两节点直杆索单元有限元法综述

杨佩　尤国强

摘要：两节点直杆索单元模型是常用的非线性索单元模型之一，该文将其作为计算索网结构的单元模型，介绍了使用索网结构几何非线性有限元法推导两节点直杆索单元切线刚度矩阵的方法，以期有助于索网结构分析计算的顺利进行。

关键词：两节点直杆索单元；索网结构；非线性有限元法；单元切线刚度矩阵

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）19-0036-02

两节点直杆索单元模型适用于大预应力、小垂度索网结构的力学性能计算。对于该类索网结构而言，将索网结构中的索段离散为两节点直杆索单元来进行计算完全可以满足工程需要。为了得到两节点直杆索单元的切线刚度矩阵，需要采用几何非线性有限元法来进行推导。本文对这一推导过程进行了详细综述。

1几何非线性情况下的Lagrangian应变

在几何非线性情况下，可以用Lagrangian轴向应变几何方程来定义应变和索单元变形前后长度的关系：

由此可知，几何非线性结构中应变与位移的非线性关系主要体现在上式右边的二次项部分。

再对式（4）变分，可得：

2物理关系

由于假定索单元始终处于弹性工作状态，且力学特性符合虎克定律，因此其应力一应变关系应满足：

σ=Eε+σ₀ （10）

式中，σ为索单元的轴向应力，E为索材料的弹性模量，ε为索单元的轴向应变，σ₀为索单元的初始轴向应力。将式（4）代入上式，有

3单元的切线刚度矩阵

根据虚功原理可建立单元平衡方程为：

为求解非线性平衡方程（12），则需要得到单元的切线刚度矩阵[K_T]_e。而[K_T]_e可由下式确定：

式中，A为索单元截面积，L为索单元长度，E为索材料弹性模量，σ₀为索单元内的初始应力，矩阵[C]的具体表达式见式（4），{U^（i）_e}为索单元节点的位移列阵，{X^（i）_e}为索单元节点的整体坐标列阵。

对于整体结构而言，它的切线刚度矩阵是其每个单元切线刚度矩阵的集成：

由此，通过非线性有限元法得到了两节点直杆索单元的切线刚度矩阵。对于索网结构而言，通过该单元切线刚度矩阵可以集成得到整体结构的总刚度阵，从而进一步完成结构的动、静力分析计算。