群环Zn[i]G的零因子图的性质

唐高华，李 玉，吴严生

(广西师范学院数学与统计科学学院，广西南宁530001)

群环Zn[i]G的零因子图的性质

唐高华，李 玉，吴严生

(广西师范学院数学与统计科学学院，广西南宁530001)

本文主要研究由模n高斯整数环Zn[i]和素数阶循环群G构成的群环Zn[i]G的零因子图的性质，分别给出了Zn[i]G的零因子图的围长、平面性和直径的完全刻画。

群环；零因子图；围长；平面性；直径

0 引言

1988年，Beck在文献[1]中最早给出交换环的零因子图Γ(R)的定义：R中的每个元素都是Γ(R)的顶点，2个不同的顶点y与x有一条边相连当且仅当xy=0。1999年Anderson和Livingston在文献[2]中对Beck关于交换环的零因子图的定义进行了修改，以环R的非零零因子集D(R)*为图Γ(R)的顶点集，2个不同的顶点y与x有一条边相连当且仅当xy=0，并得出了关于环R的零因子图的一些基本结果：对任意的交换环R，R的零因子图Γ(R)是连通的，Γ(R)的直径只能为0、1、2、3，Γ(R)的围长只能为3、4、∞。唐高华、苏华东等在文献[3-6]给出了模n高斯整数环Zn[i]的单位群、素谱、零因子等代数结构及其零因子图的直径、平面性、围长、类数、中心集、半径等图结构的刻画。2015年，郭述峰等在文献[7]中刻画了群环ZnG的零因子图的围长、直径和平面性，其中G为素数阶群。本文主要完全刻画群环Zn[i]G的零因子图Γ(Zn[i]G)的围长、平面性和直径，其中Zn[i]={a+bi|a，b∈Zn，i2=-1}为模n高斯整数环，G=〈a：ap=1〉为素数p阶群。

图Γ是完全图是指它的每一对不同的顶点都有一条边相连。用Kn表示含有n个顶点的完全图，用Kn，m表示完全二部图。图Γ上的两点u、v之间的距离是指u和v之间的所有路径中最短的长度，记为d(u,v)。图Γ的直径diam(Γ)=sup{d(u,v)|u,v∈V(Γ)}。图Γ的围长是指图Γ中最短的圈长，用gr(Γ)表示，若图Γ中不含圈，则定义gr(Γ)=∞。图Γ是平面图是指它能画在平面上使得它的边仅在端点相交。用|A|表示集合A的基数，A*=A-{0}，J(R)表示环R的Jacobson根。

1 预备知识

引理1(文献[8]定理9.10) 一个图是平面图当且仅当它不包含K5或K3,3的剖分图。

引理2(文献[9]命题19.10) 设K是一个特征为p>0的域，G是一个有限p群，则KG为局部环，且KG的增广理想就是它的Jacobson根，J(A)|G|=0，A/radA≌K。

引理3(文献[9]命题19.11) 设(R,m)是一个交换局部环且K=R/m的特征p>0，则对任意的有限p群G，群代数A=RG是一个局部环。

由引理4可推出引理5。

引理5 设n与p为互不相同的素数，则：

②当p|(n-1)时，xp-1+…+x+1在Zn[x]中完全可约。

引理6 设Zn[i]为模n高斯整数环，n≡3(mod 4)，且n和p为互不相同的素数，则同余方程xp≡1(modn)有除1以外的解当且仅当p|(n2-1)。

证明 当n≡3(mod 4)，且n为素数时，Zn[i]为n2元有限域，其单位群是n2-1阶的循环群，则xp≡1(modn)在Zn[i]中有除1以外的解当且仅当p|(n2-1)。证毕。

