基于奇异值能量谱的 Morlet 小波尺度优化

基于奇异值能量谱的Morlet小波尺度优化

耿宇斌 ，赵学智

(华南理工大学机械与汽车工程学院 ,广州510640)

摘要：针对尺度对Morlet小波变换结果具有决定性影响的问题，提出一种奇异值能量谱方法，实现Morlet小波尺度的优化并提取故障特征。首先采用Shannon熵的方法优化Morlet小波中心频率与带宽参数，针对Shannon熵计算结果中无明确极小值点的情况，通过比较不同参数下的小波变换结果，得到了最优小波参数。然后，根据实际频率与尺度的对应关系，选择有效尺度范围进行连续Morlet小波变换。最后，将每一尺度下的小波系数进行奇异值分解并计算奇异值能量谱，通过选择能量谱峰值来确定最优尺度参数，实现对故障特征的提取。对仿真信号和实际轴承信号的分析表明，此方法克服了以往方法的缺点，在低信噪比时具有良好的故障特征提取效果。

关键词：Morlet小波；Shannon熵；奇异值能量谱；特征提取

中图分类号:TH911;TH165文献标志码：A

Optimization of Morlet wavelet scale based on energy spectrum of singular values

GENGYu-bin,ZHAOXue-zhi(School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

Abstract:Aiming at the fact that the scale has a tremendous impact on results of Morlet wavelet transformation, a method based on energy spectrum of singular values was proposed to optimize Morlet wavelet scale and extract fault features. Firstly, Shannon entropy was used to optimize the central frequency and bandwidth parameter of Morlet wavelet. Aiming at the situation that there was no minimum value in calculation results of Shannon entropy, Morlet wavelet decomposition results with different parameters were compared to obtain the optimal wavelet parameters. Then, the effective scale ranges were chosen to do Morlet wavelet transformation according to the relationship between practical frequencies and wavelet scale parameters. Finally, the wavelet coefficients under each scale were decomposed into singular values and the energy spectrum of singular values was calculated. The optimal scale was obtained by choosing the peak values in energy spectrum, and then the faults feature were extracted. The experimental results and simulation ones of rolling bearing signals showed that the proposed method overcomes disadvantages of previous methods and has a good effect on fault feature extraction when the signal-to-noise ratio(SNR) is low.

Key words:Morlet wavelet; Shannon entropy; energy spectrum of singular value; feature extraction

根据小波变换的原理可知，小波变换系数反映了原始信号与小波基的相似程度，变换后的小波系数越大，其相似程度越高。Morlet小波是实部和虚部的幅值都按指数衰减的简谐振动信号[5]，能够与轴承故障信号的冲击特征实现较好的匹配；同时，Morlet小波作为非正交小波，由于其尺度连续变化，能够实现较高的时、频域分辨率[6-7]，因此在以上小波-SVD的两种结合方法中一般都是采用Morlet小波作为小波基。

本文在第二种方法的基础上，通过选用Morlet小波作为母小波，提出一种奇异值能量谱方法，用以提取淹没在噪声中的故障特征，克服了以往方法适应性不强和效果不佳的缺点[8]。

1Morlet小波变换原理

设x(t)为能量有限信号,其Morlet连续小波变换的表达式为：

x(t),ψa,b(t)

(1)

式中：W(a,b)为小波变换系数，a为尺度因子，a≠0；b为位移因子；“*”表示共轭；ψa,b(t)为基小波ψ(t)经过伸缩和平移形成的小波基函数。

Morlet小波的数学表达式如下：

(2)

这是一个复函数，工程应用是一般采用此小波的实部作为母小波，如下：

(3)

式中：fc为中心频率，fb为带宽参数，中心频率fc决定小波波形的振荡频率，带宽参数fb决定了波形振荡衰减的快慢程度。通过选取合适的fc与fb即可得到与故障信号相匹配的母小波。然后对信号进行连续小波变换，可得到一系列不同尺度下的Morlet变换结果W(a,b) ，组成系数矩阵W。本文的目标是优化尺度参数a，然后对得到的最优尺度下的小波系数进行重构，由此实现对故障特征的提取。

