矩阵理论在数学中的应用

张昕 张莉莉

摘 要：本文给出了秩为r的矩阵A秩分解的初等变换法求因子矩阵及在解线性方程组

的应用.并介绍矩阵的分块在矩阵理论证明和矩阵运算中的应用。

关键词：矩阵秩分解;初等变换;分块矩阵;

1求矩阵秩分解的初等变换法及其应用

众所周知，设A是m[×]n矩阵P，n[×]n矩阵Q，使PAQ = [Ir000]，此式称为矩阵A 的

解[1].对上式一般的教科书中从未给出 P 、Q 的具体求法，本文给出求 P 、Q 的初等变换法如下：

由P 、Q 可逆，可设 P = P[s] P[s-1]…[]P[1]， Q  =  Q[1] Q[2]…  Q[t] ，P[i]， Q[j]均为初等矩阵，1[≤][i] [≤]s， 1[≤]j[≤]t，所以P[s] P[s-1]…P[1]AQ[1]Q[2]…Q[t] =  [Ir000]，

且 P[s] P[s-1]…P[1]I[m] = P， I[n]Q[1] Q[2]…Q[t] = Q

这表明，当经过一系列初等行、列变换把 A 变成 [Ir000] 时，相同的行变换就将I[m][]变成了P ，而相同有列变换将I[n][]变成了Q ，由此得

[A…Im………Im…0] [对A作初等变换对Im仅作与A相同的行变换，对In仅作与A相同的列变换]>[Ir0…P00……………Q…0]

从而得

PAQ  =  [Ir000] （1）

下面利用上述 P、Q 讨论线性方程组的问题.

设有齐次线性方程组

AX = 0  （2）

式中，A 同（1）式.

设Q = （[α][1]，[α][2]，…， [α][n]），则由（1）得，A[α][r+1][]=  0，[α][r+1]， …，[α][n]是（2）的解向量，又秩 A = r， Q可逆，得 [αr+1]，[αr+2] ，…，[αn]是齐次线性方程组（2）的一个基础解系.

现考虑一般线性方程组

AX = b （3）

其中b = （b[1]，b[2]，…，b[m]）[T]， X =（  [x][1]，[x][2]，  … ，[x][n][]）[T][][]， A 如上

由PAQ = [Ir000] ， A = P[-1] [Ir000]  Q[-1]代入（3）得

P[-1]  [Ir000] Q[-1]X = b，[Ir000] Q[-1]X = P b  （4）

于是方程（3）有解当且仅当（4）有解.

设 Q[-1]X = Y = （[y1]，[y2]，… ，[yn]）[T]，  P b  = （b[1]，b[2]，…，b[m]）[T]，（4）变成

[][][y1y2?y30?0ζm-r] =[b1b2?brbr+1?bm]  （5）

（4）与（5）同解，显然（5）可解当且仅当 [br+1]= … = b[m] = 0 ，于是得

定理 1方程组（3）有解充要条件是 P b 的后 m-r 个分量全为 0.

现设方程组（3）有解，由（5）取[y1] = [b1]，…， [yr] = [br]，[yr+1] = … = [yn] = 0，又设 Q = （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，[αr+1]，… ，[α][n]），则（3）的一个特解

[η0] = QY = （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，[αr+1]，… ，[α][n]）[b1?br0?0ζm-r][]

[]= （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，0 ，… ，0）[b1?br0?0ζm-r]

= （[α][1]，[α][2]，…，[αr] ，[0，…，0︷n-r] ）P b

由此可得

2分块矩阵理论的方法应用

利用矩阵的分块进行矩阵运算是讨论阶数较高矩阵时一种常用技巧，她可以使问题简化。

2.1可解决矩阵秩的问题

设A是m [×] n 阶矩阵，秩A = r，证明：存在m [×] r 阶矩阵B 和r [×] n 阶矩阵C ，

秩 B = 秩 C = r 使得 A = BC

证明：因为秩A = r， 所以存在m阶可逆矩阵P 和 n 阶可逆矩阵 Q，

使得 PAQ =  [Ir000] .所以，A = P[-1] [Ir000]  Q[-1]

将P[-1]，Q[-1] 分块：P[-1] = （B[m×r]，P[1]）， Q[-1] = [Cr×nQ1]，其中：P[1]为m[×]（m-r）阶矩阵，Q[1]为（n-r）[×]n 阶矩阵

那么：秩 B = 秩 C = r ，且A = （B， P[1]）[Ir000][CQ1]  = BC

推论： 一个n 阶矩阵 A 的秩 [≤] 1必要且只要 A 可以表为一个 n [×] 1 矩阵和一个

1 [×] n 矩阵的乘积.

证明：必要性：

（1）若秩A = 0 ， 显然有 A = [00?0] [00…0]. 命题成立.

（2）若秩A = 1，则由上题可知，A = BC 。其中B 为 n [×] 1 矩阵，C 为 1 [×]

n 矩阵，且秩 B = 秩 C = 1

充分性：设

A = [α1α2?αn] [b1b2…bn] = [a1b1a1b2…a1bna2b1a2b2…a2banb1anb2…anbn]

由A知，它的任何二阶子式 [aibjaibkasbjasbk] = [aias][bjbkbjbk] = 0

所以， 秩 A [≤] 1

2.2可解决求逆矩阵问题

已知 A[i]（I = 1，2，…，s）都是可逆矩阵，

则有（[i]）[A1OA2O?As]=[A-11OA-12O?A-1s]

（[i][i]）[0A1A20-1]= ）[0A-12A-110]

证明略：[]

例：A = [0a10…0000a2…00000…0an-1an00…00] ，求：A[-1]

解：令 A = [0Dan0]，其中 D = [a10…00a2…000…an-1]

所以，A[-1] =  [0a-1nD-10]  =  [000…0a-1na-1100…000a-120…00000…a-1n-10]

2.3可解决矩阵的特征根问题

设 V 是数域 F上 n维向量空间，W[1]，W[2]都是 V 的不变子空间，若V = W[1][⊕] W[2]，[σ][∈]（V），则[σ]关于V的基的矩阵为[A100A2]形式

证明： 令dim W[1] = r， 则dim W[2]= n-r，且若[a1]，[a2]，…，[ar]是W[1]的基，[ar+1]，…，[an]是W[2]的基，则[a1]，[a2]，…，[ar]，[ar+1]，…，[an]是 V 的基，则有[σ]（[a1]），[σ]（[a2]） ，…，[σ]（[ar]）[∈] W[1] ，[σ]（[ar+1]），…，[σ]（[an]）[∈] W[2]

若令：[σ]（[a1]）  = a[11][a1] + a[21][a2] + …+ a[r1][ar]

[σ]（[a2]） = a[12][a1] + a[22][a2] + …+ a[r2][ar]

…  …  …  …  …  …  …  …  …

[σ]（[ar]） = a[a1][a1] + a[a2][a2] + …+ a[rr][ar]

[σ]（[ar+1]）= a[r+1，r+1][ar+1] + …+ a[n，r+1][an]

…  …  …  …  …  …  …  …  …

[σ]（[an]） = a[r+1，n][ar+1] + …+ a[nn][an]

所以，[σ]关于[a1]，[a2]，…，[an]的矩阵为[A100A2]

其中  A[1] = [a11…ar1a1r…arr]  A[2] = [ar+1，r+1，…an，r+1ar+1，n…ann][]

参考文献：

[1] 张禾瑞，郝炳新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2] 张禾瑞， 郝炳新.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.215-334.

[3] 王向东，等.高等代数常用方法[M].北京：科学出版社，1989.220-242.