例谈数形结合的方法

朱月祥++++王海成

数学上总是用数的抽象性和精确性来说明形象的事实，同时又用图形的直观性来说明抽象的事实。或以数辅形，用严密的逻辑推理来精确刻画直观的形象；或以形助数，用形象的几何图形启迪抽象的代数思维。这种数形结合就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合起来，实现形象思维与抽象思维的优势互补，体现了数与形之间的沟通与变换。既利于探求解题途径，又可深刻认识问题的本质。

一、 以数辅形

例1：P为等边△ABC的外接圆BC弧内任意一点，连接

PA、PB、PC，如图求证：

（1）PB+PC=PA；

（2）PB·PC=PA2-AB2；

（3）PA≤■AB；

（4）PA2+PB2+PC2为定值。

分析：由本题第（1）、（2）的结构，应该联想到韦达定理；由问题中出现的二次方，应该联想到余弦定理。这两步实现了数与形的完美结合，用一个代数理论就可以统一解决这四个问题。

解： 记正△ABC的边长为a，当PB=PC时，以上结论显然成立。

当PB≠PC时，分别在△PBC、△PAC中用余弦定理，有：

AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=PA2+PB2-PA·PB，

即PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0，

同理得PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0，

这表明PB、PC是二次方程x2-PA·x+（PA2-a2）=0的两个实数根，

由韦达定理有：

PB+PC=PA；

PB·PC=PA2-AB2。又由方程有实数根知判别式非负，即：

△=PA2-4（PA2-a2）≥0，

即PA≤■AB。

PA2=PB2+PC2+2PB·PC=PB2+PC2+2（PA2-a2），

即PA2+PB2+PC2=2AB2=2a2，为定值。

二、 以形助数

例2：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）

分析：函数的值域及不等式的解与函数的图象存在密切的联系，本题是一个逆向问题，虽然参数多，但如果利用函数图象的“形”体现参数字母的“数”，以形助数，则可使问题得到解决。

解：由函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），可得b=■，且可画出f（x）的图象，如图3，再画出直线y=c，可知两图象的交点即为A（m， c），B（m+6，c）有对称性可知-■=■，即m=■，把A（■，c）代入f（x）=（x+■）2，

得c=9。

三、 数形互助

例3：设a， b， c， x， y， z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则■=（ ）。

A.■ B.■ C.■ D.■

分析：从提供的已知条件看，是三个方程可解三个未知数，但运算显然很麻烦。从式子的结构特征联想到空间向量的模与数量积，可有效地把“数”往“形”转化，再联想到向量的夹角、共线等几何意义，各个条件层层击破，问题可以得到解决。

解：设A（a，b，c），B（x，y，z），如图，则

■=■=■，

■=■=■，

■·■=ax+by+cz=20，

cos<■， ■>■=1，

所以∠AOB=0°，■与■为同向共线向量，

所以■=？姿■，？姿=■

从而有■=■=■=■，

所以■=■。选C。

数形结合，不仅是一种有效的解题方法，更是一种重要的数学思想和思维方式，它兼取了数的严谨性与形的直观性两方面的长处，是优化解题过程的重要途径，也能集中反映学生对知识的掌握情况，值得我们在教学中加以重视。◆（作者单位：江苏省滨海县獐沟中学）

□责任编辑：万永勇