综合引理5与引理6易知存在互不相同的素数n和p，使得xp-1+…+x+1在Zn[x]中不可约但在Zn[i][x]中可约。

引理7(文献[7]定理1) 设Zn为模n剩余类环，G为素数p阶群，则：

①gr(Γ(ZnG))=∞当且仅当以下条件之一成立：

(a)n=p=2；

(b)n=2，p≠2。

②gr(Γ(ZnG))=3当且仅当以下条件之一成立：

(a)p|n且当p=2时n≠2；

(b)(p,n)=1且n为合数；

(c)n与p为互不相同的素数，p≠2，且p|(n-1)。

③gr(Γ(ZnG))=4当且仅当以下条件之一成立：

(a)p=2，n为奇素数；

引理8(文献[5]定理3) 设R=Zn[i]，则：

①当n=2，p或2p，p是素数且p≡3(mod 4)时，gr(Γ(R))=∞；

②当n=p1p2，且p1、p2均是模4 余3的素数或n=p，p是模4余1的素数时，gr(Γ(R))=4；

③其他情况下，gr(Γ(R))=3。

引理9(文献[11]推论3.6.9) 设R是一个环，G是一个有限群，如果|G|在R中可逆，则RG≌R⊕Δ(G)。

引理10(文献[12]定理22)Γ(Zn[i])是平面图当且仅当n=2或4。

引理11(文献[7]定理3) 设Zn为模n剩余类环，G为素数p阶群，则Γ(ZnG)为平面图当且仅当以下情形之一成立：

①n=p=2；②n=p=3；③n=4，p=2；④n=3，p=2；⑤n=2，p≠2；⑥n=3，p≥5。

引理13 设Zn[i]为模n高斯整数环，G=〈a〉为素数p阶群，(n,p)=1，Δ(G)为群环Zn[i]G的增广理想，则a-1是Δ(G)中的正则元，即若(a-1)β=0，β∈Δ(G)，则必有β=0。

证明 若(a-1)β=0，β∈Δ(G)，则存在xi∈Zn[i]，i=1,2,…,p-1，使得β=x1(a-1)+x2(a2-1)+…+xp-1(ap-1-1)。 于是(a-1)β=(x1+x2+…+2xp-1)-(2x1+x2+…+xp-1)a+(x1-x2)a2+…+(xp-2-xp-1)ap-1=0，从而xi=x1，∀2≤i≤p-1，故有px1=0，又(p,n)=1，所以x1=0，于是β=0，故a-1是Δ(G)中的正则元。证毕。

图1 Z2[i]G的零因子图Fig.1 The zero-divisor graphof Z2[i]G

引理14(文献[2]定理2.3) 设R是交换环，则Γ(R)是连通图，且diam(Γ(R))≤3。

下面先给出1个有用的例子。

例1 设Z2[i]为模2高斯整数环，G=〈a〉为2阶群，则Z2[i]={0,1,i,1+i}，G={1,a}，D(Z2[i]G)={0,1+i,(1+i)a,1+a,i(1+a),1+i+(1+i)a,i+a,1+ia}，Z2[i]G的零因子图如图1所示，易知Γ(Z2[i]G)的直径为2，围长为3，它是平面图。

2 Γ(Zn[i]G)的围长

由于群环ZnG的零因子图是群环Zn[i]G的零因子图的子图，结合图的围长的定义及引理7，我们可得到下面引理15。

引理15 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，若以下条件(a)、(b)、(c)中有一个成立，则gr(Γ(Zn[i]G))=3：

(a)p|n且当p=2时n≠2；

(b)(p,n)=1且n为合数；

(c)n与p为互不相同的素数，p≠2，且p|(n-1)。

因此，要刻画群环Zn[i]G的零因子图的围长，只需要考虑以下4种情况：

①n=p=2；

②n=2，p≠2；

③p=2，n为奇素数；

下面以引理的形式分别就上面4种情况给出结果。

引理16 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，则：

①n=p=2时，gr(Γ(Zn[i]G))=3；

②n=2，p≠2时，gr(Γ(Zn[i]G))=3。

证明 当n=p=2时，由例1知，gr(Γ(ZnG))=3。当n=2，p≠2时，在Γ(Zn[i]G)中，1+i—(1+i)a—(1+i)a2—1+i构成一个长为3的圈，故gr(Γ(Zn[i]G))=3。证毕。

