复式类正方格子声子晶体薄板的带隙研究

2016-01-15赵浩江,刘荣强,郭宏伟等

振动与冲击 2015年19期

复式类正方格子声子晶体薄板的带隙研究

赵浩江，刘荣强，郭宏伟，史创

(哈尔滨工业大学机电工程学院,哈尔滨150001)

摘要：将一种复式类正方格子引入声子晶体薄板，其基元包含5个圆形散射体。利用平面波展开法研究了其纵向振动带隙结构，发现通过改变基元内不同位置处散射体的半径比及填充率，可以调节声子晶体带隙的宽度和位置。通过与相同填充率下的正方格子和Bathroom格子对比发现，复式类正方格子在合适的半径比之下可以获得更宽的带隙。

关键词：声子晶体；带隙；平面波展开法；薄板

中图分类号:TB53

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.027

Abstract:A thin phononic crystal plate with complex square-like lattice and five circular scatterers in its unit cell was studied. Longitudinal vibration band gaps of this plate were calculated with the plane wave expansion method. Numerical results showed that the width and location of the band gaps can be tuned by changing the filling fraction and the radius ratio of scatterers at different positions in the unit cell; comparing to the square lattice and Bathroom lattice with the same filling fraction, a wider gap can be obtained with the complex square-like lattice under an appropriate radius ratio.

基金项目：国家自然科学基金项目(51269019，51469015，51409139) ;天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室开放研究项目(201206);广东省水利科技创新基金项目(2014～08) 国家自然科学基金资助项目(51309123)；江苏省高校自然科学研究资助项目(13KJB570002)；江苏省高校“青蓝工程”资助项目;海洋工程国家重点实验室开放基金(1407)；江苏高校优势学科建设工程资助项目(PAPD)

收稿日期：2014-06-24修改稿收到日期：2014-09-25 2014-03-23修改稿收到日期：2014-07-01

Band gaps of thin phononic crystal plates with complex square-like lattice

ZHAOHao-jiang,LIURong-qiang,GUOHong-wei,SHIChuang(School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Key words:phononic crystal; band gap; plane wave expansion method; thin plate

声子晶体自其概念被首次提出以来[1-3]已经受到了国内外学者的广泛关注和研究[1-16]。声子晶体是一种人造周期复合功能材料。由于构成材料的属性差异以及周期排布特性，使声子晶体具有弹性带隙。在带隙频率范围内，弹性波或振动都无法通过。声子晶体具有许多应用前景，如隔振器、声波导、声滤波器、声聚焦成像等[4]。因此研究声子晶体具有重要的理论意义和应用价值。

声子晶体包括理想声子晶体和声子晶体结构。理想声子晶体如一维、二维、三维声子晶体，具有无限的几何尺寸。而具有有限尺寸的声子晶体结构更接近实际应用，常见的有声子晶体杆/梁[5]和声子晶体板。其中，声子晶体薄板是一类比较常见和实用的声子晶体结构。目前围绕声子晶体薄板的研究主要包括带隙计算方法[6-8]、带隙影响因素分析[9]以及缺陷态等，但主要研究对象以简单晶格为主。相对于简单晶格，复杂晶格具有更为灵活的带隙调整参数。降低声子晶体的对称性可以打破声子晶体相邻能带之间的简并以获得更宽的带隙。降低对称性的方法有很多，如旋转非圆散射体[9-11]或各向异性散射体，在简单晶格中插入额外的散射体[12-15]，或调整复杂晶格中散射体的方位或大小等。本文研究了一种在基元中具有5个散射体的复式类正方格子。通过调整不同位置处的散射体的半径比，得到了各填充率下的最宽带隙。

