教学，真正意义不在于把学生训练到拿到题就想到有哪几种方法，以掌握的方法多来逞能，而在于让学生知道哪种解法更适合自己的思维，在学习中提升了学习兴趣，了解了数学思想，掌握了学习的方法.

4.学生主体原则

一题多解的课堂教学（解题教学），它的目的当然是学生学会解题，更理想的是能用多种方法解题.正如数学家波利亚所说，解题是一种实践性的技能，你必须观察和模仿别人在解题时的做法，最后你通过解题学会了解题.所以，一题多解必须强调学生主体性原则，尽可能保证学生解题的“主角”角色.鼓励、欣赏学生广开思路和发散思维，促进学生相互之间交流与启发.

落实学生主体原则需要注意几点：（1）给足学生独立思考时间，而且一定要让每个学生有真正的独立思考；（2）不否定和排斥教师的必要帮助、示范，但要把握好度；（3）对于数学领悟力好的学生，可以考虑多一些一题多解的教学，接受能力一般的学生，即便有简便的方法，但不易理解，这时讲一种适合他们思维方式的办法就可以了，能力提高了以后再说.尊重学生个体差异和思维特性，教师并不强求每位学生掌握每种解法，尊重学生自己的选择和爱好（譬如有的倾向代数思维，而另一个则相反，喜欢几何思维），这在平面向量中与图形有关的问题上体现的较为明显.

四、结束语

随着高中课程标准修订工作的推进，高中数学课程自然会出现新变化和新要求，作为一线教师要适应这些变化和要求，只能不断加强学习，密切关注课改信息和动向.六个数学核心素养是此次课标修订的重大突破和新成果，必将引领数学课程新走向，是我们数学教师学习的重中之重；为实践六个数学核心素养的数学教学，需要对传统做法进行批判性反思，处理好继承、改进和创新的关系，一题多解是被实践证明了的好的做法，但仍需谨防无原则地使用.

1.章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益［J］.数学通报，2013（2）.

2.章建跃.让学生解好题［J］.中小学数学，2013（12）.

3.章建跃.再谈什么才是好解题教学［J］.中小学数学，2014（5）.F