微波谐振腔运动时电磁场的能量和动量∗

(中国地质大学(武汉)数学与物理学院,湖北武汉430074)

0 引言

微波是一些机载[1-2]和星载[3-4]电子设备的主要工作电磁波段。在微波范围,通常采用谐振腔产生高频电磁振荡。在微波电路中,谐振腔也常用作滤波器、频率计和调谐放大器等。依据电磁场的相对论变换,文献[5]计算了电容器和螺绕环等电子部件运动时电磁场的能量和动量,结果出乎意料,从而引发了作者对微波谐振腔运动时的电磁场的关注。本文沿用文献[5-6]的相关思路,计算了微波矩形谐振腔匀速运动时电磁场的能量和动量,以期未来进一步探讨微波谐振腔在较高速度下的状态及其对电路稳定性的影响。

1 波模(0,n,p)的电磁场

不妨设谐振腔运动方向为x方向。在矩形谐振腔上建立惯性参考系Σ′,矩形谐振腔的6个面为腔内的电场的全实数表达形式为

腔内对应的磁场可由麦克斯韦方程或亥姆霍兹方程求得。

考虑简单的谐振波模(0,n,p),即

此种波模下电场方向平行于谐振腔运动方向。谐振腔内总的电场能量对时间(一个周期)的平均值为

上述积分运算中利用了三角函数的半角公式和周期性,即充分利用了诸如之类的等式,使得积分运算非常简单而可行。

谐振腔内总的磁场能量对时间(一个周期)的平均值为

即整个谐振腔内的总电场能量和总磁场能量对时间(一个周期)的平均值总相等[7]。考虑电场和磁 场 的 时 间 因 子 分 别 为 cosω′t′和 cos(ω′t′+π/2),虽然电场能量和磁场能量随时间反相变化,但在任何时刻电场能量和磁场能量之和保持不变。因此在Σ′系,在整个静止的谐振腔内的总电磁场能量(电场能量和磁场能量之和)为

设谐振腔在惯性参考系Σ中以速度v沿x的正方向匀速运动,即Σ′系相对Σ系以速度v沿x的正方向匀速运动。在Σ系中,谐振腔的面为x=vt,依据电磁场的相对论变换[7-8],在Σ系中电磁场表现为以V表示Σ系中电磁场分布空间(下同)。在Σ′系中,谐振腔中各处的电(磁)场同步作简谐振动,但在Σ系中观察,严格来讲,微波谐振腔中各处的电(磁)场不再同步振动,但是由于谐振腔的尺寸较小,由谐振腔尺寸引起的电(磁)场振动的相对论时间差T为微波的振动周期)可忽略不计,即在Σ系中观察谐振腔中各处的电(磁)场仍同步振动。

由此可得在Σ系中电磁场的各个分量表示为

该电磁场最后一个分量B x=0。

下面计算电磁场的各个分量对能量的贡献:

同前面一样,上述积分运算中也是利用了三角函数的半角公式和周期性。

在Σ系中,在一个周期内整个运动的谐振腔内的总电磁场能量(电场能量和磁场能量之和)平均值为

在Σ系中电磁场动量密度gEM=ε0E×B的各个直角分量表示为g x=ε0(E y B z-E z B y),g y=ε0(E z B x-E x B z),g z=ε0(E x B y-E y B x)。

下面计算电磁场的各种分量对动量的贡献:

易知,P y=P z=0。即此种情况下谐振腔内一个周期电磁场的平均总动量为

以上计算结果可类比于运动粒子的相对论能量与动量[8]。

2 波模(m,n,0)的电磁场

有了上面的计算方法和经验,下面继续考虑在Σ′系谐振腔内另一简单的谐振波模(m,n,0)的电磁场,即

此种波模下电场方向垂直于谐振腔的运动方向。同样,设在Σ′系整个静止的谐振腔内的总电磁场能量(电场能量和磁场能量之和)为W0,则有

该电磁场其余3个分量E x=E y=B z=0。

下面首先计算该波模的电磁场的能量。同理于前面的公式推导,有

于是,此种波模的电磁场的一个周期平均总能量为

下面再计算此种情况下电磁场的动量。首先,

其次易知,相应的该电磁场动量密度其余(如ε0E y B z等5个)分量在一个周期内的平均值均为零。由此可得,此种情况下谐振腔内一个周期电磁场的平均总动量为

以上计算结果说明,和运动粒子的相对论能量与动量[8]相比,此种情况下电磁场的能量与动量具有一定的特殊性。

3 结束语

前面分别计算了矩形谐振腔运动时腔内两种简单的谐振波模(0,n,p)和(m,n,0)的电磁场的能量和动量。这两种波模的电磁场在一个周期内的平均能量和动量随运动速度不同步增加,差别很大。谐振腔及其周边的电子元件一起构成电压回路或电流通路。如果谐振腔工作在高速运动的载体(如飞机或卫星)上,当载体的速率或方向急剧变化(如急转弯)时,这两种波模在其周边的电路中激发的相应电流或电压扰动应该是不同的。这种扰动的强度有待进行定量计算。由此可以预见,(m≠0,n≠0,p≠0)的情况会更加复杂,这也有待进一步深入研究。

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