1研究模型与计算方法

1.1研究模型

声子晶体薄板由铝合金薄圆柱以复式类正方点阵形式排列于环氧树脂基体薄板中，见图1。正方形虚线框表示晶格的基元，a为晶格常数。注意到该复式类正方点阵是由圆柱A所在的简单正方点阵和圆柱B所在的Bathroom点阵混合而成，圆柱A和圆柱B的半径分别为R2和R1。Bathroom点阵是一种类正方阿基米德格子[16]，与简单正方格子具有相同的第一布里渊区，两种格子混合后得到的复式类正方格子也具有相同的第一布里渊区，见图1，其中由Γ-M-X组成的三角表示第一不可约布里渊区。

图1　复式类正方格子截面及其第一布里渊区 Fig.1 Transverse cross sections of the complex square-like lattice and its first Brillouin zone

见图1，基元中属于Bathroom点阵的4个圆柱分别位于如下位置

(1)

1.2计算方法

采用平面波展开法计算声子晶体薄板的纵向振动带隙。假设薄板的厚度h远小于晶格常数a，满足薄板条件。此时假设薄板在XOY内的变形在厚度方向是一致的。根据薄板上下表面的自由边界条件，即可得薄板纵向振动的波动方程，也就是板的Poisson理论[4]。进而可根据平面波展开法，得到薄板纵向振动的特征值方程[6]如下

(2)

式中：μ是剪切模量；α=E/(1-v2)；β=Ev/(1-v2)；G是二维空间的倒格矢；k是第一布里渊区内的波矢；ui和uj是位移矢量；i，j分别代表x，y。

将各个材料参数(ρ,α,β,μ)统一用g(r)表示，则g(r)是位置向量r的周期函数，展开为如下傅里叶级数形式：

(3)

式中，傅里叶系数g(G)可以简化成

g(G)=

(4)

式中：下角标1和2分别表示散射体和基体；PA和PB分别是位于正方点阵和Bathroom点阵位置的散射体的结构常数。

对于圆形截面的散射体，分别有

(5)

式中：J1为第一类Bessel函数。

利用波矢k扫描第一布里渊区的高对称边界Γ-M-X，即可得到声子晶体薄板纵向振动的能带结构。为保证良好的计算收敛性，本文在计算带隙时采用了625个平面波。

2计算结果与讨论

图2　三种晶格在填充率f=0.4时的前10阶能带 Fig.2 Band structures of (a) square lattice, (b) complex square-like lattice and (c) bathroom lattice when f=0.40

首先，计算了填充率f=0.4时，声子晶体薄板的散射体分别按照正方格子、Bathroom格子以及复式类正方格子(R1=R2时)排列时的纵向振动能带结构，见图2，阴影部分为带隙。可以看出，三种晶格类型在相同填充率下的能带结构具有较大差异，只有正方格子在第3频带和第4频带之间，以及第5频带和第6频带之间具有带隙，Bathroom格子和复式类正方格子的前10阶频带之间都没有带隙存在。

2.1半径比对带隙中心频率的影响

带隙中心频率可以表示带隙所在频率范围的位置。图3给出了不同填充率下，复式类正方格子的声子晶体薄板纵向振动带隙的简约中心频率随散射体的半径比R1/R2的变化情况，分别是图3(a)位于第3和第4频带之间的带隙3-4,图3(b)位于第5和第6频带之间的带隙5-6，以及图3(c)位于第6和第7频带之间的带隙6-7。各分图靠近右边界的空白区域是由于复式格子各填充率下半径取值受约束产生的，属于不可选用区域，否则将造成散射体重叠。

