数学教育提升学生思维品质的维度及策略

胡绪　宋晓林

摘 要 培养和完善学生的数学思维，是学校数学教育的应然取向。优秀的数学思维具有主动、灵活、全面、合理、深刻等特征。在培养学生数学思维方面，教师应以数学教育者的身份，引领学生主动地探索数学世界；抓住细节提升学生思维品质；给予学生充足的思考时间和充分的表达机会；提倡与培养怀疑和批判精神；调整评价思路，重视对学生思维发展和完善程度的诊断。

关键词 数学教育 数学思维 数学素养 数学教育变革

郑毓信先生在《“数学与思维”之深思》一文中阐释了“有效促进学生的思维应成为判断数学课成功与否的主要标志”，“数学教育应当致力于促进学生更积极地去进行思考”[1]。无论是从关注学生学习数学的兴趣和激情，还是从长远培养高素养数学人才来看，数学教育都应该注重帮助学生拥有高品质的数学思维，让数学真正成为优美的思维体操。

一、数学教育应关注并促进学生思维发展和完善

当前“重知识、重分数”等顽固思想引领下的数学教育不可避免地陷入困顿的境地。譬如，精讲多练后，师生仍会发现数学知识掌握起来是那么的困难；学生在学习数学过程中也会表现出思维惰性，他们不假思索地将一种题型的解法应用到类似题目上，而往往忽略两者的差别。究其原因，一部分学生是不知从何入手解决问题，他们的思维似乎成为了“笼中困兽”，无法施展才能；另有一部分学生是由于在解决数学问题的过程中考虑不全面、不深入、不细致，对问题一知半解，导致错误发生。

众多数学教师将这些问题归咎于学生个人的态度、方法、基础或智力等，并未深究自己所遵循的数学教育理念和方法是否真正培养和释放了学生的数学思维活力。因此，教师继续采用题海战术，让学生重复练习相同、相似的知识和问题。如此一来，学校数学教育中的教与学就陷入迷失般的恶性循环。

可见，虽然现有学校数学教育能促进学生数学思维的发展，但这个结果并不是教育者首先关注的重点，而是他们追求分数的“副产品”。也可以说，这个结果是数学学科固有的功能。我们认为，数学教育不能只凭“本能”发展，而须将促进学生思维发展和完善的功能发挥到最大。因此，我们需要将数学教育的关注点放在学生数学思维的发展和完善上，超越只看分数并以分数定学生优劣的认识，进而探索思维取向的数学教育须要关注的维度，以及在实践中切实可行的培养路径。最终实现，让学生通过学习数学发展数学思维，能进行数学式思考，并严谨地解决数学问题。

二、学校数学教育培养学生数学思维品质的维度

1.数学思维的发展和完善须要以主动参与为前提

在学习过程中，数学学困生和学优生的一个显性差别就是，后者在学习中比前者更加主动地思考、探究数学问题，更愿意体验思索数学问题带来的乐趣，而前者缺乏思维意识进而对数学学习失去兴趣，认为数学是枯燥乏味的数字堆积。此外，两者数学思维整体性也存在差异。前者由于没有主动思维心向的指引，整个思维结构残缺不全，解题过程漏洞百出，问题五花八门；而后者的学习和解题过程明显表现出一定的准备态势，他们的注意力会集中在将要开始的学习和解题上，从心里做好展开思维的准备，这种主动性也会延续到接下来的思维活动中，维系了整个学习和解题过程。因此，优秀的数学思维品质需以积极主动参与为前提，激发学生的思维活力。

2.数学思维须要有进行全面细致考虑的意识和习惯

学生理解、应用数学都是以问题为中心，“围绕问题，数学教学过程得以展开，随着问题解决的过程，学生的数学思维得到锻炼。”[2]所以，学生对数学问题认识的全面、细致程度反映了其思想的发展与完善程度。