引理17 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，则：

①p=2，n为奇素数且n≡3(mod 4)时，gr(Γ(Zn[i]G))=4；

②p=2，n为奇素数且n≡1(mod 4)时，gr(Γ(Zn[i]G))=3。

证明 当p=2，n为奇素数且n≡3(mod 4)时，Zn[i]为n2元有限域，且易知Zn[i]G≌Zn[i]⊕Zn[i]，此时Zn[i]G是2个域的直和，故Γ(Zn[i]G)是完全二部图。又因为|Zn[i]|≥9，故gr(Γ(Zn[i]G))=4。当p=2，n为奇素数且n≡1(mod 4)时，由引理8知gr(Γ(Zn[i]))=4，不妨设x—y—w—z—x是Γ(Zn[i])中的一个圈。再由引理9知，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Δ(G)，于是(x,0)—(y,z(a-1))—(0,x(a-1))—(x,0) 就是Γ(Zn[i]G)中的一个圈，故gr(Γ(Zn[i]G))=3。证毕。

②当n≡3(mod 4)，p|(n+1)时，gr(Γ(Zn[i]G))=3；

③当n≡1(mod 4)时，gr(Γ(Zn[i]G))=3。

(1,0,0,…,0)—(0,1,0,…,0)—(0,0,1,0,…,0)—(1,0,0,…,0)

构成一个长为3的圈，故gr(Γ(Zn[i]G))=3。 当n≡1(mod 4)时，类似引理17可证，gr(Γ(Zn[i]G))=3。证毕。

综合引理15～18，我们给出群环Zn[i]G的零因子图的围长的一个刻画：

定理1 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，则：

①gr(Γ(Zn[i]G))=3当且仅当以下条件之一成立：

(a)p|n且当p=2时n≠2；

(b)(p,n)=1且n为合数；

(c)n与p为互不相同的素数，p≠2，且p|(n-1)；

(d)n=p=2；

(e)n=2，p≠2；

(f)p=2，n为奇素数且n≡1(mod 4)；

②gr(Γ(Zn[i]G))=4当且仅当以下条件之一成立：

(a)p=2，n为奇素数且n≡3(mod 4)；

3 Γ(Zn[i]G)的平面性

设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群。由于Γ(Zn[i])与Γ(ZnG) 都是Γ(Zn[i]G)的子图，由引理10及引理11知，要刻画Zn[i]G的零因子图的平面性，只需要考虑以下3种情况：

①n=p=2；

②n=4，p=2；

③n=2，p≠2。

定理2 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，则Γ(Zn[i]G) 是平面图当且仅当n=p=2。

证明 ①当n=p=2时，由例1知，Γ(Zn[i]G)是平面图。

②当n=4，p=2时，集合I={2,2i,2ia,2+2i,2+2a}⊆D(Zn[i]G)*，且集合I中的点构成一个完全图K5，由引理1知，此时Γ(Zn[i]G)是非平面图。

③当n=2，p≠2时，由引理9知，Z2[i]G≌Z2[i]⊕Δ(G)，此时|Z2[i]|=4，|Δ(G)|≥ 4p-1>4。由于Z2[i]×{0}中的点与{0}×Δ(G)中的点相连，所以K3,3是Γ(Zn[i]G)的子图。由引理1知，Γ(Zn[i]G)是非平面图。证毕。