由图3可以看出，三个带隙主要出现在R1/R2<1的情况。这是因为Bathroom格子相对正方格子更难产生带隙，而且在基元中属于Bathroom点阵的散射体有4个，属于正方点阵的散射体却只有1个。因此，为了更容易产生带隙，正方点阵的散射体在基元中所占的填充率至少要接近Bathroom点阵的散射体所占的填充率，体现在正方点阵的散射体应略大于Bathroom点阵(大多数情况下)。三个带隙的中心频率都随填充率的增大而升高，随半径比的增大先降低后升高。填充率变化对带隙简约中心频率的影响要大于半径比变化的影响。从图3(a)可以看出，带隙3-4出现的填充率范围最宽(0.22≤f≤0.89)时，半径比是R1/R2=0.20；带隙3-4出现的半径比范围最宽(0.1≤R1/R2≤1.0)时，填充率是f=0.44。而由图3(b)可知，带隙5-6出现的填充率范围最宽(0.42≤f≤0.89)时，半径比是R1/R2=0.30；带隙5-6出现的半径比范围最宽(0.1≤R1/R2≤1.1)时，填充率是f=0.54。由图3(c)可知，带隙6-7出现的填充率范围最宽(0.28≤f≤0.89)时，半径比是R1/R2=0.40；带隙6-7出现的半径比范围最宽(0.1≤R1/R2≤0.8)时，填充率是f=0.66。在实际设计声子晶体薄板时，可以根据需要的带隙中心频率位置选取合适的半径比和填充率。尤其是带隙6-7，恰当的半径比产生纵向振动带隙的填充率范围要明显大于单独正方格子和单独Bathroom格子产生带隙的填充率范围。

图3　复式类正方格子简约带隙中心频率在各填充率下与半径比R 1/R 2之间的关系 Fig.3 Reduced mid-frequency of the gap in complex square-like lattice between bands (a) 3-4, (b) 5-6 and (c) 6-7 as a function of the filling fraction f and the radius ratio R 1/R 2

2.2半径比对带隙宽度的影响

图4给出了不同填充率下，复式类正方格子的声子晶体薄板纵向振动带隙的简约宽度随散射体半径比R1/R2的变化情况，各带隙对应图3所示的带隙。其中各分图中的黑点表示每个填充率对应的带隙最宽时的半径比。(注意图4表征的带隙出现的范围与图3略有不同，带隙范围以图3为准。)由图4(a)和图4(b)可知，获得最宽带隙3-4和最宽带隙5-6的半径比在填充率增加的前半段保持R1/R2=0.1，说明在这一填充率范围内要获得最宽带隙，正方点阵位置上的散射体起的作用更大。而当填充率超过一定值时(带隙3-4超过填充率f=0.59，带隙5-6超过填充率f=0.57)，最佳R1/R2随着填充率的增大而增大，即在较大填充率下要获得更宽带隙，位于Bathroom点阵位置上的散射体所起作用逐渐加强。而对于带隙6-7, 见图4(c)，过小的半径比R1/R2不利于带隙产生，要获得最宽带隙6-7，最佳半径比一直随着填充率的增大而增大。对比图3和图4可知，半径比对带隙宽度的影响要比对带隙中心频率的影响大。

2.3相同填充率下带隙宽度对比

对比三个带隙在各填充率下获得最大带宽的半径比分布情况，可知带隙3-4和带隙5-6在各填充率下获得最宽带隙的半径比很相似，也就是说带隙3-4和带隙5-6可通过相同或相近的半径比获得某填充率下最宽带隙；而带隙6-7的最优半径比与前两个带隙差异较大，只有在较高填充率下与之接近，也就是说只有在较高填充率下才能同时获得接近最大宽度的三个带隙。

图4　复式类正方格子简约带隙宽度在各填充率下与半径比R 1/R 2之间的关系 Fig.4 Reduced width of the gap in complex square-like lattice between bands as a function of the filling fraction f and the radius ratio R 1/R 2

图5　半径比经过优化的复式类正方格子与正方格子在相同填充率下带隙宽度的对比 Fig.5 Comparison of the gap width of the complex square-like lattice with optimized R 1/R 2and the square lattice as a function of the filling fraction f

3结论

通过分析复式类正方格子的声子晶体薄板纵向振动带隙受填充率和不同位置散射体半径比变化的影响，在不同填充率下选取合适的半径比，可以得到比相同填充率下正方格子和Bathroom格子更宽的纵向振动带隙。同时发现，最宽带隙半径比受到正方格子带隙随填充率变化规律的影响。同样，带隙的位置也可以通过改变填充率和半径比的组合进行调整。这一研究结果可用于设计具有纵向振动带隙的声子晶体薄板。

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