2基于Shannon熵的Morlet小波参数优化

2.1Shannon熵理论

Shannon熵[9-10]作为信息熵的一种，近几年广泛地应用于Morlet小波的参数优化中。Shannon熵的大小能够作为信息源随机性的评判标准，随机性越大，熵值越大。将连续小波变换后的系数矩阵作为信息源计算Shannon熵，其结果反映了小波系数矩阵的随机性程度[11-12]。Shannon熵的定义为：

(4)

式中：pi为一不确定的概率分布，由小波系数处理而成，可由下式得到：

(5)

式中：W(ai,b)为某一尺度下的小波变换系数。

2.2参数优化方法分析

文献[11]中用Shannon熵对带宽参数fb进行优化，在确定的fc下取一系列fb并计算对应熵值，取最小熵值对应的fb为优化结果。文献[12]对fc和fb同时进行优化，提出两个参数同时变化并使Shannon熵值最小，即可得到最优的小波参数。但我们发现，当对纯净的冲击信号应用最小Shannon熵理论时，能得到较好的效果；但当信号包含噪声时，由于受噪声的影响，Shannon熵变化曲线中可能不存在明确的极小值点，这时根据最小Shannon熵理论可能得不到最优小波参数。

下面以一模拟的冲击信号为例来说明这种情况，该模拟信号的数学表达式如下：

(6)

式中：阻尼系数g=0.1,固有频率f=1 000 Hz;在0～1 024点数据长度内均匀地产生6个这样的冲击，结果如图1所示。

图1　冲击信号波形 Fig.1 Time domain waveform of impact signal

对此信号进行基于Shannon熵的参数优化，取fb∈[0,100]，变化步长为1，取fc∈[0.1,1]，变化步长为0.05。计算结果如图2所示，Shannon熵最小值点对应的fc=0.6,fb=10，此时的小波变换结果具有非常好的时频聚集性，如图3所示。

图2　Shannon熵计算结果 Fig.2 Calculation result of Shannon entropy

图3　冲击信号的小波变换结果 Fig.3 Result of wavelet transform of impact signal

图4　含噪信号的时域波形 Fig.4 Time domain waveform of noisy signal

图5　含噪信号Shannon熵计算结果 Fig.5 Calculation result of Shannon entropy of noisy signal

接下来，对图1中所示的信号，加入正态分布的噪声，信噪比为-22.0 db，得到的信号如图4所示。对图4所示的含噪信号进行基于Shannon熵的Morlet小波参数优化，将Shannon熵的值与fc和fb的关系绘制于

图5中。可以发现，由于噪声的干扰，除起始点fc=0.1，fb=1外，在整个fc与fb变化范围中，没有明确的极小值点，且当fc≥0.6，fb≥30时，Shannon熵曲线的变化已趋于平稳。

根据文献[12]的方法，此时fc=0.1，fb=1应为最优小波参数，在该参数下进行连续Morlet小波变换，所得的小波系数如图6(a)所示。从图中可以看出，高幅能量块集中于冲击成分所处位置，但是高频和低频部分也出现了部分能量集中。同时取图5中Shannon熵最大时对应参数fc=0.3,fb=10以及过渡区间对应参数fc=0.6，fb=30进行连续小波变换，绘制变换结果于图6(b)、(c)中。三组不同系数下的小波变换结果对比可见，图6(a)中的系数有最好的时频聚集性,与最小Shannon熵理论一致，但也导致了部分噪声成分所处位置的能量聚集；图6(b)中虽然噪声被发散到整个相平面中，但冲击特征也受到了一定程度的发散；相对而言，图6(c)中所得的结果最为理想。因此本文在选取最优参数时，分别取Shannon熵处在最大、最小值以及过渡区间时的参数，并对连续Morlet小波变换的结果进行对比，得出最优小波参数。例如对于图4中的含噪信号，过渡区间对应的参数fc=0.6，fb=30 Hz为最优中心频率与带宽参数。

图6　不同参数下的小波变换结果 Fig.6 Morlet wavelet decomposition results with different parameters

3尺度参数优化

3.1尺度范围选取

当中心频率fc确定时，尺度参数a的范围就已经能够确定，因为由于fc与a有对应关系：

fi/fs=fc/a

(7)

式中，fi为信号实际频率，fs为采样率；根据采样定理，采样率要大于信号最大实际频率的2倍，当fc与a满足fc/a[0,0.5]，即a∈[2fc,+∞]时连续小波变换即可覆盖整个频率范围。

