基于高斯伪谱法的化-电混合推进系统转移轨道优化设计

杨博,陈子匀,温正,苗峻

1.北京航空航天大学宇航学院,北京100091 2.中国空间技术研究院通信卫星事业部,北京100094

基于高斯伪谱法的化-电混合推进系统转移轨道优化设计

杨博1,*,陈子匀1,温正2,苗峻1

1.北京航空航天大学宇航学院,北京100091 2.中国空间技术研究院通信卫星事业部,北京100094

提出利用化-电混合模式推进系统完成地球同步卫星轨道转移任务,该推进系统极具应用前景,能够满足高有效载荷率、高入轨精度的工程实践需求。并针对基于该混合模式推进系统的转移轨道的优化方法展开研究,提出一种多阶段最优控制问题(OCP)的高斯伪谱法求解方法。该方法通过分段点的关联设置,将多个经高斯伪谱法转化而来的非线性规划问题转化为一个连贯的非线性规划问题(NLP)。两个不同算例的仿真过程与分析结果表明,该方法能够有效地解决多阶段非光滑连接轨道的优化问题,具有运算效率高、收敛性半径大、求解精度高等优点,可便捷地处理化-电混合模式推进系统的转移轨道优化设计问题。

电推进;混合模式;多阶段;同步轨道;高斯伪谱法

电推进相对于化学推进具有高比冲的突出优势,可大幅降低卫星推进剂携带量,从而提高卫星有效载荷比,延长在轨寿命和降低发射质量[1]。但近地空间环境特性、空间任务时间约束以及航天器功率约束严重制约电推进系统在同步轨道转移任务中的推广应用[2]。在该背景下,采用化-电混合模式推进系统完成地球同步轨道转移任务是一种极具应用前景的轨道转移方式。航天器与运载火箭分离后,采用化学发动机迅速将同步卫星送入较高轨道,完成大部分的倾角改变与轨道提升,既避免了近地环境对卫星产生的影响,又节省了轨道转移时间;之后,采用电推进方式完成同步卫星最后的轨道转移以及最终定轨,既节省了推进剂消耗质量,又提高了轨道位置精度。

简单的功能组合并不能得出最优的任务方案,还须对混合模式推进系统的转移轨道进行设计与优化[3]。受制于空间技术的发展水平以及对空间电推进系统的应用定位,鲜有研究者针对基于混合模式推进系统的轨道转移任务开展研究[4],大部分的空间任务分析、轨道设计与优化以及各种数值优化算法等均集中在小推力连续轨道转移问题上。

优化问题的求解主要分为两类:间接法和直接法[5]。此外还有智能优化算法[6](如遗传算法和粒子群算法),但一般难以保证搜索到的解是最优解。间接法利用极小值原理得到最优控制的必要条件,具有求解精度高的特点,但对于较复杂非线性系统则面临求解过程繁复、收敛速度慢的突出困难。直接法[7-9]将最优控制问题(OCP)在所选取的节点处离散,节点处的状态和控制量作为未知量,性能指标和状态方程表示为离散点值的函数,转化为非线性规划问题(NLP),利用NLP算法进行求解,节点间的值则通过插值法求得。直接法一般采用的插值方法为线性和三次样条,而利用全局正交多项式进行插值的方法称为伪谱法。其中高斯伪谱法由于其计算量小、收敛半径大、精度高等优点,得到了广泛的应用。与其他求解OCP的数值方法相比,高斯伪谱法有很多的优势,首先也是最重要的一点就是满足协调映射定理,即转化后得到的非线性规划问题的KKT条件精确等价于离散一阶必要条件,因此高斯伪谱法转化得到的NLP以谱精度收敛于OCP的最优解。

基于混合模式推进系统的地球同步转移轨道是多阶段非光滑的,若使用间接法对该多阶段最优控制问题进行求解,则须对各个分段点进行繁复猜测。此外,电推力器的小推力特性[7]使得任务时间大大增加,数据处理量随之增大,求解过程很难收敛。本文结合高斯伪谱法在连续轨道优化中的应用[10-11],提出了一种多阶段转移轨道的高斯伪谱法求解方法,可以很好地解决所遇到的难题。