4 Γ(Zn[i]G)的直径

证明 当p1≠p时，p在Zn[i]中可逆，由引理9得，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Δ(G)。因为n为合数，Zn[i]中有非零零因子x，于是，(x,a-1)，(1,0)均为Zn[i]⊕Δ(G)的非零零因子。由于(x,a-1)(1,0)=(x,0)≠(0,0)，故d((x,a-1)，(1,0))≥2。由引理13得，a-1为Δ(G)中的正则元，于是Ann((x,a-1))={(y,0)|y∈Zn[i]，xy=0}。又因为Ann((1,0))={(0,x)|x∈Δ(G)}，所以Ann((x,a-1))∩Ann((1,0))={(0,0)}，于是d((x,a-1),(1,0))≥3，由引理14知，diam(Γ(Zn[i]G))=diam(Γ(Zn[i]⊕Δ(G)))=3。证毕。

引理20 设Zn[i]为模n高斯整数环，n为素数，G为素数p阶群，n≠p，则：

①n=2时，diam(Γ(Zn[i]G))=3；

②n≡1(mod 4)时，diam(Γ(Zn[i]G))=3；

③n≡3(mod 4)，p|(n-1)且p=2时，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

④n≡3(mod 4)，p|(n-1)且p≠2时，diam(Γ(Zn[i]G))=3；

证明 ①当n=2，n≠p时，由引理9知，Z2[i]G≌Z2[i]⊕Δ(G)。因为1+i为Z2[i]中的非零零因子，类似引理19知，d((1+i,a-1),(1,0))=3，故diam(Γ(Z2[i]G))=diam(Γ(Z2[i]⊕Δ(G)))=3。

②当n≡1(mod 4)时，由引理9知，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Δ(G)。由于Zn[i]中有非零的零因子，类似引理19可证diam(Γ(Zn[i]G))=diam(Zn[i]⊕Δ(G))=3。

③当n≡3(mod 4)时，Zn[i]为有限域，若p|(n-1)，则由引理5知，Zn[i]G≌Zn[i]⊕…⊕Zn[i](共p个Zn[i])。当p=2时，Zn[i]G≌Zn[i]⊕Zn[i]，此时，Γ(Zn[i]G)为完全二部图，故diam(Γ(Zn[i]G))=2。当p≠2时，易知d((0,1,…,1),(1,0,1,…,1))=3，故diam(Γ(Zn[i]G))=3。

引理21 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，n=p，则：

①p=2时，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

②p≡3(mod 4)时，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

③p≡1(mod 4)时，diam(Γ(Zn[i]G))=3。

证明 当n=p=2时，由例1知，diam(Γ(Zn[i]G))=2。

当p≡3(mod 4)时，Zn[i]为特征大于0的n2元有限域，G为有限p群，由引理2知，Zn[i]G是局部环，其唯一的极大理想m=Δ(G)=〈a-1〉，于是D(Zn[i]G)=〈a-1〉。由于(2a-2)(a-1)=2a2-4a+2≠ 0，故d((2a-2),(a-1))≥2。对任意的x，y∈D(Zn[i]G)*，x≠y，则存在μ，υ∈Zn[i]G，使得x=μ(a-1)，y=υ(a-1)。因为x(ap-1+ap-2+…+x+1)=μ(a-1)(ap-1+ap-2+…+x+1)=0，y(ap-1+ap-2+…+x+1)=υ(a-1)(ap-1+ap-2+…+x+1)=0，所以d(x,y)≤2，故diam(Γ(Zn[i]G))=2。

当p≡1(mod 4)时，Zn[i]≌Zn⊕Zn，于是Zn[i]G≌ZnG⊕ZnG，类似引理12可证，此时，diam(Γ(Zn[i]G))=3。证毕。

引理22 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，n=pk，k>1，则：

①p=2时，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

②p≡3(mod 4)时，diam(Γ(Zn[i]G))=2；

③p≡1(mod 4)时，diam(Γ(Zn[i]G))=3。

证明 当p=2时，Zn[i]为局部环，其唯一的极大理想I=〈1+i〉且Zn[i]/I≌Z2。由引理3知，Zn[i]G为局部环，其唯一的极大理想m=IG+〈a-1〉。2a、a-1为Zn[i]G的不同的非零零因子，2a(a-1)=2-2a≠0，于是d(2a,a-1)≥2。对任意的x，y∈D(Zn[i]G)*，x≠y，存在α1，β1∈IG，α2，β2∈Zn[i]G， 使得x=α1+α2(a-1)，y=β1+β2(a-1)。因为(-i)k(1+i)2k-1α1=(-i)k(1+i)2k-1β1=0，所以(-i)k(1+i)2k-1(ap-1+ap-2+…+x+1)x=0，(-i)k(1+i)2k-1(ap-1+ap-2+…+x+1)y=0。故d(x,y)≤2，因此，diam(Γ(Zn[i]G))=2。