以往研究中通常选取尺度参数为一等差数列，这样只能得到正确的尺度-时间小波系数图，但是因为这时的频率间隔不为常数，无法将其转换为频率-时间小波系数图。但在实际信号处理过程中，频率-时间小波系数图能更好得与旋转机械状态联系在一起，直观的得出故障所处频段。因此为了使实际频率成等差数列，并正好覆盖整个有效频率范围，本文中令fc/a的取值范围为[0.005,0.5]、而步长为0.005的一系列数值，这样可以得到正确的频率-时间小波系数图。对于图4中的含噪信号采样率fs=1000，第二节中得出的最优中心频率fc=0.6，代入式(7)得到实际频率fi∈[5,500]，步长为5，对应的尺度范围a∈[1.2,120]。

3.2基于奇异值能量谱的尺度优化

奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是指对于一个实矩阵A∈Rm×n,必定存在正交矩阵U=[u1,u2,…,um]∈Rm×m和正交矩阵V=[v1,v2,…,vn]∈Rn×n,使得：

A=USVT

(8)

成立，其中S=[diag(σ1,σ2,…,σq),O]或者其转置，这取决于mn,O代表零矩阵，q=min(m,n),且有：σ1≥σ2，...，≥σq>O，它们称为矩阵A的奇异值[13]。

(9)

式中，1

(10)

计算得到奇异值能量值；④绘制奇异值能量谱，因为尺度步长不为定值，这里选取实际频率为横坐标，通过选择峰值所在位置得到故障特征所在频率，代入式(7)得到最优尺度参数。

对于图4中的含噪信号，上一节已优化得到最优中心频率和最优带宽参数，连续小波变换后的结果如图6(c)所示。对于图6(c)中的系数矩阵，按以上步骤得到奇异值能量谱，结果如图7所示。

图7　奇异值能量谱 Fig.7 Energy spectrum of singular value

从谱图上的极大值点可以判定故障特征可能存在的频率为15 Hz、45 Hz和150 Hz，对应的尺度参数分别为40、13和4，依次在这三个尺度下进行Morlet小波变换，将结果绘制于图8(a)、(b)、(c)中。对比图1、图4发现，图8(c)中的结果有效地提取出了淹没在噪声中的冲击性成分，重构波形十分清晰，因此确定最优小波尺度为4。

图8　冲击特征提取结果 Fig.8 Extraction result of impact feature

根据以上的分析，将文中的算法流程进行总结，如图9。

图9　文中算法流程图 Fig.9 Flowchart of the proposed algorithm

4轴承故障诊断实例

在BTV-1型轴承振动测量仪上对一个型号见6209的轴承进行振动测量，测量时外圈不动，径向加载40 N，内圈旋转速度为3 600 r/min,(即旋转频率为60 Hz)，采样频率为6 000 Hz，采样长度为1 024点，得到的振动信号如图10所示。

图10　轴承故障原始信号 Fig.10 The original signal of bearing fault

首先针对采集到的信号进行Morlet小波参数优化，取fb∈[0,100]，变化步长为1，取fc∈[0.1,1]，变化步长为0.05，计算得到Shannon熵与fc和fb的关系，结果如图11所示。从图11中可以看出Shannon熵计算结果中无明确的极小值，当fc大于0.8,fb大于30时便已趋于平稳。因此选取具有代表性的最大值，最小值及过渡区间值并对连续小波变换结果进行对比，发现fc=0.8,fb=30为最优中心频率与最优带宽参数。将此时的中心频率及采样率代入式(7)中得到尺度的取值范围为[1.6,160],并对原始信号进行连续小波变换，结果如图12所示。

图11　Shannon熵计算结果 Fig.11Calculation result of Shannon entropy

图12　连续小波变换结果 Fig.12 Result of continuous wavelet transform

图13　奇异值能量谱与奇异值比谱 Fig.13 Energy spectrum of singular value and periodicity of singular value

对已经得到的系数矩阵进行奇异值分解，并将得到的奇异值代入式(10)中进行计算，图13(a)为计算得到的奇异值能量谱；同时，采用文献[11]中的方法绘制奇异值比谱(SVR)，如图13(b)。