1 问题建模

同步轨道卫星在利用混合模式推进系统进行轨道转移时,根据推力特性可初步将整个过程分为两段,即化推段与电推段。其中化推段可根据化学发动机点火次数的不同分为多个化推开机段与化推自由段;电推段则为连续推进过程。若化学发动机进行两次点火变轨,则进一步细分,整个轨道被分为4段,按时间顺序依次为化推开机段、化推自由段、化推开机段、电推段。可以看出,发动机的点火次数直接影响问题求解的复杂程度。结合混合模式推进系统下地球同步轨道卫星的轨道转移任务的实际需求,进行确定任务时限下的燃料优化问题的数学描述[12-13]。

1.1 动力学描述

化学发动机与电推力器的推力特性差别很大,要建立全局优化模型必须寻找一种两者通用的动力学模型,以保证无论是在低比冲大推力情况下还是在高比冲小推力的情况下,数据处理过程均能高精度地稳定进行。由于轨道转移任务耗时较长,尤其是电推进阶段,推力小,耗时长,采用不同的轨道动力学模型会对轨道机动的优化进程产生影响,因此建立适当的轨道动力学模型是混合模式推进系统应用策略设计与优化的基础。改进春分点轨道要素动力学模型,当偏心率和轨道倾角为零时,用经典轨道要素描述的轨道动力学方程存在奇点,因此这里引入一种消除奇异的改进春分点轨道要素[14-15]。这组轨道要素只有在轨道倾角为180°时才会产生奇异,而这种情况在有限推力轨道转移问题中几乎不存在,因此应用面较广。定义如下:

相应的动力学方程为

式中:μ为引力常数;w=1+fcosL+gsinL;s2=1+h2+k2;fu、fr、fh分别为推力的横向、径向、法向分量。

1.2 最优控制问题描述

Bolza型最优控制问题一般描述为:求解最优控制律u(t)∈RNu,使得系统从一个状态转移至另一状态过程中的性能函数最小,其数学描述为

式中:J∈R为性能指标;Φ(·)∈R为Mayer型指标;g(·)∈R为Lagrange型性能指标;t∈R为时间变量;t0为初始时间;tf为终止时间;x∈RNx为状态向量;u∈RNu为控制向量;φ为初始和终端约束函数向量;C1、C2分别为等式与不等式路径约束向量。

以上为连续光滑最优控制问题的描述,当最优控制问题为多阶段的非光滑过程时,描述方式与解决方法均有不同。基于混合模式推进系统的卫星同步转移轨道的优化问题为多阶段最优控制问题。可描述如下:

为保证求解的分段点的连续性,须进行段间连续性约束:

P(s)[x(psl)(tf),t(psl)f,x(psu)(t0),t(psu)0]=0, (pl,pu∈[1,2,…,P],s=1,2,…,L)(5)

以上为段间联接约束,轨道总共分为P段,p∈[1,2,…,P]为分段序号,L为待联接的段数,psl∈[1,2,…,P],(s=1,2,…,L)为左侧阶段序号,psu∈[1,2,…,P],(s=1,2,…,L)为右侧阶段序号。

2 高斯伪谱法求解

高斯伪谱法求解最优控制问题的主要思路是通过在一系列Legendre-Gauss(LG)点上构造Lagrange插值多项式来近似系统的状态变量和控制变量,然后将连续最优控制问题转换为非线性规划问题,再利用发展较成熟的解决非线性规划问题方法进行求解,最终得到原最优控制问题的解。

本文从连续光滑最优控制问题的高斯伪谱法求解思路出发,逐步推导出适用于多阶段转移轨道优化的高斯伪谱法求解策略。

2.1 高斯伪谱法求解步骤

(1)区间变换

设最优控制问题的时间区间为[t0,tf],采用高斯伪谱法则需将时间区间归一化,转换到[-1,1],因此对时间变量t作变换:

