一类广义Emden-Fowler阻尼方程的振动结果

吴波

（普洱学院数学与统计学院，云南普洱 665000）

一类广义Emden-Fowler阻尼方程的振动结果

吴波

（普洱学院数学与统计学院，云南普洱 665000）

利用广义黎卡提变换和积分平均技巧给出了一类广义Emden-Fowler阻尼方程的振动准则，建立了保证此类方程一切解振动或者收敛到零的若干新的充分条件。

广义Emden-Fowler阻尼方程；广义黎卡提变换；振动准则

本文考虑一类广义Emden-Fowler阻尼方程

方程（1）的一个非平凡解称为振动的，如果它有任意大的零点，否则为非振动的，如果方程（1）的一切解都是振动则称该方程是振动的。

如果p(t)≡0,g(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t，广义Emden-Fowler阻尼方程（1）为经典的Emden-Fowler方程

如果p(t)≡0,r(t)≡1,α=1,δ(t)=t，广义Emden-Fowler阻尼方程（1）为经典的Emden-Fowler阻尼方程

许多学者对方程（2）～（3）的振动和非振动性质做了一些研究〔1-3〕。1983年，Philos〔1〕建立了方程（2）的一些振动准则；1989年，Philos〔2〕进一步推广和改进了文献〔1〕的结论；1986年，Yan〔3〕建立了方程（3）的一些振动准则。

如果 p(t)≡0,g(t)≡0,α=β，广义Emden-Fowler阻尼方程（1）为下列方程

如果 g(t)≡0，广义Emden-Fowler阻尼方程（1）为广义的Emden-Fowler方程：

许多学者对方程（4）的振动和非振动性质做了一些研究〔4-7〕。最近，文献〔7-10〕对下面的方程

做了振动和非振动性质的一些研究。但是这些结果不可以应用于广义的Emden-Fowler方程（5）。

目前，对广义的Emden-Fowler方程（5）振动准则的研究还比较少。2012年，Liu〔11〕利用黎卡提不等式给出了广义的Emden-Fowler方程（5）的振动准则。对广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的振动准则还没有做过研究。本文利用广义黎卡提变换构造了广义黎卡提不等式，进而建立了广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的振动准则，并且这些振动准则都可以应用于广义的Emden-Fowler方程（5）。

1 几个引理

引理1 设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，则相应的Z(t)只有下面的两种情况

证明：设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，由Z(t)的表达式得到Z(t)≥x(t)＞0。由方程的第一种情况，得到两种可能：Z′(t)＞0或Z′(t)＜0。

对上式从t1到t积分，可以得到

让t→∞，利用(H3)，得到Z(t)→-∞，这矛盾于Z(t)＞0。

本文下面的引理和定理都是基于情形（I）下得到的。

引理2 设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，则

其中，Q(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β。

证明：由Z(t)=x(t)+p(t)x(ι(t))，可以得到x(t)=Z(t)-p(t)x(ι(t))，利用(H4)和Z′(t)＞0，可以得到

利用方程（1），可以得到

引理3 设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的正解，如果

证明：假设存在两个常数0＜M≤N，使得 0＜M≤Z(t)≤N，对方程（7）从t到∞积分，可以得到：

则

其中：

证明：由ϖ(t)的定义可以得到

利用方程（7），可以得到

利用β≥α，H5和引理1，可以得到

由方程（10）～（12），可以得到

2 主要结果

定理1 假设某些条件成立。设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

则x(t)振动。

证明：假设x(t)是方程（1）的非振动解，不妨设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最终正解（对于x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最终负解也有类似的结论），利用引理5可得

利用引理4得到

对上面方程从t0到t积分可得

让t→∞，可得ϖ(t)→-∞，这矛盾于ϖ(t)＞0。

定理2 假设某些条件成立。设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

则x(t)振动。

证明：假设x(t)是方程（1）的非振动解，不妨设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（2）的最终正解（对于x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最终负解也有类似的结论），利用引理5可得

利用引理4得到

两边同乘以(t-s)n再从t0到t两边积分（t＞t0）可得

由n(t-s)n-1ϖ(s)＞0，可得

两边同除以tn可得

例1 设p(t)=0,r(t)=1,α=1,β=1,δ(t)=t,ρ(t)=1,q(t)=k1,g(t)=k2，方程（1）变为

下面利用Philos型积分平均条件，给出广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的振动准则。为此令

