非线性基线长约束条件线性化近似对模糊度解算的影响
2016-01-07聂志喜王振杰欧吉坤姬生月
聂志喜，王振杰，欧吉坤，姬生月
1. 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院, 山东 青岛 266580; 2. 中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室, 湖北 武汉 430077
On the Effect of Linearization and Approximation of Nonlinear Baseline Length Constraint for Ambiguity Resolution
NIE Zhixi1,WANG Zhenjie1,OU Jikun2,JI Shengyue1
1. School of Geosciences， China University of Petroleum， Qingdao 266580， China; 2. State Key Laboratory of Geodesy and Earth’s Dynamics,Institute of Geodesy & Geophysics of CAS， Wuhan 430077， China
Foundation support： The National Natural Science Foundation of China(Nos.41174015;41231064;41374008);The Fundamental Research Funds for the Central Universities(No.14CX06073A)
非线性基线长约束条件线性化近似对模糊度解算的影响
聂志喜1，王振杰1，欧吉坤2，姬生月1
1. 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院, 山东 青岛 266580; 2. 中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室, 湖北 武汉 430077
OntheEffectofLinearizationandApproximationofNonlinearBaselineLengthConstraintforAmbiguityResolution
NIEZhixi1,WANG Zhenjie1,OU Jikun2,JI Shengyue1
1.SchoolofGeosciences，ChinaUniversityofPetroleum，Qingdao266580，China; 2.StateKeyLaboratoryofGeodesyandEarth’sDynamics,InstituteofGeodesy&GeophysicsofCAS，Wuhan430077，China
Foundationsupport：TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(Nos.41174015;41231064;41374008);TheFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(No.14CX06073A)
摘要：GNSS动态相对定位中常附加非线性的基线长约束进行解算，而LAMBDA方法只能处理无约束或者线性约束的模型，为了应用LAMBDA方法，应对非线性约束条件进行线性化近似。通常附加该约束后，模糊度固定成功率会提高，但对于超短基线有时反而会降低。何种条件下附加线性化近似的基线长约束条件可以提高模糊度固定成功率尚未有定论。本文基于附加基线长约束的GNSS相对定位数学模型，推导基线长约束条件线性化近似余项对浮点解的最大影响值公式，给出基线长约束能否线性化近似的诊断条件。当该条件满足时，线性化近似余项影响可以忽略，附加线性化近似的基线长约束可以改善浮点解解算精度，提高模糊度固定成功率；若不满足，则线性化近似余项影响可能不可以忽略，附加约束会因浮点解有偏不能固定为正确的模糊度，并通过算例验证了相关结论。
关键词：动态相对定位;基线长约束;线性化近似;余项影响;诊断条件
GNSS动态相对定位应用越来越广泛，典型的领域有姿态测量[1-4]、卫星编队飞行[5-7]、变形监测[8-9]等。对于动态相对定位，特别是单历元的动态相对定位，由于模型误差大、观测信息少以及观测质量差之类的原因，单纯利用GNSS观测数据难以固定整周模糊度。国内外研究者常通过附加约束条件或者额外的观测量(本文中统称为约束条件)来辅助定位，基线长是常用的约束条件[1-4，10-11]。
