EQ—代数上模糊集的相关性质

段喆杰

摘要：EQ-代数是一种重要的逻辑代数，它与剩余格有密切的关系，但也存在本质的差别，研究EQ-代数对经典逻辑和模糊逻辑有重要意义。继Vilem Nover 提出了EQ-代数并在EQ-代数中引入滤子后，许多学者针对EQ-代数中滤子理论，做了大量的工作。本文以EQ-代数为研究对象，为主要工具，以水平截集为桥梁，在EQ-代数和模糊集的基础上，引入了EQ-代数模滤子的定义，讨论了EQ-代数模糊滤子的相关性质。

关键词：EQ-代数 模糊集 模糊准滤子

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）01（c）-0000-00

美国控制专家Zadeh，在1965年发表了论文《Fuzzy sets》，标志着模糊数学这门学科的诞生。自从Zadeh在他的论文Fuzzy sets中提出了模糊集的概念后，吸引了一大批科学家的注意力。1971年，Rosenfeld引入模糊子群，标志着模糊代数研究的开始.Das用水平子群来刻画模糊子群。

1 EQ-代数的相关定义

定义1.1 一个 型代数 ，如果满足：

（1） 是一个 半格且有最大元1，如果 ，记 ；（2） ；

（3） 是一个有单位元1的半群且 保序； （4） ：

（5） ；（6） ；（7） ；

则称 是一个EQ-代数。

注：運算 是一个取下确界的运算， 被称为积和～被称为一个模糊等式.显然， 是偏序关系且对任意的 ，我们定义 ， 。

定义1.2设 是一个可分的EQ-代数， ，如果对任意的 ，

（ⅰ） ； （ⅱ） 如果对 ， ，则 .则 就称为 的准滤子。

如果对任意的 且 有 和 ，则准滤子被称滤子。

2 可分EQ-代数的模糊准滤子的概念及性质

定义2.1设 为一个可分的EQ-代数， 为 上的模糊子集，如果

（1） ，对任意的 ；（2） ，对 ，

则称 是 的模糊准滤子.如果对任意的 ，有 和 ，则模糊准滤子称模糊滤子.

定理2.2 设 为可分的EQ-代数 上的模糊准滤子，对任意的 ，如果 ，则有 .

证明：设 且 ，由定理1.1知 ，所以 .证毕.

为了讨论可分EQ-代数 上模糊准滤子和准滤子的关系，我们给出模糊集的水平截集的概念.设 为一个可分EQ-代数， 为 上的一个模糊子集.对 ，定义 ，称 为 的一个模糊水平截集.

定理2.3 为可分的EQ-代数 上的一个模糊准滤子的充要条件是对任意 且 ，则 为准滤子.

证明：必要性.设 是一个模糊准滤子，且对 。则 ，使 .由定义2.1知 ，所以 .如果 ，则 ，再由定义2.1知A（ ，所以 .由准滤子定义知 为准滤子.

充分性.设对任意 且 有 为准滤子.对任意 ，令 .则 .由题设条件， 是 的准滤子.由准滤子定义知1 ，故 .设 ， ，令 ，则 ， .故 为 的一个准滤子.由准滤子定义 .所以 .证毕.

3 结论

本文用EQ-代数系统模糊化方法和模糊集水平截集方法把EQ-代数上的前滤子模糊化，并且得到EQ-代数上模糊前滤子和前滤子的关系。通过这种模糊化方法可以有效简化代数结构的复杂性。

参考文献

[1] Zadeh LA.Fuzzy sets[J].Information and Control.1965.8：338–353.

[2] Pawlak Z..Rough sets[J].Int. J. Computer and Information Sciences.1982.11：341- 356.

[3] Gasse B.V.，et al.Filters of residuated lattices and triangle algebras[J].Information Sciences.2010，16：3006–3020.

[4] Xi O..Fuzzy BCK-algebras [J].Math .Japon .1991，36：935–942.