ACROA优化的自适应最稀疏窄带分解方法①

彭延峰， 程军圣， 杨 宇

(湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室， 湖南 长沙 410082)

ACROA优化的自适应最稀疏窄带分解方法①

彭延峰， 程军圣， 杨 宇

(湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室， 湖南 长沙 410082)

提出了基于人工化学反应优化算法(artificial chemical reaction optimization algorithm，ACROA )的自适应最稀疏窄带分解(adaptive sparsest narrow-band decomposition，ASNBD)方法，将信号分解转化为对滤波器参数的优化问题，使用ACROA进行优化，以得到信号的最稀疏解为优化目标，在优化过程中将信号自适应地分解成若干个具有物理意义的局部窄带信号。对数值仿真和齿轮故障数据进行分析，结果表明该方法在抑制模态混淆、抗噪声性能、提高分量的正交性和准确性等方面要优于ASTFA方法、基于遗传算法(genetic algorithm，GA)的ASNBD方法及总体平均经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)方法，并能有效识别出齿轮的典型故障。

故障诊断； 齿轮； 自适应最稀疏窄带分解； 人工化学反应优化算法； 局部窄带信号

引 言

在机械故障诊断领域中，振动信号的分析与处理方法一直都是研究的热点。近年来，稀疏分解方法和经验模态分解方法[1-4]等自适应信号分析方法得到了广泛地应用。但是稀疏分解方法需要事先根据信号的特征选择原子构成过完备原子库，缺乏自适应性，且分解得到的分量缺乏物理意义。而EMD方法存在端点效应和模态混淆等缺点。尽管Z WU和N E HUANG提出的总体平均经验模态分解方法[5-6]对模态混淆有很好的抑制作用，但EEMD也存在如添加白噪声残留较大，分解不完备等问题。

受稀疏分解方法和EMD方法的启发，T Y Hou和Z Q Shi[7-8]提出了自适应最稀疏时频分析(adaptive and sparsest time-frequency analysis，ASTFA)方法，它的主要思想是在包含内禀模态函数(intrinsic mode functions，IMF)[9]的过完备字典库中搜索信号的最稀疏解，将信号分解转化为优化问题，在优化的过程中实现信号的自适应分解。ASTFA分解得到的每个分量可以表示为一个包络函数和一个余弦函数的乘积，约束条件为包络函数，比余弦函数更平滑，从而令单分量的瞬时频率具有物理意义。

ASTFA方法和稀疏分解方法一样，都是通过解决优化问题获得信号的最稀疏解。但是ASTFA方法采用IMF构成具有普适性的过完备字典库，将复杂信号分解为若干个具有物理意义的IMF之和。因此相对稀疏分解方法，ASTFA方法具备更好的自适应性，且分解结果具有物理意义。总而言之，ASTFA方法有机地结合了EMD方法中将信号自适应地分解为若干个IMF之和与稀疏分解方法中采用在过完备字典库中寻优以获得信号稀疏分解的优点，摒弃了EMD方法中需要对极值点进行拟合与稀疏分解方法缺乏自适应性和物理意义的缺点，因此它是EMD和稀疏分解方法取长补短的产物。

由于直接对信号的所有数据点进行优化产生的计算量过于巨大，T Y Hou和Z Q Shi提出了基于快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)的ASTFA方法[7-8]，该方法是在使用高斯牛顿迭代法进行优化的基础上提出，且不能使用其他优化算法进行替代。但是，高斯牛顿迭代法对初始值十分敏感，若初始值偏离真实值太远，则采用ASTFA进行分解时就不能得到准确的分量。而对于机械故障振动信号等复杂信号，事先确定分量的初始值范围是相当困难的，因此高斯牛顿迭代法的使用极大地限制了ASTFA方法的推广。同时，ASTFA方法中分量的约束为包络函数，比余弦函数更平滑，但是两者的成分有可能发生交叠，不能保证得到的分量都具有物理意义。

受ASTFA方法的启发，提出了自适应最稀疏窄带分解方法。和ASTFA方法类似，ASNBD方法同样将信号分解转化为目标优化问题，以得到信号的最稀疏解为优化目标，约束条件为每个分量都具有物理意义。因此，ASNBD方法拥有ASTFA方法的上述优势。