LAMBDA方法只能处理无约束或者线性约束的模型，而基线长是非线性约束条件，为了应用传统的LAMBDA方法进行解算，必须将非线性约束条件进行线性化近似。文献[10]将基线长约束条件线性化近似后参与模糊度浮点解的解算，同时在模糊度固定解的搜索中也将基线长作为检核条件。文献[12]在浮点解的解算中也引入了基线长线性化的约束方程，并认为对坐标的约束可以提高浮点解的精度，而对模糊度的约束可以缩小模糊度搜索空间。文献[2]发现若将基线长约束直接线性化近似参与解算，由于基线长约束条件存在固有曲率问题，只有较长的基线长约束才能提高模糊度固定成功率的效果，而且指出当GNSS伪距观测值精度提高时，基线长的限制可以更短，但文中没有给出具体的理论说明。在实践中，笔者发现有时将基线长条件线性化以后参与解算，固定模糊度成功率反而不如不加约束。原因何在？何时附加线性化的基线长约束有利于解算模糊度？本文将围绕这些问题展开探讨，首先从附加基线长约束的GNSS相对定位数学模型出发，推导了基线长约束条件线性化近似余项对浮点解的最大影响值公式，据此给出了一个基线长约束条件能否线性化近似的诊断条件，然后用算例验证了本文提出的相关结论。
1数学模型及其解算
1.1数学模型
GPS双差误差方程[13]
(1)
式中，VP、VL分别为码伪距和相位伪距双差观测方程误差向量；dX∈R为基线分量改正数向量；N∈Z为双差模糊度向量；A1、BL为对应的系数矩阵；LP、LL分别为码伪距和相位伪距双差观测向量。
V=AdX+BN-L,P
(2)
设基线长约束条件的方程为
(3)
式(2)和式(3)构成了基线长约束条件下GNSS相对定位的数学模型。
1.2模型解算
(4)
余项表达式如下
(5)
vx=CdX-Lxpx
(6)
(7)
在如下准则下解算
(8)
对式(8)进行正交分解[14]
(9)
(10)
(11)
式(1)中相位双差观测方程消除参数N的等价方程为[19]
UL=A2dX-LLPL
(12)
A2可由式(13)计算
(13)
式(12)和(13)中，E为单位矩阵；UL为新的残差向量，且与式(1)中的VL有相同特性。
V′=A′dX-LP
(14)
综合式(6)、式(14)，可得附加约束条件的基线改正数浮点解
(15)
式中
(16)
代入原始相位双差观测方程，可得到双差模糊度的浮点解
(17)
(18)
单位权中误差计算式如下
(19)
r为数学模型式(7)的自由度。
估计参数协方差阵为
(20)
2余项影响及诊断条件
令
(21)
R2为式(5)所表示的余项，将式(21)代入式(3)、式(4)，并顾及估计准则，可得到考虑余项的基线浮点解
(22)
约束条件方程线性化近似得到的基线浮点解是有偏的，偏差即基线浮点解的余项影响为
(23)
结合式(1)的相位伪距双差观测方程，可知双差模糊度浮点解的余项影响
(24)
令
(25)
(26)
(27)
根据瑞利商的性质[20]可知
r≤λmax
(28)
式中，λmax为H的最大特征值。
结合式(5)，可得
(29)
(30)
令
(31)
G满足
(32)
则
(33)
再利用瑞利商的性质，可得到
(34)
从式(31)可知，Y为以0向量为均值，单位阵为协方差阵的随机量，因此YTY是以3为自由度的卡方分布[21]，取置信水平为1-α，有
(35)
在余项影响可以忽略的前提下，余项满足下式
(36)
则基线浮点解最大余项影响(maxinfluenceofbaseline’sfloatsolution，MIB)为
(37)
双差模糊度浮点解最大余项影响(maxinfluenceofdouble-differenceambiguity’sfloatsolution，MIA)为
MN=
(38)
上式表明最大余项影响不仅与基线长、基线的方向有关，而且受GNSS观测结构和精度影响。
下面讨论什么情况下根据模糊度浮点解来固定模糊度时不受余项影响，假定采用降相关处理(Z变换)的LAMBDA方法[15-18]来固定整周模糊度，令T=ZTMN，若T中每个元素的绝对值都小于0.1周，余项影响对模糊度取整一般就不会造成偏差，故可取诊断条件
(39)
(40)
3算例分析
3.1较长基线算例
基线GP01—GP02，长约1200m，采样率为5s，截取2013-5-11 2∶21∶50至2013-5-11 2∶51∶45(GPS时间)的观测数据，该时间段内G12、G14、G18、G22、G24、G25、G31一直可见，相位观测值也没有发生周跳。选取G22(高度角最大)为参考星，利用静态解算得到的基线长1226.009m，L1上的双差模糊度依次为6、1、-2、-4、11、-49，L2上的双差模糊度依次为6、3、0、-4、11、44。以静态解算得到的基线长为约束条件，码伪距观测值、相位伪距观测值、基线长约束的先验精度分别取3dm、3mm和3mm，根据初始值计算的双差模糊度最大余项影响随历元变化见图1，由图可知双差模糊度最大余项影响都小于0.01周；诊断值随历元变化见图2，显然均满足诊断条件。
