合理构建无穷级数教学内容体系的教学探究

合理构建无穷级数教学内容体系的教学探究

张淼

(长春工程学院 理学院，长春 130012)

摘要：针对高等数学课程中无穷级数部分的内容，提出了建立级数的概念与求和符号及数列极限之间、幂级数与函数的泰勒展开式之间以及傅里叶级数与泰勒级数之间联系的一种新的教学理念，并以此为依据改进了教学内容体系，提高了学生对这部分知识的学习效果。

关键词：无穷级数；教学；内容体系；联系

无穷级数是高等数学课程中一个相对比较独立，同时又不易掌握的内容。其概念比较抽象，内容涉及面广，同时多数题目又比较复杂[1]。但是无穷级数又是应用问题中一个非常重要的工具。例如，幂级数常用于复杂函数函数值的近似计算，傅里叶级数在振动及热传导问题中都有着广泛的应用[2]。因此级数这部分内容将在学生今后的数学计算及未来的专业发展中扮演重要的角色[3]。为了让学生更好地掌握级数这部分内容，教师应合理地构建级数的讲授体系，完善教学内容，使级数知识与学生前面学过的高等数学知识有效地衔接在一起，这样既可以完善学生的认知结构，又可以提高学生的学习兴趣。本文将从级数的概念、幂级数及傅里叶级数这三个重点内容出发，探讨如何通过合理地建立无穷级数教学的内容体系，来提高学生这部分知识的学习效果。

一、级数级数与求和记号及数列极限之间的关系

级数是数列求和与数列极限这两部分内容的综合，因此在教学中要理清它们之间的关系。

二、建立幂级数与函数的泰勒展开式的联系

幂级数的一个主要内容就是其和函数的计算。在和函数的计算中，逐项求积和逐项求导是两个非常重要的工具，而逐项求积与逐项求导在很多国外教材中都不是以定理的形式给出的，而是直接给出算法，并且这种算法只要求在对称的开区间内完成即可，这是因为端点处的收敛性是无法保证的[3，4]。而这一细节问题在国内的教材中显得模糊，为此要在教学中加以提示，以免出现计算上的错误。

逐项求积与逐项求导算法要依赖幂级数的收敛区间，这里应主要讲授应用比值审敛法计算收敛区间，这样学生更易于理解和记忆，也便于前后知识的贯通。但是即便确定了收敛区间，幂级数的和函数计算仍然十分困难，即便使用逐项求积和逐项求导，能确定和函数的幂级数仍然十分有限。

与求和函数相反的过程就是求函数的幂级数展开式。对于任一函数，若其存在无穷阶导数，就可求其幂级数展开式。与传统的教学逻辑不同的是，对泰勒级数的教学内容的处理时，最大的变化是建议将一元微分学中的泰勒公式与幂级数中的泰勒级数合并讲授，这样可以使教学内容更完整流畅，教学逻辑更通顺。同时便于学生明确泰勒级数的基本计算方法。不仅如此，还应在这部分内容中加入二元泰勒公式的内容，这样可以让学生将一、二元泰勒公式进行对比，便于其记忆和掌握。同时也可以完成在多元函数微分学中没有给出的二元函数极值的充分条件的证明，这样既可以让学生有机会体验到二元泰勒公式的应用，又加强了高等数学教学内容的完整性。

三、建立傅里叶级数与泰勒级数的联系

在幂级数与泰勒级数内容的教学中，学生们看到了用级数来表示一个函数的过程，这是数学发展历程中一个非常重要的进步，学生们可以利用幂级数中的有限项来完成一些工作，例如计算某些函数的函数值等等。但是需要向学生说明的是泰勒多项式只有在展开点的附近才具有良好的精度，因此这种近似是局部的，而后面要介绍的傅里叶展开式却能全局地近似表示一个周期函数，因此，在面对周期函数时，傅里叶级数比泰勒级数更有优势，这样来引入傅里叶级数就更加自然了。此外，还应告诉学生在自然界中的很多现象都是周期变化的，如光波、声波、无线电波等等。因此傅里叶级数在物理及工程领域都有着广泛的应用，这样很容易把学生的注意力吸引到教学内容上来。

为了便于学生应用傅里叶级数解决实际问题，在教学中还应强调傅丽叶级数的误差是均匀的，这在很多数教材中都有明确的图例说明，教师可以展示给学生。如果课内时间充裕的话，教师还可以将傅丽叶展开式与泰勒展开式在近似计算中的误差进行比较，让学生有非常直观的认识，这对学生们应用能力的提高是很有帮助的。

以上是我们从建立级数的概念与求和符号及数列极限之间、幂级数与泰勒展开式之间以及傅里叶级数与泰勒级数之间的联系三个方面，探讨了通过合理地建立无穷级数的内容体系，进而提高学生这部分知识的学习效果的一些认识和探索。我们将不断学习、不断努力，总结经验，使教学适应新时代的发展要求。

参考文献

[1]申聪.有关无穷级数教学的一些探究[J].数学学习与探究，2010(21)：20-21.

[2]李丽，项明寅.物理背景在Fourier级数教学中的重要性[J].黄山学院学报，2012(5)：100-101.

[3]张淼.从实践终身教育谈重新定位高等工程教育[J].长春工程学院学报：社会科学版，2007(1)：86-88.

[4]Robert T.Smith，Roland B.Minton.Calculus[M].北京：高等教育出版社，2004：8.

[5]Finney Weir Giordano.托马斯微积分[M].北京：高等教育出版社，2004：1.

DOI:10.3969/j.issn.1009-8976.2015.01.040

收稿日期：2014-12-25

基金项目：吉林省教育科学规划课题资助(项目编号：GH14294)

作者简介：张淼(1972—)，男(汉)，吉林长春，博士，副教授主要研究结构优化及振动控制。

中图分类号：G642

文献标识码：A

文章编号：1009-8976(2015)01-0138-02

Research of teaching on how to establish the system for teaching the content of infinite series reasonably

ZHANG Miao

(ChangchunInstituteofTechnology,SchoolofScience，Changchun130012,China)

Abstract：As far as the teaching content of infinite series in high mathematics courses is concerned,a new teaching idea is proposed by constructing the relation of three relevant part of infinite series teaching,that one is series concept associating with summation notation and Limits of sequence,the other is Power series attaching to Taylor series expansion,the last one is Fourier series connecting with the Taylor series.In terms of the teaching idea presented here we can reform the system of teaching content.Once taught by the teaching method presented here,the students will improve the outcome of study.

Key words：infinite series;teaching;system of content;association