针对ASTFA方法的上述缺点， ASNBD方法提出了相应的解决办法。首先，为减少计算量，与T Y Hou和Z Q Shi提出的快速算法不同，ASNBD方法将信号所有数据点的优化转化为对滤波器参数的优化过程，从而可以选择合适的优化算法对滤波器参数进行优化。论文使用B Alatas提出的人工化学反应优化算法[10]来解决ASNBD中的优化问题。ACROA的初始值可以随机产生，避免了T Y Hou和Z Q Shi提出的快速算法中伴随着高斯牛顿迭代法带来的由于优化算法过于简单而产生的初始值设置等问题，使得ASNBD方法能被更广泛地使用。同时，相对遗传算法[11]等传统优化算法，ACROA能更准确地得到全局优化值且具有较好的鲁棒性，适于机械振动信号的处理[12]。其次，ASTFA使用能量算子或平滑度函数作为优化目标函数，并将分量约束在过完备字典库中[7-8]。而ASNBD使用S L Peng和W L Hwang使用的正则化的微分算子[13-14]作为优化目标函数，将原始信号分解为若干内禀窄带分量(intrinsic narrow-band components，INBC)。因此，ASTFA中的有约束优化问题被转化为无约束优化问题，且分解得到的分量为局部窄带信号。对于局部窄带信号而言，其包络函数的最大频率远远小于余弦函数的频率，避免了频率混淆的产生。所以，相对ASTFA方法，ASNBD分解得到的分量具有更明确的物理意义。

论文首先阐述了ACROA和ASNBD(ASNBD-ACROA)方法的基本理论，然后使用仿真信号将基于ASNBD-ACROA方法与ASTFA方法、基于GA的ASNBD(ASNBD-GA)方法及EEMD方法进行了对比，结果表明该方法能有效抑制模态混淆，表现出了更好的抗噪声性能，并具有更好的准确性和正交性。最后，论文将基于ACROA的ASNBD方法应用于齿轮的故障诊断，结果表明该方法能有效应用于机械故障诊断。

1 基于ACROA的ASNBD方法

1.1 ACROA

ACROA是一种自适应的优化算法，它是由化学反应的过程启发的，即一组化学物质转化成另一组化学物质的过程。ACROA中所用到的两种基本化学反应是单分子反应和多分子反应。ACROA的流程图如图1所示。

图1 ACROA的流程图Fig.1 The flow chart of ACROA

其主要步骤如下[10]：

1)描述优化问题并设定算法的参数。

2)初始化反应物且对其进行评估。

3)对化学反应过程进行模拟分析。

4)更新反应物。

5)若符合终止条件则结束运算，否则返回第二步。

第一步中的优化问题描述如下：

Minimize f(x) subject to xj∈Dj

(1)

式中 f(x)为优化目标函数，x为决策向量。j=1,2,3,…,N，其中N为信号长度，Dj为决策向量xj的约束区间。

1.2 ASNBD

1.2.1 内禀窄带分量

信号s(t)一般能够表示为A(t)cos(ωt+φ(t))的形式，如果A(t) 是带限的，它的最大频率远小于ω，且φ(t)是“缓变”相位函数，那么信号s(t)就称为窄带信号。窄带信号的概念可以推广到局部窄带信号，如果s(t)的任一时间点上都存在一个领域区间，使得s(t)在该区间中近似于窄带信号，那么s(t)就称为局部窄带信号。

若使用信号分解方法得到的分量满足局部窄带信号的条件，论文称其为内禀窄带分量。

1.2.2 奇异局部线性算子

从L2(R)到L2(R)的线性算子T称为局部线性算子，若∀t∈R，存在t的领域Bt，使得

T(s)(t)=T(s|Bt)(t),(∀s∈L2(R))

(2)

式中 s|Bt表示s在Bt上的限制。若T是奇异的，称T为奇异局部算子。论文使用的奇异局部算子如下

(3)

极小化T(s)2意味着s处于算子T的局部窄带空间内，局部频率ω的定义和算法详见文献[13-14]。

1.2.3 ASNBD方法的步骤

ASNBD方法首先建立过完备字典库Dic为

Dic={A(t)cos(ωt+φ(t))：A(t)

的最大频率远小于ω，φ(t)是缓变函数}

(4)

在建立了过完备字典库Dic以后，为了寻找到最佳的内禀稀疏结构，将信号分解问题转换成如下无约束优化问题P2，从而得到信号的最稀疏解。信号的迭代过程如下：

1)令r1(t)=f(t)；

2)解决如下优化问题P2：

(5)