设计两种浮点解解算方案。
方案1：单纯利用GPS双频双码观测值解算。
方案2：利用GPS双频双码观测值附加基线长约束。
两种方案都采用LAMBDA方法固定模糊度，固定正确率分别为96.3%、100.0%，可见如果满足诊断条件，余项影响就可以忽略，将基线长约束条件线性化近似参与浮点解解算可以改善浮点解解算的精度，提高模糊度固定的成功率。
图1 GP01—GP02双差模糊度最大余项影响历元变化曲线Fig.1 The change of GP01—GP02’s MIAs over epoch
图2 GP01—GP02余项影响诊断值历元变化曲线Fig.2 The change of GP01—GP02’s TEVs over epoch
3.2超短基线算例
实测基线P391-P416，长约4.5m，采样率为5s，时间段(GPS时)：2013-3-11 7:22:40至2013-3-11 7:52:35，该时间段内可见卫星一直有G12、G14、G18、G22、G25、G31，没有发生周跳。选取G14为参考星，利用静态解算得到的基线长4.488m，L1上的双差模糊度依次为1、-1、0、1、15，L2上的双差模糊度依次为-8、-9、-5、0、15。同样以基线长为约束条件，观测值和基线长约束的先验精度与前面一样，双差模糊度最大余项影响随历元变化见图3，大致在周的量级，诊断值随历元变化见图4，显然都不满足诊断条件。
图3 P391—P416双差模糊度最大余项影响历元变化曲线Fig.3 The change of P391—P416 MIAs over epoch
图4 P391—P416余项影响诊断值历元变化曲线Fig.4 The change of P391—P416 TEVs over epoch
采用与算例1相同的两种浮点解解算方案，模糊度固定正确率分别为100.0%、39.9%。如果诊断条件不满足时，余项影响可能会比较大，不能忽略，将基线长约束条件线性化近似参与浮点解解算会因为浮点解有偏而不能固定为正确模糊度。
3.3基线长与诊断值的关系
为了认识双差模糊度最大余项影响及诊断值随基线长单一因素的变化情况，利用GP01—GP02第1个历元的数据算出式(38)右边除λmax之外的其他参数，固定参考站至定位站的方向(也即C，C实际上是参考站至定位站的单位向量，该处理旨在可以利用前面计算的参数)，用不同基线长度算出的双差模糊度最大余项影响及余项影响诊断值变化情况分别见图5、图6。可以看出，基线长从1m到20m，相应计算出来的双差模糊度最大余项影响下降很快，大约到60m时，各双差模糊度最大余项影响都已在±0.1周以内，大致在78m时，余项影响诊断值已满足了诊断条件。由于最大余项影响不仅与基线长、基线的方向有关，而且受GNSS观测结构和精度影响，因此其他算例中的具体数值可能会与本算例有细微差别，但总趋势应一致。
图5 双差模糊度最大余项影响随基线长变化曲线Fig.5 The change of MIAs with baseline’s length
图6 余项影响诊断值随基线长变化曲线Fig.6 The change of TEVs with baseline’s length
4结束语
本文基于附加基线长约束的GNSS相对定位数学模型，推导了基线长约束条件线性化近似余项对浮点解的最大影响值公式，从公式可以看出最大余项影响不仅与基线长、基线方向有关，而且受GNSS观测结构和精度影响。然后给出了一个基线长约束能否线性化近似的诊断条件，该条件是充分条件，但非必要条件。满足该条件时，线性化近似余项影响可以忽略，附加线性化近似的基线长约束可以提高浮点解解算的精度，加快模糊度的固定；若不满足，则线性化近似余项影响可能不可以忽略，附加约束会因浮点解偏差较大不能固定为正确的模糊度。文中通过相关算例验证了前述结论，此外还结合实例探究了线性化余项最大影响与基线长的变化关系，算例结果显示基线长从1m到20m，双差模糊度最大余项影响随之下降很快；大约到60m时，各双差模糊度最大余项影响都已在±0.1周以内；大于78m时均满足诊断条件，可以线性化处理基线长条件。
参考文献：
[1]WANGB,MIAOL,WANGS,etal.AConstrainedLAMBDAMethodforGPSAttitudeDetermination[J].GPSSolutions, 2009, 13(2): 97-107.
