锥 b-度量空间中扩张映象的强式耦合叠合点的存在性

宋艳霞, 柴国庆, 袁喆

(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石　435002)

锥 b-度量空间中扩张映象的强式耦合叠合点的存在性

宋艳霞, 柴国庆, 袁喆

(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石435002)

摘要：在锥 b-度量空间中, 作者引进了强式耦合叠合点的定义, 提出了一个新的扩张映象条件, 并证明了在此扩张映象条件下强式耦合叠合点的存在性.

关键词：锥 b-度量空间;扩张映象;强式耦合叠合点

中图分类号：O177.91

文献标识码：A

文章编号：1009-2714(2015)04- 0073- 06

doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2015.04.015

收稿日期：2015—10—09

作者简介：宋艳霞(1989—)，女，湖北襄阳人，硕士研究生，主要研究方向为非线性泛函分析.

0引言

关于扩张映象不动点定理的研究, 1967年最先开始于Machuca[1].以后Jungck[2], Fisher[3],王尚志[4]等先后讨论了一些其它形式的扩张映象的不动点定理.2011年, 作为对b-度量空间和锥度量空间的推广, Hussain and Shah[9]提出了锥b- 度量空间的概念. 在此空间中, 他们建立了一些局部的拓扑性质, 并把度量空间的一些压缩映象推广到了锥b- 度量空间，并证明了不动点的存在性, 此外，他们也在这个空间中探究了两个映象及多个映象的公共不动点问题.

本文需要用到的如下预备知识.

设E 是一个实Banach空间,θ表示Ε 中的零元素,Ε的子集Ρ 称为一个锥, 若满足:

1) Ρ是非空闭集合, 即Ρ≠{θ} ;

2)a,b是非负实数, 若x,y∈P, 则ax+by∈P;

3)x∈P 且 -x∈P, 则有x=θ.

对于任意的锥P⊂E, 在P上定义了一个偏序“≤” , 满足若x≤y当且仅当y-x∈P, 而“< ”表示x≤y且x≠y.用 int P表示 P的内部, 若x≪y表示y-x∈int P. 如果存在一个实数K满足当y≥x≥θ时, 有‖x‖≤K‖y‖,则称P 是正规的, 满足这个条件的最小正数K称为P 的正规常数.

在本文中总假设 P是正规体锥.

定义1[2]设X 是一个非空集合,E 是一个实Banach空间, P 是一个锥并在E 定义了一个偏序“≤”,d:X×X→E称为 X中带有常数s≥1的一个锥b- 度量空间, 若满足下面的条件：

a)d(x,y)≥θ,对于任意的x,y∈X.d(x,y)=θ当且仅当x=y;

b)d(x,y)=d(y,x), 对于任意的x,y∈X;

c)d(x,z)≤s[d(x,y)+d(y,z)] , 对于任意的x,y,z∈X .

定义2[2]设(X,d) 是一个锥b- 度量空间,{xn} 是X 中的一个序列, 并且x∈X ,

1)对于任意的c∈E 当c≫θ时, 如果存在一个正整数N0当n≥N0时, 有d(xn,x)≪c, 则称xn为收敛的, 并且x是{xn} 的极限, 记为xn→x.

2)对于任意的c∈E 当c≫θ时, 如果存在一个正整数N0,当n,m≥N0时, 有d(xn,xm)≪c,则称{xn} 为X 中的一个柯西列.

3)如果X 中的每个柯西列{xn} 都是收敛的, 则称锥b- 度量空间(X,d) 是完备的.

引理1[2]1) 如果E 是一个实Banach空间, P 是一个锥, 当元素a∈P 且对0<λ<1 时有a≤λa,则a=θ.

2) 如果c∈int P,an≥θ当n→∞时有an→θ,则存在正整数N, 当n≥N时, 有an≪c.

3) 如果a≤b且b≪c, 则a≪c.

4) 若对于任意的c≫θ, 有θ≤μ≤c则μ=θ.

定义3[2]一对元素(x,y)∈X2如果它同时满足gx=F(x,y),gy=F(y,x) 则称它为映象F:X2→X和g:X→X的耦合叠合点; 如果满足x=gx=F(x,y),y=gy=F(y,x) 则称它为映象F:X2→ X和g:X→X 的耦合不动点.

定义4 一对元素(x,x)∈X2称为映象F：X2→X 和g:X→X 的强式耦合叠合点, 如果它满足

gx=F(x,x)

显然, 强式耦合叠合点一定是耦合叠合点, 它得到的结论比定义4得到的结论更好. 特别地, 当g=I(恒等映象)时有x=F(x,x) ,则称为映象的强式耦合不动点.

