已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数判定方法及其应用

马耀勇

一、已知三角形两边及其中一边的对角时解三角形的个数的探讨

在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A，解三角形时，解的个数有哪些情况？

问题相当于：在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A画三角形时，能画多少个三角形？

画法：（1）画∠MAN等于已知角A；

（2）在射线AM上截取AC=b；

（3）以C为圆心、a为半径画弧，交射线AN于点B（交点B的个数决定画出的三角形的个数），则△ABC就是要画的三角形。

1.当A为锐角时：

（1）当a

（2）当a=bsinA时，画出唯一的三角形，如图（2），只有一个解；

（3）当bsinA

（4）当a≥b时，画出唯一的三角形，如图（4），只有一个解.

2.当A为直角或钝角时：

（1）当a≤b时，无解，如图（5）、图（6）；

（2）当a>b时，一个解，如图（7）、图（8）。

记忆方法：解的个数判定方法一

（1）当A为锐角时；

（2）当A为直角或钝角时.

当已知角的对边是大边，有一解，否则，无解。

在△ABC中，已知两边a、b和其中边a的对角A解三角形，解的个数的判定方法还可以用下面方法：

方法二：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得到以第三边c为未知数的一元二次方程，此方程正数解的个数即为三角形解的个数。

已知a，b，A，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得

c²-（2bcosA）c+b²=a²=0，

（l）若方程无解或无正数解，则三角形无解；

（2）若方程有唯一正数解，则三角形有一解；

（3）若方程有两个不同的正数解，则三角形有两解。

二、已知三角形两边及其中一边的对角时三角形解的个数判定方法应用举例

1.已知三角形两边及其中一边的对角时判定解的个数。

例1：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件，不解三角形判断有几组解？