[2]TEUNISSENPJG.IntegerLeast-SquaresTheoryfortheGNSSCompass[J].JournalofGeodesy, 2010, 84(7): 433-447.
[3]TEUNISSENPJ,GIORGIG,BUISTPJ.TestingofaNewSingle-frequencyGNSSCarrierPhaseAttitudeDeterminationMethod:Land,ShipandAircraftExperiments[J].GPSSolutions,2011, 15(1): 15-28.
[4]CHENW,QINH.NewMethodforSingleEpoch,SingleFrequencyLandVehicleAttitudeDeterminationUsingLow-endGPSReceiver[J].GPSSolutions, 2012, 16(3): 329-338.
[5]KROESR,MONTENBRUCKO,BERTIGERW,etal.PreciseGRACEBaselineDeterminationUsingGPS[J].GPSSolutions, 2005, 9(1): 21-31.
[6]ARDAENSJS,D’AMICOS,MONTENBRUCKO.FlightResultsfromthePRISMAGPS-basedNavigation[C]∥Proceedingsofthe5thESAWorkshoponSatelliteNavigationTechnologies.Noordwijk:[s.n.],2010：8-10.
[7]MONTENBRUCKO,WERMUTHM,KAHLER.GPSBasedRelativeNavigationfortheTanDEM-XMissionFirstFightResults[J].Navigation, 2011, 58(4): 293-304.
[8]HANBaoming，OUJikun.AGPSSingleEpochPhaseProcessingAlgorithmwithConstraintsforSingle-frequencyReceivers[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica, 2002, 31(4):300-304. (韩保明, 欧吉坤. 一种附约束的单频单历元GPS双差相位解算方法[J]. 测绘学报, 2002, 31(4) : 300 - 304.)
[9]YUXuexiang,XUShaoquan,LUWeicai.TheResearchofSingleEpochAlgorithmforGPSDeformationMonitorInformation[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica, 2002, 31(2): 123-127.(余学祥, 徐绍铨, 吕伟才.GPS变形监测信息的单历元解算方法研究[J]. 测绘学报, 2002, 31(2): 123-127.)
[10]TANGWeiming,SUNHongxing,LIUJingnan.AmbiguityResolutionofSingleEpochSingleFrequencyDatawithBaselineLengthConstraintUsingLAMBDAAlgorithm[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2005, 30(5): 444-446.(唐卫明, 孙红星, 刘经南. 附有基线长度约束的单频数据单历元LAMBDA方法整周模糊度确定[J].武汉大学学报:信息科学版, 2005, 30(5): 444-446.)
[11]LIZhenghang,LIUWanke,LOUYidong,etal.HeadingDeterminationAlgorithmwithSingleEpochDual-frequencyGPSData[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity, 2007, 32(9): 753-756.(李征航, 刘万科, 楼益栋, 等. 基于双频GPS数据的单历元定向算法研究[J]. 武汉大学学报: 信息科学版, 2007, 32(9): 753-756.)
[12]LIBofeng,SHENYunzhong.FastGPSAmbiguityResolutionConstrainttoAvailableConditions[J].GeomaticsandInformationScienceofWuhanUniversity,2009, 34(1): 117-121.(李博峰, 沈云中. 附有约束条件的GPS模糊度快速解算[J]. 武汉大学学报: 信息科学版, 2009, 34(1): 117-121.)
[13]HOFMANN-WELLENHOFB,LICHTENEGGERH,WASLEE.GNSS:GlobalNavigationSatelliteSystems:GPS,GLONASS,Galileo,andMore[M].Berlin:Springer, 2007.
