七星彩的中奖概率分布的计算问题

七星彩的中奖概率分布的计算问题*

刘永君

(河南机电高等专科学校 经济贸易系，河南 新乡 453000)

摘要:论文根据计算和分析需要提出了相符位、分隔位、片段、片段长度、同长片段数等概念并论证了这些变量的取值规律,穷举出片段所有可能的组合,共22种,不同的片段排列就有不同的投注号码,在相同条件下,一个分隔位被其他9个数字中的一个替换掉也可生成一个不同的投注号码,然后遵循古典法计算概率的规则和投注号码的数量计算七星彩的中奖概率分布就变得简洁明了,论文最后还检验了概率分布的计算结果。

关键词:相符位；分隔位；片段；片段长度；同长片段数；片段排列数

收稿日期：*2015-01-10

作者简介：刘永君(1971-),男,河南温县人,副教授，主要从事统计与管理研究。

中图分类号：O211.2

七星彩是由国家体育总局体育彩票管理中心统一发行的彩票。从0-9这10个自然数中可重复地任意选择7个有序数字就组成一注七星彩的投注号码。每一注投注号码的获奖等级是根据其与开奖号码的相符情况确定的,具体情况如表所示。七星彩的游戏规则规定每注投注号码只有一次中奖机会,不兼中兼得。[1]

表1　七星彩投注号码的获奖等级表

由于七星彩的获奖规定与二项概率分布模型不一致,不能使用二项分布模型计算。部分媒体发布的七星彩中奖概率分布也存在较大的差异,具体情况如表2所示。因此,七星彩获奖概率分布问题是一个值得研究的问题。

表2　部分媒体公布的七星彩概率分布表

1组合与排列法计算七星彩获奖概率分布的基本概念

1.1分隔位、相符位的概念

七星彩的投注号码是从“0000000”“0000001”“0000002”…“9999999”这10000000个号码中选择的号码,共有10000000种可能。

根据七星彩的开奖结果,任何一注七星彩的7位数字可以被分成“分隔位”和“相符位”两种。具体来说,投注号码中的某个数字如果与开奖号码相应位置上数字不同,这个数字所处的位置就叫作“分隔位”,用0表示,如果与开奖号码相应位置上的数字相同,这个数字所处的位置就叫作“相符位”,用1表示。

用t表示一注投注号码的相符位数,用h0表示投注号码的分隔位数,显然,t+h0=7。

1.2片段、片段总数、片段长度、关键片段的概念

片段:一注投注号码中相连的相符位整体,称为片段。一个与其他相符位不相连的、独立的相符位也是一个片段。

片段总数:一注投注号码中包括的片段数量,用g表示。如果一注号码中没有相符位,则g=0。

片段长度:一个片段中包括的相符位数的多少称为片段长度。长度是片段的一个重要特征,每个片段都可用其长度表示。由独立的相符位构成的片段的长度为1。

关键片段:一注投注号码中长度最大的片段称为关键片段。

关键片段决定一注投注号码的获奖等级,关键片段的长度用h1表示,其余片段按长度大小分别用h2、h3…hg表示。

需要强调的是:hi表示第i个(按长度大小排列)片段的长度,如果同一投注号码中另一片段的长度与第i个相等,依然用hi+1表示。因此,hi为整数,且7≥h1≥h2≥…≥hg≥1。

例如:对于形如“0111111”的投注号码,其中的片段“111111”是不可分割的一个整体。因此形如“0111111”的投注号码有且仅有一个片段,这个片段由是由6个(h1=6)连续相符位组成的一个(g=1)片段;对于形如1101111的投注号码,g=2,h1=4,h2=2;对于形如1010101的投注号码,g=4,h1=h2=h3=h4=1。

1.3同长片段数的概念

用zi表示一注投注号码中,片段长度的第i(由大到小顺序排列)个值,即z1>z2>z3>…>zk。用mi表示第i(由大到小顺序排列)个片段长度值zi在一注投注号码中出现的次数。显然有:

zi为整数且7≥zi≥1;

本文定理4和定理5将证明:在一注投注号码中,zi最多可以取两个不同的值,即只存在z1或只存在z1、z2。若zi可以取z1、z2两个值,那么,与z1、z2相应的次数m1、m2中至多有一个大于1。

我们称m1与m2的最大值为同长片段数,用字母m表示。

2变量hi、g、t、zi、mi之间的数量关系

定理2一注投注号码中,最多有4个片段,即g≤4。

证明:两个片段之间至少被一个分割位隔开,g≤h0+1

g≤4,即:一注七星彩投注码最多有4个片段。

定理3对于一注投注号码,若存在4个片段,即g=4,则这4个片段的长度都为1,即:h1=h2=h3=h4=1。

证明:g=4,g≤h0+1,h0≥3

由于h1、h2、h3…hg表示的是片段的相符位数,因此,hi为大于等于1的整数, 必然有:h1=h2=h3=h4=1。

定理4一注投注号码中片段的长度最多有两个互不相同的取值。

证明采用反证法。设一注投注号码中的片段存在3个互不相同的长度值z1、z2、z3,即投注号码中有3个长度互不相同的片段,即g=3。由于存在3个片段,至少需要两个分割位,即h0≥2。

