给分式方程应用题归归类

王康康

学习了分式方程的有关内容，同学们还必须得熟练运用分式方程解决实际生活中的问题.常见的实际问题有营销类应用性问题、工程类应用性问题、行程类应用性问题等几大类，这些题目看似复杂，但只要抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，正确列出方程，再进行求解即可.不过同学们一定要注意的是，得出方程的解后，一要检验所求的解是否是原方程的解，二要检验所求的解是否符合题意，三要注意检验和解释结果的合理性.

一、营销类应用性问题

例1 某校办工厂将总价值为2 000元的甲种原料与总价值为4 800元的乙种原料混合后，其单价比原甲种原料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问：混合后的原料每斤是多少元？

分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，这类问题中与价格有关的量是单价、总价、平均价等，要了解它们各自的意义，从而建立它们之间的关系式.

解：设混合后的原料单价为每斤 [x]元，则原甲种原料的单价为每斤（[x]+3）元，原乙种原料的单价为每斤（[x]-1）元，混合后的总价值为（2 000+4 800）元， 混合后的重量为[2 000+4 800x]斤，甲种原料的重量为[2 000x+3]斤，乙种原料的重量为[4 800x-1]斤， 依题意，得

[2 000x+3]+[4 800x-1]=[4 800+2 000x]

解得

[x]=17

经检验，[x]=17是原方程的根.

所以[x]=17. 即混合后的原料每斤 17元.

总结：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们各自表述的意义有所了解.同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式.这类问题与现实生活息息相关，因而成为中考常考的热点问题.

【练习1】

A、B两名采购员去同一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化.两名采购员的购货方式不同，其中采购员A每次购买1 000千克，采购员B每次用去800元而不管购买饲料多少，问：谁的购货方式合算？为什么？

二、工程类应用性问题

例2 某工程由甲，乙两队合做6天完成，厂家需付甲，乙两队共8 700元；乙，丙两队合做10天完成，厂家需付乙，丙两队共9 500元；甲，丙两队合做5天完成全部工程的[23]，厂家需付甲，丙两队共5 500元.

（1）求：甲，乙，丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.

分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量.对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设甲，乙，丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列出分式方程组.

解：（1）设甲队单独做需x天，乙队单独做需y天，丙队单独做需z天，依题意，得

[ 6（[1x+1y]）=1

10（[1y]+[1z]）=1

5（[1x]+[1z]）=[23] ]

[解得x=10y=15z=30]

经检验，[x]=10，[y]=15，[z]=30是原方程组的解.

（2）设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得

[6（a+b）=8 70010（b+c）=9 5005（c+a）=5 500 ]

[解得a=800b=650c=300]

由（1）可知完成此工程不超过既定工期只有两个队：甲队和乙队.

此工程由甲队单独完成需花费10a=8 000元；此工程由乙队单独完成需花费15b=9 750元.

所以，由甲队单独完成此工程花钱最少.

技巧点拨：在（1）的求解时，把[1x]，[1y]，[1z]分别看成一个整体，可把分式方程组转化为整式方程组来解.

【练习2】

某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期3天才能完成.现由甲、乙两队合做2天，剩下的工程由乙队独做，恰好在规定日期内完成，问：规定的日期是多少天？

【练习3】

今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据由两位教师分别向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问：这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

三、浓度应用性问题

例3 有含盐15%的盐水40千克，要使盐水含盐20%，还需要加入多少千克盐？

分析：浓度问题的基本关系是[溶质溶液=浓度].此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：

[＼&溶液＼&溶质＼&浓度＼&加盐前＼&40＼&40×15%＼&15%＼&加盐后＼&40+[x]＼&40×15%+[x]＼&20%＼&]

解：设还需要加入[x]千克盐.根据浓度问题的基本关系可列方程

[40×15%+x40+x=20%]

解得

[x]=2.5

经检验，[x]=2.5是方程的解，即再加入2.5千克盐，盐水的含盐量就能达到20%.

【练习4】

甲容器有浓度为20%的盐水40L，乙容器有浓度为25%的盐水30L，如果往两个容器中加入了等量的水后，它们的浓度相等，那么应加入多少升水？

四、货物运输应用性问题

例4 一批货物准备运往某地，有甲，乙，丙三辆卡车可雇用.已知甲，乙，丙三辆车每次运货量不变，且甲，乙两车每次运货物的吨数为1∶3，若甲，丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨；若乙，丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨.这批货物共有多少吨？

分析：货物总吨数和三种车每种车可运吨数均为未知数，但可根据所用次数得到等量关系

[120甲车每次运货吨数=剩余货物吨数丙车每次运货吨数；]

[180乙车每次运货吨数=剩余货物吨数丙车每次运货吨数.]

这两个式子可整理成仅含货物总吨数这一未知数的方程，求解即可.

解：设货物的总吨数为[x]吨，甲车每次运a吨，乙车每次运3a吨，丙车每次运b吨.根据题意可得

[120a=x-120b ①1803a=x-180b ②]

解得

[x]=240

经检验，[x]=240是方程的解，即这批货物共有240吨.

【练习5】

五、行程中的应用性问题