定义INBCi(t)满足式(4)所示过完备字典库Dic的条件，即INBCi(t)为局部窄带信号。D是微分算子，用于规范INBCi(t)。

3)令ri+1=ri(t)-INBCi(t)；

4)若‖rk+1‖2<ε则迭代终止，否则返回到第二步。

若f(t)为N×1向量，则上述优化问题P2需要同时对N个参数进行优化，计算量极为巨大。为减小计算量，论文使用如下基于滤波器参数优化的迭代过程解决优化问题P2：

2)建立滤波器χ(k|λ)如下：

χ(k|λ)=

(6)

其中λ=[ω,ωb,ωc]

3)解决如下非线性无约束优化问题P3：

(7)

4)得到最优参数λo后，令

(8)

以上基于滤波器参数优化的迭代过程将原始ASTFA方法中对原始数据N个点的寻优过程转变成对滤波器参数λ的寻优过程，大大减少了运算量。

2 仿真对比分析

由于初始参数对ASNBD分解结果影响较小，为进行对比，论文中ACROA和GA的初始参数均设置为MATLAB中自带遗传算法工具箱的默认参数。

考虑下式所示的仿真信号

(9)

式中 混合信号x(t)由调幅调频信号x1(t) 、衰减信号x2(t) 和噪声信号n(t)组成，其中n(t) 的信噪比为15dB。信号的时间区间为[0,1]。混合信号x(t)及其分量的时域波形图如图2所示。

图2 混合信号x(t)及其分量的时域波形Fig.2 The time domain waveforms of x(t) and its components

分别采用ASNBD-ACROA方法、ASTFA方法、ASNBD-GA方法和EEMD方法对x(t)进行分解，为进行对比，对原始信号进行端点波形延拓[15]。三种方法的分解结果分别如图3，4，5和6所示，ASNBD-ACROA方法、ASTFA方法和ASNBD-GA方法分解得到的第一个分量对应实际分量x1(t)，第二个分量对应实际分量x2(t)。EEMD方法得到的IMF3和IMF4分量分别对应实际分量x1(t)和x2(t)。

图3 ASNBD-ACROA方法分解结果Fig.3 The decomposition results of ASNBD-ACROA

图4 ASTFA方法分解结果Fig.4 The decomposition results of ASTFA

图5 ASNBD-GA方法分解结果Fig.5 The decomposition results of ASNBD-GA

图6 EEMD方法分解结果Fig.6 The decomposition results of EEMD

从图3，4，5和6可以看出ASNBD-ACROA重构误差的数量级为10-15，说明该方法是完备的。同时，该方法分解出来的分量幅值较为平稳，和真实值较为接近，残余量和噪声信号的误差较小。ASTFA方法得到的IMF1和IMF2之间发生了模态混淆。ASNBD-GA方法分解结果的残余量出现了一定的波动。而由于噪声信号的干扰，EEMD方法得到的分量出现了严重的模态混淆，未能准确地得到精确的有效分量。

表1 ASNBD-ACROA,ASTFA和ASNBD-GA的参数对比

Tab.1 The comparison of parameters between ASNBD-ACROA, ASTFA and ASNBD-GA

方法r1r2E1E2IO12ASNBD-ACROA0.99790.99250.00430.01580.0006ASTFA0.94830.86320.12040.32170.0664ASNBD-GA0.95210.87920.09370.22950.0012

图7 仿真信号y(t)的ASNBD-ACROA分解结果Fig.7 The decomposition results of y(t) generated by ASNBD-ACROA

为进一步验证ASNBD-ACROA的抗噪声性能，使用该方法对仿真信号y(t)=cos(30πt)+nt 进行分析，y(t)所添加噪声信号的SNR分别为-5,0和5。分解结果如图7所示。可以看出，由于噪声信号的影响，图7(a)和(b)中的分量和真实值差别较大。而当SNR=5时，ASNBD-ACROA分解得到了比较满意的分解结果。

3 实验信号分析

为验证论文提出方法的实用性，论文将ASNBD-ACROA方法应用于齿轮裂纹故障诊断。包络分析法能将与故障有关的信号从高频调制信号中解调出来，从而避免了与其他低频干扰信号的混淆，从而广泛地应用于齿轮和轴承的特征提取[17-20]。论文对振动信号进行包络分析以提取齿轮的故障特征。在齿轮故障实验台上进行实验，实验的齿轮为标准直齿轮，齿轮数为37。在齿轮上设置线切割裂纹，宽0.15 mm、深1 mm。齿轮的振动信号由设置在齿轮箱上的加速度传感器采集，采样频率为2048 Hz，工频f0=20 Hz。图8为裂纹故障的齿轮振动位移信号的时域波形。直接对振动信号做包络谱分析如图9所示。可知齿轮振动信号的主要频率成分只有2倍工频，而工频信息或其他和裂纹故障有关的高频信息全部被噪声和背景干扰所淹没导致无法识别。