在本文研究问题中可取t0=0。

(2)插值多项式拟合

各种伪谱法主要区别之一是离散点的选择不同。高斯伪谱法的离散点κ={τ1,τ2,…,τK}为K阶Legendre-Gauss点,即K阶Legendre多项式PK(τ)的根,其中

以[-1,1)上的K+1个插值点对应的Lagrange插值多项式Li(τ)(i=0,1,…,K)作为基函数,近似状态变量,即

其中

控制变量仍采用Lagrange插值多项式~Li(τ)(i=0,1,…,K)作为基函数来近似

注意,这里控制变量u(τ)的Lagrange插值节点不一定与状态变量x(τ)插值节点完全重合,相应地,它们的插值基函数也将不同。

(3)离散条件下的终端状态约束

高斯伪谱法中的节点包括K个配点(τ1,τ2,…,τK)和初始点τ≡-1以及终点τ≡1。根据动力学方程有

将终端状态约束条件离散并用Gauss积分来近似,可得

(4)微分方程约束转换为代数约束

对式(8)求导有

其中微分矩阵D∈RK×(K+1)可离线确定,其表达式为

式中:τi(i=0,1,…,K)属于集合κ0={τ0,τ1,…,τK}。将式(13)代入动力学方程˙X(τ)=f(X(τ),U(τ);t0,tf),得到状态变量在配点上应满足的代数方程

(5)离散化的近似性能指标函数

将Bolza型性能指标函数J=Φ(X0,t0,中的积分项用Gauss积分来近似,得到Gauss伪谱方法中的性能指标函数

2.2 高斯伪谱法的一般描述

基于上述的数值近似方法,高斯伪谱法可将连续最优控制问题离散化,并转换为非线性规划问题。离散最优控制问题的一般描述为:求离散状态变量Xi和控制变量Uk、初始时刻t0和终端时刻tf(如果t0和tf未知),使性能指标式(16)最小,并满足配点处状态约束式(15)以及终端状态约束式(12),边界条件为

过程约束为

采用上述离散方法,连续最优控制问题则转化为非线性规划问题。该非线性规划问题统一描述为

原连续时间动态系统和待优化指标形成的最优控制问题,经高斯伪谱法离散化转化并进行全局多项式插值估计,最终可以转化为对一个非线性规划问题进行求解。该非线性规划问题的KKT条件与最优控制问题的一阶必要条件离散形式是等价一致的。这就意味着在原理上该非线性规划问题的解从数学原理上等价于原最优控制问题的解。在非线性规划问题求解过程中,通过KKT乘子可以对最优控制问题的协变量进行非常准确的估计,再加上初始条件,就可以把最优控制问题的一阶必要条件相应的两点边值问题转换为一个初值问题。从而一个动态优化问题转换为一系列的静态优化问题。

2.3 多阶段转移轨道的求解转化

基于混合模式推进系统的同步卫星转移轨道被分为多个轨道段,在转移轨道的每个阶段内的卫星状态变量均光滑连续,可以采用高斯伪谱法转化成相应的NLP问题,各个阶段之间顺序关联,前一阶段的tf与施加后一阶段的t0相等,对前后两个阶段的时间统一处理为

