反厄米特矩阵的一些特征

曹元元，张　骞，毛　亮

(湖北师范学院 数学与统计学院,湖北 黄石　435002)

反厄米特矩阵的一些特征

曹元元，张骞，毛亮

(湖北师范学院 数学与统计学院,湖北 黄石435002)

摘要：研究了反厄米特矩阵(A*=-A )的相关性质,并给出了反厄米特矩阵的一些充要条件.

关键词：厄米特矩阵；反厄米特矩阵；广义逆

中图分类号：O153

文献标识码：A

文章编号：1009-2714(2015)04- 0088- 06

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.017

收稿日期：2015—09—08

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11271105)，湖北省教育厅重点资助项目(D20122202)

作者简介：曹元元(1989—)，女，陕西渭南人，硕士，研究方向为矩阵分析.

1引言与预备引理

厄米特矩阵和反厄米特矩阵是两类特殊形式的矩阵,在矩阵理论及其应用中有着非常重要的地位[1～2]. 近几年,随着应用的需要和研究的深入,酉矩阵、厄米特矩阵、Hamilton矩阵和广义逆矩阵之间的关系及其在解矩阵方程中的应用已经取得了丰富的成果[3～4],推广了酉矩阵、厄米特矩阵及广义次对称矩阵的相应结果.特别地,将正交阵的广义Cayley分解推广到了k-广义酉矩阵和k-广义厄米特矩阵上,从而统一了各类厄米特矩阵及广义逆矩阵. 本文将进一步研究广义厄米特矩阵中的一种特殊矩阵——反厄米特矩阵的相关性质和一些充要条件,从而对特殊矩阵的深入研究及其应用提供有益的帮助.

下面先给出一些必要的记号，再给出本文所需要的一些引理.

1)AA+A=A,2)A+AA+=A+,3)AA+=(AA+)*, 4)A+A=(A+A)*.

1)AA#A=A,2)A#AA#=A#,3)AA#=A#A

近些年来,国内外许多学者如:Baksalary,Trenkkler,Liu等人运用[8] 中推论6提出的∑-K-L分解解决了许多特殊矩阵的问题,该分解如下:

引理1[8]( ∑-K-L分解) 设A∈n×n,且r(A)=r,则存在酉矩阵U∈n×n使得

(1)

其中 ∑=diag(σ1Ιr1……,σ1Ir1),σ1>σ2>…>σt>0,r1+r2+…+rt=r,K∈r×r,L∈r×(n-r)且KK*+LL*=Ir.

用 ∑-K-L分解,我们容易得出:

(2)

(3)

由∑-K-L分解易知, A#存在 K 为可逆矩阵,且

(4)

运用∑-K-L分解,我们可以给出前面介绍的几种特殊矩阵的刻画.

引理2[9]设A∈n×n,且r(A)=r, A有(1)式的分解形式，则：

2反厄米特矩阵的有关性质

1985年Roger A. Horn 和 Charles R. Johnson 在[1]中给出了厄米特矩阵和反厄米特矩阵的定义,并研究了厄米特矩阵的性质及特征.类似的我们先给出反厄米特矩阵的一些性质,再给出反厄米特矩阵的有关特征.

b)σ(A)⊆i,

αΑα∈i.

b)设α 为矩阵Α的属于特征值λ的特征向量,即有Αα=λα(α≠0),所以αΑα=αλα=λαα ,又由a)有αΑα∈i,且αα∈+,所以λ∈i,从而σ(A)⊆i.

证明a)⟹ b)定理1 a)已给出证明.下面只需证明b) ⟹c)，c)⟹ d)，d)⟹ a)即可.

(α+β)*A(α+β)=α*Aα+α*Aβ+β*Aα+β*Aβ∈i,α*Aα∈i,β*Aβ∈i

所以αΑβ+β*Aα ∈i.

计算可得

α*Aβ+β*Aα=akl+alk∈i

(5)

再令α=ek, β=iel则β*=(0…0,-i,0…0) (第l列为 -i，其余元素全为0的1行n列矩阵),计算可得

α*Aβ+β*Aα=iakl-ialk∈i

(6)

"⟸ " 设AT∈SHn,即(AT)*=(A*)T=-AT=(-A)T,所以A*=-A 即A∈SHn.

下面我们给出反厄米特矩阵的一个性质.

证明设x,y分别为属于A 的特征值λ1,λ2(λ1≠λ2)的特征向量,若 A∈SHn,则由定理1 b)知λ1,λ2∈i,所以x*(Ay)=x*λ2y=λ2x*y,(Ax)*y=(λ1x)*y=-λ1x*y,且由A*=-A 可得x*(Ay)=x*(-A*)y=-(x*A*)y=-(Ax)*y,所以λ2x*y=-(-λ1x*y)=λ1x*y,即λ2x*y-λ1x*y=(λ2-λ1)x*y=0(λ1≠λ2) 所以x*y=0,即x,y彼此正交.

3反厄米特矩阵的一些特征

下面运用矩阵的∑-K-L分解给出反厄米特矩阵的一些刻画.

L=0, ∑K=K∑

(7)

从而

K-1∑=K*∑=-∑K

(8)

这样,由(7)(8)式可得K2=-Ir.

b)AA*=A*A=-A2

c) A2A+=-A*.