当p≡3(mod 4)时，Zn[i]为局部环，其唯一的极大理想I=〈p〉且Zn[i]/I≌Zp[i]。由引理3知，Zn[i]G为局部环，其唯一的极大理想m=IG+〈a-1〉。pa、a-1为Zn[i]G的不同的非零零因子，pa(a-1)=pa2-pa≠0，于是d(pa,a-1)≥2。对任意的x，y∈D(Zn[i]G)*，x≠y，存在α1，β1∈IG，α2，β2∈Zn[i]G，使得x=α1+α2(a-1)，y=β1+β2(a-1)。因为pk-1α1=pk-1β1=0，所以pk-1(ap-1+ap-2+…+x+1)x=0，pk-1(ap-1+ap-2+…+x+1)y=0。故d(x,y)≤2，因此，diam(Γ(Zn[i]G))=2。

当p≡1(mod 4)时，由文献[5]定理1知，p有不可约分解p=(c+bi)(c-di)，Zn[i]只有2个极大理想m1=〈c+bi〉，m2=〈c-bi〉且d((c+bi),(c-di))=3。下面将证：在群环Zn[i]G的零因子图中d((c+bi),(c-di))=3。因为k>1，(c+bi)(c-di)=p≠0，所以d((c+bi),(c-di))≥2。易知，Ann(c+bi)={(c-bi)pk-1x|x∈Zn[i]G，c+bi不能整除x}，Ann(c-bi)={(c+bi)pk-1y|y∈Zn[i]G，c-bi不能整除y}且Ann(c+bi)∩Ann(c-bi)=0，于是d((c+bi),(c-di))≥3，由引理14知，diam(Γ(Zn[i]G))=3。证毕。

综合引理12及引理19～22，我们给出群环Zn[i]G的零因子图的直径的完全刻画：

定理3 设Zn[i]为模n高斯整数环，G为素数p阶群，则：

①diam(Γ(Zn[i]G))=2当且仅当以下条件之一成立：

(a)n≡3(mod 4)，n为奇素数，且p=2；

(c)n=pk(k≥1)，且p=2或p≡3(mod 4)。

②其他情况下，diam(Γ(Zn[i]G))=3。

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(责任编辑 黄 勇)

Properties of Zero-divisor Graph of Group RingZn[i]G

TANG Gaohua，LI Yu， WU Yansheng

(School of Mathematics and Statistics，Guangxi Teachers Education University，Nanning Guangxi 530001，China)

LetGbe a cyclic group with prime order，Zn[i] be the Guassian integers modulonandZn[i]Gbe the group ring ofGoverZn[i]. Properties of the zero-divisor graph ofZn[i]Gare investigated in this paper and the girth，the planarity and the diameter of the zero-divisor graph ofZn[i]Gare completely characterized respectively.

group ring；zero-divisor graph；girth；planarity；diameter

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.04.016

2016-03-10

国家自然科学基金资助项目(11661014，11661013，11461010)；广西科学研究与技术开发资助项目(桂科合1599005-2-13，桂科攻1598010-3)；广西自然基金重点资助项目(2016GXNSFDA380017)；广西高校科学技术研究资助项目(KY2015ZD075)

唐高华(1965—)，男，广西桂林人，广西师范学院教授，博士，博导。E-mail：tanggaohua@163.com

O153.3

A

1001-6600(2016)04-0109-07