定义5映象F:X2→X 和g:X→X, 若对任意的x∈X,有g(X)⊂F(x,X) 记为g(X)⊂F(·,X)；若对任意的x∈X 有g(X)⊂F(X,x), 记为g(X)⊂F(X,·)

在锥b- 度量空间中, 人们比较多讨论关于压缩映象的不动点, 而讨论扩张映象相对较少. 本文章引进了强式耦合叠合点的定义, 提出了一类新的关于两个映象的扩张映象, 并证明了强式耦合叠合点的存在性.

1 主要结论

本文建立了如下强式耦合叠合点定理.

定理1设(X,d) 是一个锥b- 度量空间,s≥1,P是一个体锥,F:X2→X 和g:X→X 是两个映象, 并且存在ai≥0,i=1,2,3,4,5 使得

a2+(a1+a5)s-a4s(1+s)>s,a2>a4s,a2>sa3+s

成立, 满足下面的扩张条件

d(F(x,y),F(u,v))≥a1d(gy,F(x,y))+a2d(gv,F(u,v))-a3d(gy,F(u,v))-

a4d(gv,F(x,y))+a5d(gx,gu)

(1)

证对于任意的x0∈X, 由于g(X)⊂F(·,X) 则存在x1∈X 使得gx0=F(x0,x1) .存在x2∈X, 使得gx1=F(x1,x2)继续下去,就可以得到存在xn∈X, 使得gxn-1=F(xn-1,xn),n=1,2,……, 从而

d(gxn-1,gxn)=d(F(xn-1,xn),F(xn,xn+1))≥

a1d(gxn,F(xn-1,xn))+a2d(gxn+1,F(xn,xn+1))-a3d(gxn,F(xn,xn+1))-

a4d(gxn+1,F(xn-1,xn))+a5d(gxn-1,gxn)=

a1d(gxn,gxn-1)+a2d(gxn+1,gxn)-a3d(gxn,gxn)-

a4d(gxn+1,gxn-1)+a5d(gxn-1,gxn)=

(a1+a5)d(gxn-1,gxn)+a2d(gxn,gxn+1)-a4d(gxn-1,gxn+1)

(2)

由于

d(gxn-1,gxn+1)≤s[d(gxn-1,gxn)+d(gxn,gxn+1)]

(3)

故

d(gxn-1,gxn+1)≥(a1+a5)d(gxn-1,gxn)+a2d(gxn,gxn+1)-

a4s[d(gxn-1,gxn)+d(gxn,gxn+1)]=

(a1+a5-sa4)d(gxn-1,gxn)+(a2-sa4)d(gxn,gxn+1)

整理可得

(sa4+1-a1-a5)d(gxn-1,gxn)≥(a2-sa4)d(gxn,gxn+1)

由条件a2>sa4, 有

(4)

i)若sa4+1-a1-a5≤0, 由(4)式知d(gxn,gxn+1)=θ. 由于n的任意性, 可知gxn=gxn-1=gxn-2=…=gx1=gx0. 由

d(gx1,F(x0,x0))=d(gx0,F(x0,x0))=

d(F(x0,x1),F(x0,x0))≥

a1d(gx1,F(x0,x1))+a2d(gx0,F(x0,x0))-a3d(gx1,F(x0,x0))-

a4d(gx0,F(x0,x1))+a5d(gx0,gx1)=

a1d(gx1,gx0)+a2d(gx0,F(x0,gx0)-sa3d(gx1,gx0)-

sa3d(gx0,F(x0,x0))-a4d(gx0,gx0)+a5(gx0,gx0)

由于

d(gx1,F(x0,x0))≤s[d(gx1,gx0)+d(gx0,F(x0,x0))]

从而

sd(gx0,F(x0,x0))≥a2d(gx0,F(x0,x0))-sa3d(gx0,F(x0,x0))

(5)

可得到

(a2-sa3-s)d(gx0,F(x0,x0))≤θ

由a2-sa3-s>0 知d(gx0,F(x0,x0))=θ.故gx0=F(x0,x0) ，从而(x0,x0) 为映象F和g的强式耦合叠合点.

d(gxn,gxn+1)≤hd(gxn-1,gxn),n=1,2 …

故

d(gxn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤h2d(gxn-1,gxn-2)≤…≤hnd(gx1,gx0)

当m>n≥1时

d(gxn,gxm)≤sd(gxn,gxn+1)+s2d(gxn+1,gxn+2)+…+sm-nd(gxm-1,gxm)≤

shnd(gx1,gx0)+s2hn+1d(gx1,gx0)+…+sm-nhm-1d(gx1,gx0)≤

shn(1+sh+…+(sh)m-n-1d(gx1,gx0)≤

(6)

(7)

整理(7)式可得

在上式中, 令n→∞, 可得

(8)

注1当定理1中的g=I (恒等映象)时, 会得到推论1, 如下.

