巧用牛顿第二定律速解连接体问题

刘小兰

连接体是指所研究问题中涉及的多个物体或者上下叠放，或者前后挤靠，或者通过细绳、细杆或轻弹簧连在一起，或由间接的场力（万有引力、电场力、磁力等）作用在一起的物体系统.

在高中阶段，连接体问题的求解，常采用整体法与隔离法相结合的办法，即当连接体内各物体具有相同的加速度时，采用先整体运用牛顿第二定律求出加速度，然后再隔离其中的某个物体，分析求解有关量；而当连接体内各物体的加速度不同时，则只能采用隔离法，根据每个物体的受力情况和运动状态的不同，结合牛顿第二定律或运动学公式分别列式求解，这样不但会使中间过程的分析、求解繁琐而杂乱，而且极易造成结果的错误.此时，若采用系统的牛顿第二定律求解，便可使问题变繁为简，变难为易，收到事半功倍之效.

系统的牛顿第二定律是指：若质量为m1，m2，…，mn的物体组成连接体（系统），它们的加速度分别为a1，a2，…，an，该连接体（系统）受到的合力为F，则这个连接体（系统）的牛顿第二定律表达式可写为F=m1a1+m2a2+…+mnan因为力F和加速度a都是矢量，故其正交分量式为

Fx=m1alx+m2a2x+…+mnanx

Fy=m1aly+m2a2y+…+mnany

由此可见，该规律关系式不涉及连接体（系统）的内力，所以如果不求内力，用该规律分析各物体加速度不相同的连接体（系统）的动力学问题时，就可使问题简化，解题过程简捷清晰，结果准确无误，同时能给人以赏心悦目之感.

下面通过实例的分析与求解，说明系统的牛顿第二定律的具体应用，并力图帮助读者体会与感悟其在求解连接体问题中的巧妙之处.

一、接触面间的连接体

例1 如图1所示，质量为mo的木板可沿倾角为θ的光滑斜面下滑，木板上站着一个质量为m的人.

（1）为了保持木板与斜面相对静止，求人运动的加速度：

（2）为了保持人与斜面相对静止，求木板运动的加速度.

解析 （1）设人运动的加速度为a人，木板运动的加速度为a板，选取人和木板构成的连接体为研究系统，其所受的合力为（mo+m） gsinθ，根据系统的牛顿第二定律有：

（mo+m）gsinθ=moa板+ma人

变式1 如图2所示，一质量为M的楔形木块放在水平地面上，两底角分别为a、β，A、B是两个位于斜面上质量均为m的木块.已知两木块在斜面上分别以a1、a2的加速度下滑，如果楔形木块静止不动，求地面对楔形木块的支持力和摩擦力分别为多少？

解析 以楔形木块及A、B为研究对象，系统受到竖直向下的重力（M+2m）g，地面对系统的支持力FN，地面对系统的摩擦力Ff，建立正交坐标系如图3所示.由系统牛顿第二定律分量式知：

在y轴方向：

（M+2m）g-FN=ma1y+ma2y

所以FN=（M+2m）g-m（alsina+a2sinβ）

在x轴方向：

Ff=m（-alx）+ma2x

所以Ff=m（-alcosa）+ma2cosβ=m（a2cosβ-alcosa）

讨论：

（1）当a2cosβ>a1cosa时，Ff的方向与x轴正方向相同；

（2）当a2cosβ

（3）当a2cosB=a1cosa时，Ff=0.

二、细绳间的连接体

例2 水平面上有一带圆弧形凸起的长方形木块A，木块A上的物体B用绕过凸起的轻绳与物体C相连，B与凸起之间的绳是水平的，用一水平向左的拉力F作用在物体B上，恰使物体A、B、C保持相对静止，如图4所示.已知物体A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，不计所有的摩擦，则拉力应为多大？

解析 如图5所示，设C物体与竖直方向偏离的角度为0，C物体受到绳子的拉力为T，由牛顿第二定律有：对于A、B、C用整体法得

F=3ma①

对于B物体有

F-T=ma②

对于C物体有

Tsinθ=ma③

Tcos0=mg④

由①、②两式可得T=2ma⑤

变式2 如图6所示，用细线将一质量为M的金属块与一质量为m的木块连接在一起浸入水中，开始时木块的上表面刚好与水面平齐，它们一起以加速度a匀加速下沉，一段时间后细线断了，此时金属块向下运动的加速度大小为a1，求此时木块的加速度a2.

解析 木块与金属块均受到重力与水的浮力作用，它们受到的重力与浮力的合力FA由牛顿第二定律有F合=（M+m）a，在细线断的前后，由于它们受到的重力与浮力均没有变化，故线断后整体受到的合力仍为F合=（M+m）a，方向向下.由于线断后金属块的加速度ai的方向向下，但木块的加速度a2的方向向上.选取向下为正方向，对金属块与木块整体，由牛顿第二定律有：

（M+m）a=Mal-ma2

故a2 =M（a1-a）-ma.

三、轻弹簧间的连接体

例3 如图7所示，一辆有动力驱动的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一小球相连，设在某一段时间内小球与小车相对静止且弹簧处于压缩状态.若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是

（）

A.向右做加速运动

B.向右做减速运动

C.向左做加速运动

D.向左做减速运动

解析 小球在水平方向受到向右的弹簧弹力，由牛顿第二定律可知，小球必定具有向右的加速度，小球与小车相对静止，故小车可能向右做加速运动或向左做减速运动，故选项AD正确.

变式3如图8所示，光滑水平面上，A、B两物体用轻弹簧连接在一起，A、B的质量分别为m1、m2，在拉力F作用下，A、B共同做匀加速直线运动，加速度大小为a，某时刻突然撤去拉力F，此瞬时A和B的加速度大小为a1和a2，则

（）

解析 刚刚撤去拉力F瞬间，A受到的弹簧对它的弹力不变，所以A的加速度还是向右的a，那么我们对整体受力分析可知，整体合力为0，由系统第二定律可知。