连分式的逼近计算及其Mathematica实现

李声锋 陈栋栋

(蚌埠学院应用数学研究所，安徽 蚌埠 233030)

在数值计算中，由于多项式具有任意阶可导、易于求积等特点，在很多情况下采用多项式逼近函数，如Taylor级数展开法、Maclaurin级数展开法等。但有时遇到函数在某点无界等情形，此时解决此类问题需要用到有理逼近。连分式是一个经典的有理逼近工具，是研究非线性问题的首选方法，应用广泛。

Mathematica软件是一款功能强大的符号计算语言，广泛应用在数学领域。在数学研究和教学过程中，利用Mathematica软件平台可以实现各种计算和仿真。我们在利用连分式逼近函数的近似计算过程中，借助于Mathematica软件，编写了程序，快速实现了连分式的逼近计算，并将计算结果与多项式级数逼近结果进行了比较。

1 预备知识

定义1 设2个复数列{an}和{bn}，称形如

的分式为连分式(Continued fractions)，记作

2 连分式逼近函数

2.1 连分式逼近函数

式(2)前几项的渐近分式分别为

2.2 逼近计算结果的Mathematica实现

为了直观显示连分式(2)的渐近分式逼近计算结果，下面分别取 x=0.65，x=8，进行逼近计算，并编写Mathematica程序:

运行程序，我们不仅能看到给出的渐近连分式，还得到渐近分式的计算结果。当x=0.65时，利用式(2)的四次渐近分式就能计算得到函数值f(0.65)=3.50;当 x=8.00 时，利用式(2)的十次渐近分式就能计算得到函数值f(8.00)≈7.00。具体计算结果见表1。

表1 式(2)渐近式在x=0.65与x=8.0时的函数值(取前10项)

2.3 连分式逼近与多项式逼近的比较

从表1可以看到，连分式在数值近似计算中能得到较好的逼近结果，下面考虑函数 f(x)=的多项式逼近，并与连分式逼近进行比较。我们将函数作如下的Maclaurin级数展开

其中

利用Mathematica软件计算Maclaurin展开式(3)在x=0.65与x=8.00时的近似结果，编写程序如下:

运行上面的程序，我们可以看到Maclaurin展开式的部分和，还得到了部分和的计算结果。当x=0.65时，利用式(3)的前6项之和就能计算得到函数值 f(0.65)=3.50;当 x=8.00 时，此时级数发散，无法利用式(3)的部分和得到函数值，具体计算结果见表2。

表2 式(3)的部分和在x=0.65与x=8.00的函数值(取前十项)

从表1和表2的计算结果，我们可以看到如下事实:

3 结语

本文通过实例讨论了连分式逼近的近似计算问题，利用Mathematica软件编写程序，快速实现了连分式的逼近计算，并将计算结果与多项式级数逼近结果进行了比较。比较结果表明，连分式逼近函数比多项式级数逼近函数不仅速度较快，而且具有较大的收敛区域。在某种意义上说，连分式逼近是一种行之有效的逼近方法，在近似计算中可以获得较优的计算结果。

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