令z1、z2、z3分别取它们的最小值,分别为3、2、1。则相符位数:

t=z1+z2+z3=3+2+1=6

由此可得t+h0≥6+2=8,这与七星彩的相符位数与分割位数之和比为7,即t+h0=7相矛盾。因此可以肯定:一注投注号码中的片段最多有两种长度值。

定理5若一注投注号码中的片段有两种不同的长度值z1、z2,相应的次数分别为m1、m2,则m1、m2中至多有一个大于1。

证明采用反证法:m1+m2=g,z1m1+z2m2=t,g≤h0+1

t+g≤t+h0+1,即:z1m1+z2m2+(m1+m2)≤t+h0+1=8

(z1+1)m1+(z2+1)m2≤8

若m1、m2中的最小值为2,则:

8≥(z1+1)m1+(z2+1)m2≥2×[(z1+1)+(z2+1)]=2×(z1+z2)+4

z1+z2≤2,因此,z1、z2均为1,这与z1、z2为不同的值相矛盾。

3七星彩各个获奖等级的投注号码数量计算

计算七星彩各个奖级的投注号码数量计算是计算获奖等级概率分布的关键,计算每一奖级的投注号码数量需要先列出片段的组合情况,然后计算每一种组合的排列数,最后计算由于分割位不同形成的投注号码数。这个过程的关键仍然是找出其中的规律,简化计算过程,防止重复和遗漏。

3.1各获奖等级的片段组合情况列表

组合情况就是不考虑片段在投注号码中的位置,即:将若干注投注号码中的片段按长度排列,若两注号码的片段数量和长度依次相等,它们就属于同一种组合。

h1的大小决定投注号码的获奖等级,七星彩各获奖等级的投注号码中片段的组合情况就是在给定h1的情况下,h2以及h3、h4的取值情况。

显然h1的最大取值为7,可以取“7、6、5、4、3、2、1、0”这8个值中的任意一个值,有8种情况。由于h1≥h2≥h3≥h4,当hk=0时,hk=hk+1=hk+2=0。

片段长度的实际取值可以等于或小于其最大取值。

在给定h1的情况下,第2个片段长度h2最大取值的计算公式为:

max{min[(6-h1),h1],0}

例如:当h1=4时,h2的最大值为2。h2的值可以为“2、1、0”三个值中的任意一个值。

在给定h1、h2的情况下,第3个片段长度h3最大取值的计算公式为:

例如,当h1=3、h2=1时,h3的最大值为1,h3的值可以为1、0两种情况;当h1=1、h2=1时,h3的最大值任然为1,h3的值可以为1、0两种情况。

在给定h1、h2、h3的情况下,第4个片段长度h4最大取值的计算公式为:

例如,h1=1、h2=1、h3=1时,h4的最大值为1,h4的值可以为1、0两种情况。

根据上述方法和规则,可以穷举h1、h2、h3、h4可能的取值,具体情况如表3所示,共22种。

3.2每种片段组合的排列数计算

表3　七星彩投注号码的片段组合、排列及投注号码数量分布情况表

Ai,j中的下标i表示获奖等级,j表示同一获奖等级下不同组合的编号。各个奖级每种片段组合的排列数计算结果如表3第(5) 列所示。

例如,对于表3中的6等奖的第3种组合,长度为2的片段1个,长度为1的片段2个,即g=3,h0+1=4,m=2。这种组合的排列数为:

用0和1表示这12种排列,它们分别是:0110101、0101101、0101011、1100101、1001101、1001011、1101001、1011001、1010011、1101010、1011010、1010110。

3.3 每种排列投注号码数量的计算

每种排列下,投注号码数的多少与分割位数有关,每一个分割位就有9种可能供选择,一个排列中有h0个分割位,就有9h0种投注号码。因此,每种排列可能的投注号码数的计算公式为:

ni,j=Ai,j×9h0

每种排列投注号码的数量如表3所示。

3.4各奖级投注号码的数量及获奖概率的计算

某一奖级投注号码数等于该奖级下每种组合投注号码数量的和。其计算公式为:

各奖级投注号码的数量及各奖级的获奖概率如表4所示。

表4　各奖级的投注号码数量

根据计算可以看出:一注七星彩投注号码不获奖的概率高达94.513%,获奖的概率不足5.4%。

4对七星彩投注号码获奖计算结果的验算

为避免投注号码数量的重复和遗漏,对中间的关键过程进行检验是必要的。需要检验的有两个中间结果,一是根据二项分布检验需要检验的就是不同片段组合的排列数总和。

(1)验算片段组合的排列数是否正确

一注七星彩有7个号位,每个号位都有相符和不相符两种可能。因此,投注号码按照每个号位与开奖号码是否相符来分应该有27=128种。

根据表3可以看出,22种片段组合的排列数总和为128。

(2)验算7位投注号码选对0～7位的概率是否与二项分布模型的结果一致

一注七星彩的7个号位,每个号位是否与开奖号码相符的概率相等且相互独立,每个号位与开奖号码相符的概率为0.1,不相符的概率为0.9,因此,一注七星彩7个号位码与开奖号码相符位数为t的概率应该是服从二项分布的。对表3第(7) 列的投注号码数量按与开奖号码位数相符t的分类统计如表5所示。二项分布计算的概率与统计出来的比重完全相符。

表5　二项分布概率表与投注号码与

(责任编辑吕春红)

参考文献:

[1] 中国体彩网.七星彩玩法介绍[EB/OL].http://www.lottery.gov.cn/news/10006627.shtml,2011-01-21/2014-02-16.

[2] 吴中宝.彩票中奖概率全解析[J].章回小说(中旬刊专题版),2011，(8):24.

[3] 丁雪梅.七星彩的中奖概率问题[J].科技信息,2009，(8):422.

[4] 李海玉.体育彩票的概率分析[J].清远职业技术学院学报,2010，(6):88.