式中:上标表示阶段数,将两个阶段的时间[t(p-1)0,t(p)f]合并映射到[-1,1]。

状态变量的关联为

按照式(10)和式(11)对NLP问题中涉及的时间和状态变量进行联接,则将P个NLP问题构建成一个NLP问题。

3 算例仿真

为了验证文中所研究方法的有效性,对基于混合模式推进系统的地球同步卫星转移轨道优化过程进行仿真。仿真场景如下:星箭分离后,卫星进入远地点高度Ha0=35 786 km、近地点高度Hp0=200 km、轨道倾角i0=28.5°、升交点赤经Ω0=98°的初始轨道,此时卫星的真近点角为θ0=179.30°,卫星的初始质量为m0=5500 kg;卫星所要到达的同步轨道的高度为35 786 km,轨道倾角if=0o,其他轨道参数没有终端限制;化学发动机的推力为750 N,比冲为3120 m/s,电推力器单台推力为150 m N,比冲为15000 m/s,电推变轨过程中,4台推力器同时开机。以规定任务时限内燃料最省为优化目标,求解地球同步轨道卫星的最优轨道转移方案。这里所规定的任务时限即最长总变轨时间,将其作为优化的时间约束条件。为简化问题,仿真中忽略弧段、光照等因素的影响。

化学发动机的开机次数直接影响了转移轨道的分段情况,进而影响问题求解的复杂程度,为说明高斯伪谱法在处理多阶段最优控制问题的有效性,现对不同任务时限下化学发动机在远地点2次点火和4次点火的情况分别进行仿真分析。

3.1 化学发动机2次点火的情况

设定任务时限为70 d,通过对化学发动机开关机点的浮动限制将轨道转移过程分为4段,依次为化推第1段、自由段、化推第2段、电推段,利用高斯伪谱法进行求解。

在配置为Intel Core i5-4440 CPU@ 3.10 GHz、RAM4.00 GB的64位计算机上在Matlab环境下进行求解,运算耗时43.1 h。算例求得的70天任务时限内满足约束要求的最小燃料消耗质量是2 115.019 kg,轨道转移时间为67.515 d。其中,化学发动机在远地点进行2次开机变轨,化推段耗时11.772 h,消耗燃料1878.817 kg,单次最长开机时间为1.4534h,累计开机时间为2.1291 h;电推耗时67.024 d,消耗燃料236.202 kg。化推段与电推段交接点处的轨道参数为am=32 203.145 km,em=0.319,im=4.956°。

状态量与控制量变化曲线如图1所示,卫星转移轨道如图2所示。从图1、图2中可以看出,状态量变化以及求解得出的转移轨道均较为平滑,能以较高精度满足终端状态要求,同时控制量的变化也处于约束范围内,能很好地满足变轨过程中的姿态控制要求。

图1 2次点火时状态量与控制量变化曲线Fig.1 Change curve of state and control variables with two-time engine ignition

图2 2次点火时卫星转移轨道Fig.2 Transfer orbit of satellite with two-time engine ignition

3.2 化学发动机4次点火的情况

化学发动机4次点火使转移轨道更为复杂,为了减小数据运算量并保证得到收敛结果,这里将任务时限进行缩短,设定任务时限为30 d,通过对化学发动机开关机点的浮动限制将轨道转移过程分为8段依次为化推第1段、自由段、化推第2段、自由段、化推第3段、自由段、化推第4段、电推段。

在相同的计算环境下,运算耗时9.3 h。算例求得的30 d任务时限内满足约束要求的最小燃料消耗质量是2 308.686 kg,轨道转移时间为30 d。优化结果如表1所示,其中化学发动机在远地点进行4次开机变轨,单次最长开机时间为0.680 h,累计开机时间为2.503 h,化推段与电推段交接点处的轨道参数为am=37 115.565 km,em=0.137,im=3.083°。

将相同条件下高斯伪谱法与遗传算法的求解结果进行对比,如表1所示。可以看出高斯伪谱法得出的燃耗质量比遗传算法少31.247 kg,两种方法得出的变轨时间虽然都在30 d任务时限内,但遗传算法优化结果中卫星历经27.499 d就完成了轨道转移任务,而高斯伪谱法得出的最优解中,电推进的大比冲特性得到充分利用,用满了整个任务时限,这样会最大限度地压缩化推变轨任务量,因而会减少整体燃料消耗质量。这些均说明了高斯伪谱法求解的最优性、快速性、准确性。

图3 4次点火时状态量与控制量变化曲线Fig.3 Change curve of state and control variables with four-time engine ignition