从图13(a)中可以发现两个峰值，分别位于60 Hz与1 530 Hz处，进一步对比可知60 Hz处为周期性成分所处位置，与通过转速计算得到的旋转频率相一致。冲击成分位于1 530 Hz处，将其代入式(7)中得到最优变换尺度a=3.14。对于图13(b)中的计算结果，可见此时奇异值比谱中存在较多峰值，其中最大峰值位于2 070Hz处，对应尺度为2.32。

利用本文方法得到的最优小波参数进行Morlet小波变换，有效地提取出了图12中的11个冲击，其结果如图14(a)所示。图14(b)为用文献[11]中奇异值比谱的方法所提取的故障特征，所提取的冲击特征并不明显。图14(c)为应用文献[12]中所提出的基于自适应Morlet小波与SVD的方法所得到的提取结果，对应尺度参数为a=3.97，相对于本文方法损失了部分的冲击分量。对比不同方法的滤波结果可以发现，本文方法的特征提取效果更好，得到的故障特征最为明显，更适用于冲击较弱时的故障特征提取。

根据轴承振动理论可知，当轴承内圈存在损伤时，冲击特征频率由式(11)计算：

(11)

式中，z为滚动体个数，d是滚动体直径，Db是轴承节径，α是接触角，fr为轴承转频。而轴承外圈存在损伤时，冲击特征频率由式(12)计算：

(12)

滚动体损伤时，冲击特征频率计算如下：

(13)

对于6209轴承，其参数z=10个，d=12 mm，D=65 mm,α=25°，根据这些数据，可以计算得到当轴承内圈存在损伤时，特征频率为fi=95.8 Hz；当轴承外圈存在损伤时，特征频率fo=68.3 Hz；当滚动体存在损伤时，特征频率fb=86.4 Hz。

图14　不同方法的故障特征提取结果 Fig.14 Fault feature extraction resluts based on different methods

针对本文所提取的冲击特征，即图14(a)，利用Hilbert变换对其该特征进行解调并计算其幅值谱，结果如图15所示，可见在67.1 Hz处存在一个幅值较大的频率成分，这与外圈损伤的特征频率68.3 Hz非常接近，因此可以认为67.1 Hz这一频率就是外圈损伤引起的。

图15　冲击特征的解调谱 Fig.15 Demodulation spectrum of Impact characteristics

5结论

(1)利用Shannon熵同时对Morlet小波中心频率与带宽参数进行优化，针对优化结果中无明确极小值点的情况，在最小Shannon熵理论的基础上，同时选择具有代表性的Shannon熵最大值及过渡值点，对比Morlet小波变换结果，选取系数矩阵中故障特征时频聚集性最好同时噪声能量发散时的小波参数为最优小波参数。

(2)分析了小波变换中实际频率与尺度参数的对应关系，得到有效的频率-时间小波系数图，根据实际频率的取值选择有效的尺度变化范围。

(3)提出一种奇异值能量谱算法，对Morlet小波变换结果中每一尺度下的系数构造Hankel矩阵并计算奇异值能量谱，通过选择峰值求取最优尺度。将信号在该尺度下进行Morlet小波变换，可提取到有效的故障特征。

(4)信号仿真与实际信号处理表明了本文方法的有效性与可行性。不同方法的对比结果表明，本文方法对弱故障特征具有更好的提取效果。最后通过Hilbert变换与轴承振动理论计算对比，确定了故障来源。

参考文献

[1]Selvan S,Ramakrishnan S.SVD-based modeling for image texture classification using wavelet transformationp[J].IEEE Transactions on Image Processing,2007,16(11):2688-2696.

[2]Xie H B,Zheng Y P,Guo J Y. Classification of the mechanomyogram signal using a wavelet packet transform and singular value decomposition for multifunction prosthesis control[J].Physiological Measurement,2009,30(5):441-457.

[3]赵学智，叶邦彦，陈统坚.基于小波-奇异值分解差分谱的弱故障特征提取方法[J].机械工程学报，2012,48(7):37-47.

ZHAO Xue-zhi,YE Bang-yan,CHEN Tong-jian.Extraction method of faint fault feature based on wavelet-SVD difference spectrum[J].Journal of Mechanical Engineering.2012,48(7):37-47.

[4]梁霖，徐光华，侯成刚.基于奇异值分解的连续小波消噪方法[J].西安交通大学学报，2004，38(9):904-908.