我们称函数H(t,s)∈C1(D,R)为属于F类，记作H(t,s)∈F，如果满足

（I）H(t,t)=0，t≥t0，H(t,t)＞0，

（II）存在 ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，h∈C(D0,R)，使得

定理3 假设某些条件成立。设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

则x(t)振动。

证明：假设x(t)是方程（1）的非振动解，不妨设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（3）的最终正解（对于x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最终负解也有类似的结论），利用引理5可得

两边同乘以 H(t,s)，且从t0到t(t＞t0)两边积分可得

利用引理4和方程（15）可得

让t→∞，则方程（17）矛盾于方程（16）。

推论1 设x(t)是方程（1*）的解，如果

则x(t)振动。

定理4 假设某些条件成立。设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的解，如果

其中：ψ+(s)=max{ψ(s),0}，则x(t)振动。

证明：假设x(t)是方程（1）的非振动解，不妨设x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（4）的最终正解（对于x(t)是广义的Emden-Fowler阻尼方程（1）的最终负解也有类似的结论），利用引理5可得

两边同乘以H(t,s)，再从 T到 t(t＞T)两边积分可得

同除以H(t,T)可得

利用C3可得

利用方程（18）及 C3可得

设

利用（20）可得

假设

由方程（19）可得：

方程（22）～（23）矛盾于C4。由矛盾，我们假设

设η是一个任意的正数，利用C1可得

由方程（24）可得

利用C1及方程（25）～（26）可得

利用方程（21）和（27）可得：

两边同除以G(tn)可得

利用（28）可得

利用Schwarz不等式

两边同除以 G(tn)可得

利用 C2可得

方程（30）～（31）与方程（29）矛盾。

推论2 设x(t)是方程（1*）的解，如果

其中：ψ+(s)=max{ψ(s),0}，则x(t)振动。

［参考文献］

〔1〕PHILOS C G.On a Kamenev's integral criterion for oscillation of linear differential equa-tions of second order〔J〕.Ann Polon Math，1983，21：175-194.

〔2〕PHILOS C G.Oscillation theorems for linear differential equations of second order〔J〕.Arc-H Math，1989，53：482-492.

〔3〕YAN J.Oscillation theorems for second order linear differential equation with damping〔J〕.American Mathematical Society，1986，98：276-282.

〔4〕WONG J S W.On the generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Slam Rev，1975，17：339-360.

〔5〕YANG X J.Oscillation criterion for a class of quasilinear differential equation〔J〕.Appl Math Comput，2004，155：451-468.

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〔7〕SUN Y G，MENG F W.Note on the paper of Dzurina and stavroulakis〔J〕.Appl Math Comput，2006，174：1634-1641.

〔8〕XU R，MENG F W.Oscillation criteria for second order quasi-linear neutral delay differenti-al equation〔J〕.Appl Math Comput，2007，192：216-222.

〔9〕LIU L H，BAI Y Z.New oscillation criteria for second order nolinear neutral delay differential equation〔J〕.J Comput Appl Math，2009，231：657-663.

〔10〕YE L H，XU Z T.Oscillation for second order quasi-linear neutral delay differential equation〔J〕.Appl Math Comput，2009，207：388-396.

〔11〕LIU H D，MENG F W，LIU P C.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation〔J〕.Appl Math Comput，2012，219：2729-2748.

Oscillation Results of a Class of Generalized Emden-Fowler Equation with Damping

Wu Bo
（College of Mathmatics and Statistic,Pu'er University,Pu'er,Yunnan 665000,China）

By using generalized Riccati transformation and integral averaging technique,this paper studies the oscillation of a class of generalized Emden-Fowler equation with damping,and establishes some new sufficient conditions for equation oscillating or converging to zero.

a generalized Emden-Fowler equation with damping;generalized Riccati transformation;oscillation criteria

O29

A

2096-2266（2016）12-0006-08

10.3969∕j.issn.2096-2266.2016.12.002

（责任编辑 袁 霞）

2016-04-24

吴波，副教授，主要从事微分方程、数理统计研究.