图8 裂纹故障的齿轮振动位移信号Fig.8 The vibration displacement signal of gear with crack fault

图9 齿轮振动位移信号的包络谱Fig.9 The envelop spectrum of the vibration displacement signal of gear

图10 振动信号的ASNBD-ACROA分解结果Fig.10 The decomposition results of the vibration signal generated by ASNBD-ACROA

图10为使用ASNBD-ACROA方法对振动信号进行分解得到的结果，图11中(a)，(b)和(c)分别为INBC1,INBC2和INBC3的包络谱。由图11可知，除2倍工频外，ASNBD-ACROA方法还有效分解出了工频成分INBC2和3倍成分INBC3，可知齿轮振动信号被工频成分幅值调制，符合齿轮裂纹故障的特征，表明了ASNBD-ACROA方法识别齿轮故障的有效性。

图11 包络谱Fig.11 The envelop spectrum

4 结 论

ASNBD方法是一种新的自适应分解方法，可以用于非平稳、非线性信号的处理。为得到信号的最稀疏解，论文使用ACROA解决ASNBD方法中的优化问题。相对稀疏分解方法，EEMD方法和ASNBD-GA方法，ASNBD-ACROA方法具有以下优点：

(1)相对稀疏分解方法，ASNBD方法采用内禀窄带分量构成具有普适性的过完备字典库，将复杂信号分解为若干个具有物理意义的内禀窄带分量之和。因此ASNBD方法具备更好的自适应性，且分解结果具有物理意义。

(2)相对EEMD方法，由于无需处理极值点，ASNBD方法分解出来的分量能有效抑制模态混淆，具有更好的准确性。

(3)相对GA，ACROA能更准确地得到全局优化值且具有较好的鲁棒性，因此ASNBD-ACROA方法分解得到的分量更接近真实值且具有更好的抗噪声性能。

(4)仿真分析结果表明，相对ASNBD-GA方法和EEMD方法，ASNBD-ACROA方法分解出来的分量有更好的准确性和正交性，能更好地抑制模态混淆。

论文最后将ASNBD-ACROA方法应用于齿轮故障振动信号的故障诊断，对其做包络谱分析后提取了信号的故障特征频率成分，有效实现了齿轮的故障诊断，证明了该方法用于机械故障诊断的有效性。

值得一提的是，ASNBD方法刚被提出，在算法的多分辨率特性、计算效率、收敛性、优化算法的改进和奇异局部算子的选取等方面还需要进一步的研究。随着这些问题的深入研究，ASNBD方法拥有广阔的应用前景。

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Adaptive sparsest narrow-band decomposition method optimized by ACROA

PENGYan-feng,CHENGJun-sheng,YANGYu

(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacture for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China)

Adaptive and sparsest time-frequency analysis (ASNBD) based on artificial chemical reaction optimization algorithm (ACROA) is proposed in this paper. Signal decomposition is translated into optimizing the parameters of the filter designed in the paper. The optimization objective is obtaining the sparsest solution of signal as ACROA is applied to solve the optimization problem. The original signal is decomposed into several local narrow-band signals which possess physical meaning. Analysis of simulation signal and gear fault signal shows that compared with ASNBD method based on genetic algorithm (GA) and ensemble empirical mode decomposition (EEMD) method, the proposed method is superior at least in restraining the mode mixing, gaining more accurate components from noise signal, possessing better orthogonality. Meanwhile, ASNBD based on ACROA can be effectively applied to identify typical fault of gear.

fault diagnosis; gear; adaptive sparsest narrow-band decomposition; artificial chemical reaction optimization algorithm; local narrow-band signal

2015-06-28；

2016-04-20

国家重点研发计划项目(2016YFF0203400); 国家自然科学基金资助项目(51375152,51575168); 智能型新能源汽车国家2011协同创新中心、湖南省绿色汽车2011协同创新中心资助项目

TH165+.3； TN911.7

1004-4523(2016)06-1127-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.023

彭延峰(1988—)，男，博士研究生。电话：15773147552； E-mail：515667195@qq.com

程军圣(1968—),男,教授，博士生导师。电话:(0731)88664008; E-mail: signalp@tom.com