LIANG Lin,XU Guang-hua,HOU Cheng-gang.Continuous wavelet transform denoising method based on singular value decomposition[J].Journal of Xi’an Jiaotong University,2003,38(9):904-908.

[5]Jin L,Liangsheng Q U.Feature extraction based on Morlet wavelet and its application for mechanical fault diagnosis[J].Sound and Vibration,2000,234(1):135-148.

[6]滕军，朱焰煌，周峰，等．基于复Morlet小波变换的大跨空间结构模态参数识别研究[J]．振动与冲击，2009，28(8)：25-29．

TENG Jun，ZHU Yan-huang，ZHOU Feng．Modal parameters identification of large-span spatial structures based on complex morlet wavelet transform[J].Journal of Vibration and Shock, 2009,28(8):25-29.

[7]张永波，郭海燕，孟凡顺．基于小波变换的顶张力立管涡激振动规律实验研究[J]．振动与冲击，2011，30 (2):149-154．

ZHANG Yong-bo，GUO Hai-yan， MENG Fan-shun． Model tests for vortex-induced vibration of a top tension riser based on wavelet transformation [J]． Journal of Vibration and Shock，2011，30(2) : 149-154．

[8]孙鹏，丁幼亮，张劲泉，等.基于Morlet小波变换的结构密集模态参数识别[J].东南大学学报:自然科学版，2012,42(2):339-345.

SUN Peng,DING You-liang，ZHANG Jin-quan,et al.Modal identification of closely spaced modes based on Morlet wavelet transform[J].Journal of Southeast University:Natural Science Edition,2012,42(2):339-345.

[9]张强，吴庆鸣．小波变换与自助理论在模态参数辨识中的应用研究[J]．振动与冲击，2009，28(5)：131-136.

ZHANG Qiang, WU Qing-ming. Modal parameters identification based on wavelet transform and bootstrap theory[J]. Journal of Vibration and Shock，2009,28(5):131-136.

[10]崔玲丽，康晨晖，胥永刚，等． 滚动轴承早期冲击性故障特征提取的综合算法研究[J]． 仪器仪表学报，2010，31(11): 2422-2427．

CUI Ling-li，KANG Chen-hui，XU Yong-gang，et al． Integrated algorithm research on early impactive fault feature extraction of rolling bearings[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2010,31(11) : 2422-2427．

[11]张锐戈，谭永红.基于最优 Morlet 小波和隐马尔可夫模型的轴承故障诊断[J].振动与冲击，2012,31(12):5-8.

ZHANG Rui-ge, TAN Yong-hong.Fault diagnosis of rolling element bearings based on optimal Morlet wavelet and hidden markov model[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(12):5-8.

[12]蒋永华，汤宝平，董绍江.自适应Morlet小波降噪方法及在轴承故障特征提取中的应用[J].仪器仪表学报，2010,31(12):2712-2717.

JIANG Yong-hua,TANG Bao-ping,DONG Shao-jiang.Denoising method based on adaptive Morlet wavelet and its application in rolling bearing fault feature extration[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2010,31(12):2712-2717.

[13]李国宾，关德林，李廷举．基于小波包变换和奇异值分解的柴油机振动信号特征提取研究[J]． 振动与冲击，2011，30(8):149-152．

LI Guo-bin，GUAN De-lin，LI Ting-ju．Feature extraction of diesel engine vibration signal based on wavelet packet transform and singularity value decomposition[J]． Journal of Vibration and Shock，2011，30 (8) : 149-152．

[14]张波，李健君．基于 Hankel 矩阵与奇异值分解(SVD)的滤波方法以及在飞机颤振试验数据预处理中的应用[J]．振动与冲击，2009，28(2): 162-167．

ZHANG Bo,LI Jian-jun.Denoising method based on Hankel matrix and SVD and its application in flight flutter testing data preprocessing[J].Journal of Vibration and Shock ,2009,28(2):162-167.

[15]徐锋，刘云飞． 基于中值滤波-SVD 和 EMD 的声发射信号特征提取[J]． 仪器仪表学报，2011，32 (12) : 2712-2719．

XU Feng，LIU Yun-fei．Feature extraction of acoustic emission signals based on median filter-SVD and EMD[J]．Chinese Journal of Scientific Instrument，2011，32 (12) :2712-2719．