推论1设(X,d) 是一个完备的锥b- 度量空间,s≥1，P是一个体锥,F:X2→X为一一映象, 若存在ai≥0,i=1,2,3,4,5 使得

a2+(a1+a5)s-a4s(1+s)>s,a2>a4s,a2>sa3+s

成立, 若X⊂F(·,X) 满足下面的扩张条件

d(F(x,y),F(u,v))≥a1d(y,F(x,y))+a2d(v,F(u,v)-a3d(y,F(u,v))-

a4d(v,F(x,y))+a5d(x,u)

定理2设(X,d) 是锥b- 度量空间,s≥1,P是体锥,F:X2→X 和g:X→X 是两个映象, 并且存在ai≥0,i=1,2,3,4,5，使得

sa1+a2-a4s(1+s)>s，a2+a5>a4s，a2>sa3+s，+a5a4s,a2sa3+s

成立, 满足下面的扩张条件

d(F(x,y),F(u,v))≥a1d(gx,F(x,y))+a2d(gu,F(u,v))-a3d(gx,F(u,v))-

a4d(gu,F(x,y))+a5d(gx,gu)

证类似于定理1的证明, 简略如下.

对于任意的x0∈X，由于g(X)⊂F(X,·) 则存x1∈X，使得gx0=F(x1,x0) . 存在x2∈X，使得gx1=F(x2,x1) …继续下去,就可以得到存在xn∈X, 使得gxn-1=F(xn,xn-1),n=1,2, …，从而

d(gxn-1,gxn)=d(F(xn,xn-1),F(xn+1,xn))≥

a1d(gxn,F(xn,xn-1))+a2d(gxn+1,F(xn+1,xn))-a3d(gxn,F(xn+1,xn))-

a4d(gxn+1,F(xn,xn-1))+a5d(gxn,gxn+1)

(9)

类似于(2)(3)的证明,(9)式可得

d(gxn-1,gxn)≥(a2+a5)d(gxn,gxn+1)+a1d(gxn-1,gxn)-

a4s[d(gxn-1,gxn)+d(gxn,gxn+1)]=

(a2+a5-sa4)d(gxn,gxn+1)+(a1-sa4)d(gxn-1,gxn)

整理得

(sa4+1-a1)d(gxn-1,gxn)≥(a2+a5-sa4)d(gxn,gxn+1)

由条件a2+a5>a4s, 从而

(10)

i)若sa4+1-a1≤0, 由(10)式知d(gxn-1,gxn)=θ, 由n的任意性, 可知gxn=gxn-1=gxn-2=…=gx1=gx0由

d(gx1,F(x0,x0))=d(gx0,F(x0,x0))=

d(F(x1,x0),F(x0,x0))≥

a1d(gx1,F(x1,x0))+a2d(gx0,F(x0,x0))-a3d(gx1,F(x0,x0))-

a4d(gx0,F(x1,x0))+a5d(gx1,gx0)=

a1d(gx1,gx0)+a2d(gx0,F(x0,x0))-sa3d(gx1,gx0)-

sa3d(gx0,F(x0,x0))-a4d(gx0,gx1)+a5d(gx1,gx0)

类似于(5)的证明, 整理可得

(a2-sa3-s)d(gx0,F(x0,x0))≤θ

同理, 由a2-sa3-s>0知d(gx0,F(x0,x0))=θ.故gx0=F(x0,x0) ，从而(x0,x0) 为映象F和g的强式耦合叠合点.

ii) 若sa4+1-a1>0,

d(gxn,gxn+1)≤hd(gxn-1,gxn),n=1,2,…

故

d(gxn+1,gxn)≤hd(gxn,gxn-1)≤h2d(gxn-1,gxn-2)≤…≤hnd(gx1,gx0)

(11)

注2当定理2中的 g=I(恒等映象)时, 会得到推论2, 如下.

推论2设(X,d) 是一个完备的锥b- 度量空间,s≥1，P是一个体锥,F:X2→X 为一一映象, 若存在ai≥0，i=1,2,3,4,5 使得

sa1+a2-a4s(1+s)+a5>s，a2+a5>a4s，a2>sa3+s

成立, 如果X⊂F(X，·) 满足下面的扩张条件 X⊂F(X，·)

d(F(x,y),F(u,v))≥a1d(x,F(x,y))+a2d(u,F(u,v))-a3(x,F(u,v))-

a4d(u,F(x,y))+a5d(x,u)

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Existence on the strong form of coupled coincidence point

for expansive maps in cone b-metric spaces

SONG Yan-xia, CHAI Guo-qing, YUAN Zhe

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi435002,China)

Key words:cone b-metric spaces; expansive maps; strong form of coupled coincidence point