[14]SUYucai,JIANGCuibo,ZHANGYuehui.MatrixTheory[M].Beijing:SciencePress, 2006. (苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论[M]. 北京: 科学出版社, 2006.)
[15]TEUNISSENPJG.TheLeast-squaresAmbiguityDecorrelationAdjustment:AMethodforFastGPSIntegerAmbiguityEstimation[J].JournalofGeodesy, 1995, 70(2): 65-82.
[16]TEUNISSENPJG,DEJONGEPJ，TIBERIUSCCJM.PerformanceoftheLAMBDAMethodforFastGPSAmbiguityResolution[J].Navigation, 1997,44(3): 373-383.
[17]TEUNISSENPJG.AnOptimalityPropertyoftheIntegerLeast-squaresEstimator[J].JournalofGeodesy, 1999,73(11):587-593.
[18]CHANGXW,YANGX,ZHOUT.MLAMBDA:AModifiedLAMBDAMethodforIntegerLeast-squaresEstimation[J].JournalofGeodesy, 2005, 79(9): 552-565.
[19]XU Guochang. GPS Theory,Algorithms and Application[M].LI Qiang,LIU Guangjun,YU Hailiang,et al, trans. 2nd ed. Beijing: Tsinghua University Press, 2011.(许国昌.GPS理论、算法与应用[M]. 李强, 刘广军, 于海亮, 等，译.第2版.北京: 清华大学出版社, 2011.)
[20]WANG Songgui, WU Mixia, JIA Zhongzhen. Matric Inequalities[M]. 2nd ed.Beijing: Science Press, 2006. (王松桂, 吴密霞, 贾忠贞. 矩阵不等式[M]. 第2版.北京: 科学出版社, 2006.)
[21]SHENG Zhou, XIE Shiqian, PAN Chengyi. Probability Theory and Mathematical Statistics[M].4th ed. Hangzhou:Zhejiang University Press, 2008. (盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M].第4版.杭州: 浙江大学出版社, 2008.)
(责任编辑：陈品馨)
---------------------
修回日期： 2014-10-26
First author： NIE Zhixi(1988—), male，PhD candidate，majors in GNSS positioning technology.
E-mail： niezhixilib@126.com
中图分类号：P228.4
文献标识码：A
文章编号：1001-1595(2015)02-0168-06
基金项目：国家自然科学基金(41174015；41231064；41374008);中央高校基本科研业务费专项资金(14CX06073A)
收稿日期：2014-02-24
第一作者简介：聂志喜(1988—)，男，博士生，研究方向为GNSS定位技术。
Abstract：Additional nonlinear baseline length constraint is often used for GNSS dynamic relative positioning, but the LAMBDA method can only deal with linear constraint model. So, it is necessary to linearize and approximate nonlinear constraint conditions. Linearized approximate constraint usually increases the success rate of fixing integer ambiguity, but for the ultra-short baseline, the opposite results may be derived. When will the linearized approximate baseline length constraint can improve the success rate of fixing ambiguity? This article attempts to answer these questions. Firstly, the float solution’s maximum influence value formula is derived when using linearized approximate baseline length constraint, based on GNSS relative positioning model; Secondly, a discriminant condition is given to determine whether baseline length constraint can be linear approximation. When the condition is met, the influence can be ignored, linearized approximate baseline length constraint can improve the accuracy of float solution and increase the success rate of fixing ambiguity,on the contrast, the influence may not be ignored, linear approximation will result in a biased float solution and the ambiguity cannot be fixed correctly; At last, the foregoing conclusions are verified with some numerical example in this paper.
Key words：dynamic relative positioning；baseline length constraint；linear approximation；remainder term’s influence; discriminant condition
引文格式：NIEZhixi,WANGZhenjie,OUJikun,etal.OntheEffectofLinearizationandApproximationofNonlinearBaselineLengthConstraintforAmbiguityResolution[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2015,44(2):168-173.(聂志喜，王振杰，欧吉坤,等. 非线性基线长约束条件线性化近似对模糊度解算的影响[J].测绘学报，2015,44(2)：168-173.)DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20130491