图4 4次点火时卫星转移轨道Fig.4 Transfer orbit of satellite with four-time engine ignition

表1 化学发动机4次点火情况下不同优化方法的轨道转移结果对比Table 1 Comparison of orbit transfer results using different optimization methods under the circumstance of four-time engine ignition

4 结束语

本文针对地球同步轨道卫星轨道转移这一空间任务展开研究,分别从推进系统功能组成与轨道优化算法两方面对如何在任务允许时限内提高卫星有效载荷进行了深入分析。提出一种综合了化学发动机与电推力器性能优势的混合模式推进系统,并基于此推进系统进行了多阶段转移轨道的优化设计,提出了多阶段转移轨道的高斯伪谱法求解策略。通过求解分析与算例仿真得出如下结论:

1)混合模式推进系统综合了化学发动机大推力、变轨时间短与电推力器高比冲、推进剂消耗低的优势,能够在规定时限内以较高有效载荷完成轨道转移任务,并且总体推进剂消耗质量小,入轨精度高。

2)本文提出的多阶段转移轨道的高斯伪谱法求解策略将分段点未知的分段最优控制问题化成多个NLP问题,并通过分段点的关联设置将多个NLP问题转化为一个连贯的NLP问题。仿真结果表明,该方法能够有效地对不同阶段数、不同约束情况下的转移轨道优化问题进行求解,鲁棒性强,收敛性好,对段间猜测值不敏感,且具有一定的通用性。

3)高斯伪谱法具有优越的计算性能,运算效率高,能够保证求解的最优性,而遗传算法的求解带有一定的随机性,其求解最优性建立在大量的种群数量与遗传次数之上,这无疑加大了运算量,因此高斯伪谱法具备较高的工程应用价值。

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(编辑:高珍)

Optimal design of orbital transfer with chemical-electric hybrid propulsion system based on a new Gauss pseudospectral method

YANG Bo1,*,CHEN Ziyun1,WEN Zheng2,MIAO Jun1
1.School of Astronautics,Beihang University,Beijing 100191,China 2.Institute of Telecommunication Satellite,China Academy of Space Technology,Beijing 100094,China

A kind of chemical-electric hybrid mode propulsion system was proposed for the orbit transfer mission of GEO satellite.This propulsion system has a good application prospect and can fit much of the engineering demands,such as high-degree payloads and high-accuracy orbit insertion.The research on the optimization methods of the transfer orbit based on the hybrid mode propulsion system was carried out.A new Gauss pseudospectral method to solve the multi-phase optimum control problem was proposed,which transformed the multiple nonlinear programming problems transformed by Gauss pseudospectral method to one by setting up the linkage of the breaking points.Two simulation examples indicate thatthis method can effectively solve the optimization problem of the multi-phase non-smooth orbit.It has the advantages of high operation efficiency,big convergence radius and high solving accuracy,and can conveniently and fast process the optimization design of the transfer orbit based on the hybrid mode propulsion system.

electric propulsion;hybrid mode;multi-phase;geosynchronous orbit;Gauss pseudospectral method

V412.21

:A

10.3780/j.issn.1000-758X.2016.0006

2015-11-12;

:2015-12-08;录用日期:2016-01-18;< class="emphasis_bold">网络出版时间

时间:2016-02-24 13:42:02

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160224.1342.014.html

国家重点项目基金(91016004)

陈子匀(1988-),男,硕士研究生,chenziyun@163.com

*通讯作者:杨博(1963-),女,副教授,研究方向为飞行器自主导航技术、深空探测自主导航与制导技术、可重复运载器GNC关键技术引用格式:杨博,陈子匀,温正,等.基于高斯伪谱法的化-电混合推进系统转移轨道优化设计[J].中国空间科学技术,2016,36(1):18-25.YANG B,CHEN Z Y,WEN Z,et al.Optimal design of orbital transfer with chemical-electric hybrid propulsion system based on a new Gauss pseudospectral method[J].Chinese Space Science and Technology,2016,36(1):18-25(in Chinese).

http:∥zgkj.cast.cn