量子突发纠错乘积码的构造

白姗姗，陈丙亚，周晓娜

(安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232007)

Foundation Item:Natural Science Foundation of Anhui Province(No.1408085MA05)

摘　要：量子突发纠错码是以CSS量子码的纠错原理和构造技术为基础，在量子计算和量子通信中有着十分重要的作用。首次利用GF(q)上的任意线性码q和满足对偶包含关系的BCH码q,来构造乘积码C1⊗C2和(C1⊗C2)⊥,当满足n2>2k1k2时，在CSS构造的基础上便可构造参数为[[n2,n2-n]]的量子突发纠错乘积码，并给出其突发纠错能力。

关键词：线性码；BCH码；乘积码

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.06.004

量子突发纠错乘积码的构造

白姗姗，陈丙亚，周晓娜

(安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232007)

Foundation Item:Natural Science Foundation of Anhui Province(No.1408085MA05)

摘要：量子突发纠错码是以CSS量子码的纠错原理和构造技术为基础，在量子计算和量子通信中有着十分重要的作用。首次利用GF(q)上的任意线性码q和满足对偶包含关系的BCH码q,来构造乘积码C1⊗C2和(C1⊗C2)⊥,当满足n2>2k1k2时，在CSS构造的基础上便可构造参数为[[n2,n2-n]]的量子突发纠错乘积码，并给出其突发纠错能力。

关键词：线性码；BCH码；乘积码

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.06.004

收稿日期：Received date:2015-01-01；Revised date：2015-04-20

基金项目：安徽省自然科学基金(No.1408085MA05)

中图分类号：TP393.08

文献标志码：码：A

文章编号：号：1002-0802(2015)06-0648-05

Abstract：Quantum burst-correcting codes based on the elegant structure of CSS codes play an important role in quantum computation and quantum communication. Let C1=[n,k1,d1]q denote an arbitrary linear code and C2=[n,k2,d2]q be a BCH code over GF(q) C1 and C2 are used for the first time to construct the C1⊗C2 and (C1⊗C2)⊥ product codes. If n2>2k1k2, then based on CSS construction, the quantum burst-correcting product codes with parameter [[n2,n2-n]] can be constructed. Moreover, its ability in constructing the quantum burst-correcting codes is also given.

作者简介：

Constructions of Quantum Burst-Correcting Product Codes

BAI Shan-shan，CHEN Bing-ya，ZHOU Xiao-na

(College of Science, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui 232007 China)

Key words：linear code; BCH code; product code

0引言

量子编码是信息论领域的一个有着重大意义的理论成果。一方面，通过量子编码，人们对克服退相干性充满了希望，进而使得量子计算机和量子传输等可以由理想转变为现实。另一方面，有利于量子编码定理的推广。

上述工作主要针对错误独立同分布出现的理想情形。但是在很多实际情况下，由于各种问题的干扰造成的错误，不是单个地，而是成串成群地出现，因此一个错误的出现，往往会引起前后码元的错误(即突发错误)出现，表现为错误之间的相关性。针对这个情况，Vatan[4]等人第一次给出了量子突发纠错码这一概念。利用计算机，Tokiwa[5]等人构造出一系列n≤51的量子突发纠错码。Kawabata[6]提出了基于古典交错技术的突发量子纠错码的构造模型。Guo[7]等人构造了一个不仅可以维护多量子随机错误，而且可以有效的减少量子突发错误发生的量子纠错码。

应用本文所给方法进行构造时，可以很快地得出量子突发纠错乘积码的参数以及纠正突发错误能力，并且经计算码率较高，有效性强。

1基本概念介绍

BCH码是纠正多个随机错误的循环码。首先，介绍一下循环码和BCH码。

定理2[11]：(BCH限)BCH码的最小距离dBCH至少为δ。

乘积码是利用线性分组码实现长码的代表，最早由Elias[13]提出的，能纠正大量的突发错误和随机错误，当以Turbo码的思想实现乘积码的迭代译码时，具有一般编码无法达到的纠错能力，可获得很高的译码增益。

