Boussinesq方程的适定性
2016-01-12谢鸣凤
Boussinesq方程的适定性
谢鸣凤
(南京航空航天大学 理学院数学系,南京 211106)
摘要:确立了在Besov-Morrey空间框架下的非粘性布西涅斯克方程的局部时间的解的存在性,此处一类Besov-type函数空间建立在Morrey空间而不是普通的Lp空间.
关键词:Besov-Morrey空间;非粘性布西涅斯克方程;解的存在性
中图分类号:O175.29文献标志码:A
文章编号:1008-5564(2015)03-0015-05
收稿日期:2015-02-09
基金项目:国家自然科学
作者简介:杨森林(1979—),男,陕西汉中人,西安文理学院机械与材料工程学院讲师,博士,主要从事图像处理、视频等研究;
Well-posednessfortheBoussinesqEquations
XIEMing-feng
(DepartmentofMathematics,SchoolofScience,NanjingUniversityof
AeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)
Abstract:In this paper, the existence of the local time solution of non-viscous Boussinesq equation was established within the Besov-Morrey space frame, and the space that a class of Besov-type functions being built is the Morrey space instead of the ordinary LP space.
Keywords:Besov-Morreyspaces;non-viscousBoussinesqequations;existenceofsolution
Besov-Morrey空间[1]是一个具有研究价值的空间.Morrey空间[2]中的非粘性布西涅斯克方程中解的存在性很值得我们研究,此处考虑非粘性布西涅斯克方程,本文我们考虑的模型如下:
(1.1)
1主要结论
定理1设1
接下来,给出本文的主要引理:
引理1[3]对s>0,1qp<,1r,则这里存在一个常数C使得
‖2sj‖[v·,‖lrC(‖v‖L‖‖‖
引理2[3]对s>0,1qp<,1r,则这里存在一个常数C使得
‖2js‖[v·,‖lrC(‖v‖L‖‖‖
2定理证明
2.1先验估计
(2.1)
此处
定义映射如下:
(2.2)
有
则
(2.3)
此时可推得
(2.4)
(2.5)
(2.6)
接下来对压强进行估计.对(1.1)进行散度估计,在divu=0的帮助下,我们得到
-ΔP=div((u·)u)-divθen,
并推出
∂i∂jP=RiRjdiv(u·)u-RiRjdivθen.
由文献[4]可以得到
(2.7)
综上可有
(2.8)
而
(2.9)
由(2.8)加上(2.9)并应用Gronwall不等式可得
(2.10)
2.2(1.1)的线性等式
(2.11)
对于(2.11)的可解性,我们得到以下结论
定理2设divv=0,v∈L对p<,r∈[1,]p<,r=1.则有对任何和divu0=0,对于(2.11),我们则有唯一的解).而且P可以被唯一确定.
2.3近似解和一致估计
首先,我们设(u0,θ0)=(0,0).我们定义(um+1,θm+1)是下列方程的近似解
(2.12)
其中m=0,1,2,….如果我们有序列(um,θm)满足定理2.1,则(2.12)有解(um+1,θm+1).
类似于先验估计,我们定义映射:
(2.13)
则我们可以得到估计如下
(2.14)
其中算子被估计如下
(2.15)
(2.16)
压强估计为
(2.17)
将(2.14)~(2.17)相加可得
(2.18)
类似于(2.9)可得
(2.19)
由(2.18)(2.19)并应用Gronwall不等式可得
(2.20)
当m=0结论为真,当m>0时如果我们选择T1>0 (T1与m有关)非常小以至于exp(C(1+C1)T)2.由(2.20)可以推出
(2.21)
2.4收敛性与存在性
(2.22)
此处Πm+1:=Pm+1-Pm
(2.23)
其中
(2.24)
(2.25)
I3‖‖.
(2.26)
I4‖‖
(2.27)
I5‖‖.
(2.28)
(2.29)
综合(2.24)~(2.29)可得
(2.30)
另一方面
(2.31)
合并(2.30)-(2.31)并根据2.3可得
(2.32)
如果选择T2∈(0,T1]足够小并满足C(1+C1)T21/2和CC1T21/4,我们可以得到
(2.33)
这可以导致
(2.34)
2.5线性方程的解
为了完成局部存在性的部分,我们看到(2.11)的解是等价于以下系统的
(2.35)
我们可以近似得到[6]
(2.36)
而
(2.37)
应用Growall不等式可得
(2.38)
因此,考虑(2.38)的先验估计,并通过(2.36)的近似解{(um+1,θm+1)},(2.35)中解的存在性和唯一性可以得到.
2.6唯一性
假设(u1,θ1),(u2,θ2)有相同的初始条件并都是(1.1)的解,设U=u1-u2,Θ=θ1-θ2,
我们可以得
其中Π=p1-p2.
类似于柯西序列的证明,我们得到
(2.39)
由2.1~2.6,定理1得证.
[参考文献]
[1]KOZOHO H,YAMAZAKI M.Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equations with distributions in new funtion spaces as initial data[EB/OL], extit{Comm.PDE},{f{19}}(1994)959-1014.
[2]TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space,preprint[EB/OL]. extit{http:∥www.math.pku.edu.cn:8000/var/preprint/572.pdf}.
[3]XU J,TAN Y F.On the well-posedness of the quasi-geostrophic equations in the Besov-Morrey spaces[J].Nonlinear Anal.TMA,2013,92:60-71.
[4]TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space,preprint[EB/OL]. extit{http:∥www.math.pku.edu.cn:8000/var/preprint/572.pdf}.
[5]LIU X,WANG M,ZHANG Z.Local well-posedness and blow-up criterion of the boussinesq equations in critical Besov spaces[EB/OL]. extit{J.Math.Fluid Mech.} {f{12}}(2010)280-292.
[6]MAZZUCATO A.Besov-Morrey spaces:function spaces theory and applications to non-linear PDE[EB/OL]. extit{Trans.AMS},{f{355}}(2002)1297-1364.
[责任编辑王新奇]
Vol.18No.3Jul.2015
崇鑫(1981—),女,陕西西安人,艾默生网络能源(西安)有限公司工程师,硕士,主要从事电力电子、控制算法、计算机等研究;
赵小侠(1970—),女,河南济源人,西安文理学院机械与材料工程学院副教授,博士,主要从事激光、光学成像等研究.