证明a) ⟹b) 由定义直接得出.

b)A*A+A=-A ,

c)A*AA+=-A ,

d)AA+A*=-A ,

e)AA*A+=-A ,

f) A+A*A=-A ,

g) A+AA*=-A ,

h)A*A+=-AA+,

i)A*A+=-A+A .

证明下面只给出a) ⟺b), a) ⟺d), a) ⟺h)的证明过程，对于a) ⟺c)可用类似于a) ⟺b)的方法证明, a) ⟺e), a)⟺ f), a) ⟺g), a) ⟺i)可用类似于a) ⟺d)的方法证明.

b) ⟹a)设 A有分解式(1)式,若A*A+A=-A ,则(A) ⊆(A*),而r(A*)=r(A)所以(A)=(A*), 即矩阵 A∈EPn,由引理2 a)知L=0,所以由A*A+A=-A 结合 (1)(2)(3)计算可得 K*∑=-∑K,从而 A*=-A,即 A∈SHn.

a) ⟹d)类似于a) ⟹b)直接计算可得,下证d) ⟹a):

设A 有分解式(1)式,若AA+A*=-A ,则结合(1)(2)(3)计算有

L=0且K*∑=-∑K ,从而A*=-A ,即A∈SHn.

a) ⟹h) 类似于a) ⟹b)直接计算可得,下证h)⟹ a):

设 A有分解式(1)式,若A*A+=-AA+,则结合(1)(2)(3)计算有

故K*∑K*∑-1=-Ir且 L*∑K*∑-1=0,所以r(K*∑K*∑-1)=r,得r(∑K*∑-1)≥r从而

r(∑K*∑-1)=r,所以L=0 且K*∑=- ∑K,所以A*=-A ,即A∈SHn.

b)A*A#A=-A ,

c)A*AA#=-A ,

d)AA#A*=-A ,

e)A#AA*=-A ,

f)A*A#=-AA#,

g)A*A#=-A#A .

证明下面只给出a)⟺b),a) ⟺d),a)⟺ f)的证明，而对于a) ⟺c)可类似于a) ⟺b)得到证明, a) ⟺e) a)⟺ g)可类似于a)⟺ d)得到证明.

a)⟺ d), a) ⟺e), a)⟺ g)可用类似于a)⟺ f)的方法得到证明.

由引理2 b)知A∈Nn⟺L=0,∑K=K∑结合(1)(2)(4)计算可得

b) ⟹a)设A 有分解式(1)式,若A*A#A=-A,则R(A)⊆ R(A*)而 ”(A*)=”(A)所以 R(A*)=R(A)，即矩阵 A∈EPn，由引理2(a)可知 L=0,若A*A#A=-A ,则结合(1)(2)(4)计算可得

所以L=0 且K*∑=-∑K ,从而A*=-A ,即A∈EPn.

a)⟹ d)类似于a)⟹ b)直接计算可得,下证d)⟹ a):

设A 有分解式(1)式,若AA#A*=-A ,则结合(1)(2)(4)有

计算可得L=0 且K*∑=-∑K,从而A*=-A ,即A∈EPn.

a) ⟹f)类似于a) ⟹b)直接计算可得,下证f) ⟹a):

设 A有分解式(1)式,若 A*A#=-AA#,则结合(1)(2)(4)有

计算可得 K*∑K-1∑-1=-Ir,且L*∑K-1∑-1=0,所以r(K*∑K-1∑-1)=r,得r(∑K-1∑-1)≥r，从而r(∑K-1∑-1)=r,所以L=0 且K*∑=-∑K,从而A*=-A ,即A∈SHn.

参考文献：

[1]Horn R A,Johnson C R．Matrix Analysis[M]．London：cambridge University Press，1985.

[2]Jain s K,Gunawardena A D．Linear Algebra[M]．Beijing：china Machine Press，2003.

[3]袁晖坪.广义酉矩阵与广义Hermite矩阵[J].数学杂志,2003,23(3):3375~380.

[4]袁晖坪,王行荣.k-广义Hermite矩阵及其在矩阵方程中的应用[J].吉林大学学报(理学版),2012,50(1): 59~62.

[5]Wang G, Wei Y, Qiao S. Generalized Inverses:Theory and Computation[M].Beijing：Science Press,2004.

[6]Drazin M P. Natural structures on semigroups with involution[J]. Bull Amer Math Soc, 1978,84:139~141.

[7]Mitra S K. Noncore square matrices miscellany[J].Linear Algebra Appl,1996,249:249~260.

[8]Hartwig R E,Spindelböck K. Matrices for which A*and A+commute[J].Linear Multilinear Algebra,1984,14:241~256.

[9]Baksalary O M, Styan G P H, Trenkler G. On a matrix decomposition of Hartwing and Spindelböck[J]. Linear Algebra Appl, 2009,430(10):2798~2812.

Some proterties of skew-Hermitian

CAO Yuan-yuan，ZHANG Qian，MAO Liang

(College of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huangshi435002,China)

Abstract:We study several characteristics of the skew-Hermitian matrix ( A*=-A)in this paper, and gives some sufficient and necessary conditions for the skew-Hermitian matrix.

Key words:Hermitian matrix; skew-Hermitian matrix; generalized inverse