乘积码的构造方法有很多，下面给出一种乘积码的构造方法。

2量子突发纠错乘积码的构造

首先，我们利用两个循环码的生成多项式来表示乘积码的生成多项式。

由上面的定理3，我们得到下面引理。

C=C1⊗C2=[n2,k1k2,d1d2]q

对于BCH码，空间的维数由k的取值决定。故这个乘积码总体空间的维数为n2，C1⊗C2的维数为k1k2。

由对偶码的定义知C⊥的空间的维数k⊥=n2-k1k2。 因此C⊥的参数为C⊥=[n2,n2-k1k2,d⊥]q，其中d⊥=min{n-d1,n-d2}。

证毕

在由文献[15]，利用经典的纠错码构造量子纠错码的方法。

用类似的方法，利用CSS量子构造，便可构造出量子突发纠错码。

下面我们具体给出突发纠错乘积码的构造方法。

其中C1⊗C2=[n2,k1k2,d1d2]q(C1⊗C2)⊥=[n2,n2-k1k2,d⊥]q，d⊥=min{n-d1,n-d2} 。

令C1⊗C2=C⊥,则(C1⊗C2)⊥=C。有关系C⊥⊆C，此时有n2>2k1k2。

再由定理5可知便可构造参数为[[n2,n2-n]]的量子突发纠错乘积码。

证毕。

最后，我们给出量子突发纠错乘积码的纠突发错误的能力。

于是，结合定理5得出量子突发纠错乘积码的纠突发错误能力。

则C1⊗C2的最小距离为d1d2，能纠正长为b1≤max(nt1,nt2)个突发错误。

证毕。

由定理6知可构造参数为[[225,210]]的量子突发纠错乘积码。

在表1中，我们具体给出了几种量子突发纠错乘积码的构造及参数。

表1　几种量子突发纠错乘积码

3结语

量子突发纠错码不仅可以在理想的状态下产生，而且可以在更加切合实际的信号传输通道中产生，也可将较为复杂的信道干扰情况考虑在内。利用本文给出的方法可以很容易的构造出量子突发纠错乘积码，并得出其纠正突发错误的能力。码率高，有效性强，得到的码字更接近原始码字，出错率低。目前，对量子突发纠错码的研究还处于初级阶段，对研究者来说，如何设计出性能好的量子纠错码是未来编码研究的一个重要部分，而对计算机研究者来说，如何在实际的计算机背景下对这些量子码实现应用，也是十分关键的。

参考文献：

[1]Shor P W.Scheme for Reducing Decoherence in Quantum Computer memory.[J]. Physical Review A: 1995.52(4): 2493-2496.

[2]Steane A M. Multiple Particle Interference and Quantum Error Correction.[J].Proc. Roy. Soc. Lond.A:1996(29).2551.

[3]Calderbank A R,Rains E M,Shor P W,et al. Quantum error correction via codes over GF(4).[J].Quantum Physics:1998(5):7-25.

[4]Vatan Farrokh,Roychowdhury Vwani P, Anantram M P.Spatially Correlated Qubit Errors and Burst-Correcting Quantum Codes.[J]. IEEE Transaction on Information Theory:1999(5):1703-1708.

[5]Tokiwa Kin-ichiroh, Kiyama Kazutaka,Yamasaki Takahiro. Some Binary Quantum Codes with Good Burst-Error-Correcting Capabilities.[J] Osaka Sangyo University: 2005(116):11-17.

[6]Kawabata Shiro. Quantum Interleaver: Quantum Error Correction for Burst Error. [J]. arXiv: quant -ph/ 0002020v4: 2000(27): 3540-3543.

[7]GUO Ying, ZENG Gui-hua. How to Combat Quantum Bursts of a Errors Efficiently.[J]. Journal of the Physical Society of Japan:2006(3):1-8 .

[8]冯克勤.纠错码的代数理论．循环码[M].北京：清华大学山版社，2005:55-80.

FENG Ke-qin.The Algebraic Theory of Error CorrectionCode. Cyclic Code[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2005:55-80.

[9]冯宾.新的量子纠错码的构造.[J].信息安全与通信保密，2014(05):118.

FENG Bin. Construction of New Quantum Error-Correcting Codes[J]. Information Security and Communication Security: 2014(5): 118.

[10]Grassl Markus,Rotteler Martin. Quantum Block and Convolutional Codes from Self-Orthogonal Product Codes[J]. Information Theory. 2007(19)1018-1022.

[11]王新梅,肖国邦.纠错码-原理与方法.BCH码的描述及其距离限[M].修订版.西安：西安电子科技大学出版社，2011：242.

WANG Xin-mei, XIAO Guo-bang. Error-Correcting Codes-The Principle and Methods. The Description of the BCH Code and Its Distance limit[M].Revision. Xian:Xian University of Electronic Science and Technology Press.2011:242.

[12]陈小松,廖谨.设计距离为9的q元BCH码周期分布[J].计算机工程与应用，2012, 48 (04):132-134.

CHEN Xiao-song, LIAO Jin. Period Distributions of Q-ary BCH codes with Designed Distance 9.[J]. Computer Engineering and Application:2012,48 (4):132-134.

[13]Elias P. Error-Free Coding. [J]. IEEE Trans on Inform Theory:1954, 4(4):29-37.

[14]Macwilliams F J, Sloane N A. The Theory of Error-Correcting Codes. Product Codes. [M]. North-Holland: North-Holland Publishing Codes:1997:345-400.

[15]Grassl Markus,Rotteler Martin.Quantum Block and Convolutional Codes from Self-Orthogonal Product Codes.[J].arxiv: quant-ph /0703181vl 2007(19):15.

[16]La guardia. giuliano G.Symmetric Quantum Product Codes.[J].WorldScientific:2011:6.

白姗姗(1989—)女，硕士，主要研究方向为纠错码编码理论；

陈丙亚(1990—)女，硕士，主要研究方向为纠错码编码理论；

周晓娜(1989—)女，硕士，主要研究方向为纠错码编码理论。