然而，无论是学生通过问题认识数学，还是以数学知识解决问题，都需要做到“三清楚”：第一，将问题审清楚。在这个环节，学生需要对问题本身有清楚、全面的认识，能明确问题中的条件，并能对条件进行初步的分析，尝试得出可能有用的其他信息。同时，需要明确待解决的具体问题，并尝试对问题进行分解或与已知条件和尝试性结论建立联系。第二，将思路理清楚。这是对前一环节的继承，也是基于问题的数学学习和解决数学问题的核心，同时还是考量学生数学思维发展和完善程度的核心指标。需要特别说明的是，这一过程本身极具教育意义，学生可以从中体验到解决数学问题的思路并不是一成不变的，通过猜想、尝试、验证等方式可以从不同的角度找到解决问题的思想。第三，将结果表达清楚。数学是种交际语言，它能沟通不同人的思想。因此，数学问题最终需要得到清楚地表达，才能扩展其价值。这一环节对学生的要求是表达力求简约、完整、规范。

不难发现，上述三环节都要求学生具有全面细致的思维意识和习惯。对数学问题似懂非懂，对问题中的条件及其蕴含的信息考虑不周，以及对数学问题本身结构的认识不全面都不能学好数学。所以，数学教育应关注学生数学思维全面细致性的培养。

3.数学思维需要灵活性来维系其生命力

数学是“思维的体操”，这表明数学思维有“舞出美丽”的活力，而这种活力需要数学思维具有灵活性来彰显和延续。这是认识和解决数学问题的实际需要所决定的。

首先，解决数学问题的思路和方法应是灵活的。纵观数学发展史，数学家常常会用几十年甚至上百年的时间研究一个数学问题而不得解，但伴随着新的思路和方法被发现，新的数学成果也应运而生。这表明，解决数学问题不能过于机械守旧，而应重视思路和方法的灵活性，否则数学思维将得不到提升和完善。其次，灵活的数学思维能提升学生思维的迁移能力。在教学实践中，学生数学学习效果不佳的一个原因就是思维过于死板，将一种或几种题型当做万能的，而不灵活分析和运用相关知识。相反地，灵活的数学思维能加深学生对数学问题和知识的理解，达到举一反三、触类旁通的作用，进而提升学生的迁移能力。

所以，欲提升学生数学思维品质，就须将灵活性作为培养目标之一，以葆数学思维的生命活力。

4.数学思维须要兼顾有效与合理性，提升效度

数学是一门简约而严谨的学科，因此在解决数学问题的过程中，数学思维须要彰显其有效性与合理性。而在学校数学教育中，常有学生在解决问题时能很快找到思路，而在解决问题过程中，却往往出现推进不下去的情形。这表明，学生的思维虽理论上可行，但操作不便，并不利于解决问题，思维的效度比较低。

对此，我们应认识到，数学不仅是理论学科，同时也是应用学科，合理并有效的思维才能真正促进学生更好地认识、理解数学，更有效地解决数学问题。纵观数学史，有效合理的数学思想和方法是数学实现突破的关键。所以，学校数学教育需重视学生有效的解题思维的培养。

5.数学思维需要深刻性来实现对知识的超越

最理想的数学教育是能让学生透过现象看本质，以辩证、严谨的思维探析数学和数学问题的本真。这就要求学校数学教育需在培养学生思维深刻性方面做出更多努力，这也是最能反映出学生数学思维品质优劣的一个维度。如果学校数学教育能帮助学生拥有这样的思维品质，那么，数学教育者的使命就算是基本达成，数学教育也就超越了单纯的数学和符号游戏，成为一项有创造性的活动。

三、提升数学思维品质的教育策略探究

1.引领学生主动地探索数学世界

实践中，数学教育潜意识里遵循“分数决定一切”的原则，将思维和分数的关系本末倒置，学生数学思维主要是“被发展”。因此，我们认为学生思维缺乏主动性不是学校数学教育面临困难的原因，而是学校数学教育造成的结果。

对此，在实践中，我们引领学生主动探索数学世界时应注意适当降低对数学分数的期望，让学生的学习观从“考高分”转变为“体验数学学习思维过程”。这样的转变能让学生将更多的注意力集中在对学习和解题质量的追求上，而不仅仅去追求学习和解题的数量。同时，还应让学生体验数学思维带来的愉悦和成就，增大数学的吸引力。当学生学习和解题中出现困难时，及时提供精妙的解题思路和方法。通过实践来看，学生此时的愉悦体验感最强，数学的吸引力也体现得淋漓尽致。

2.抓住细节提升学生思维品质

思维的火花稍纵即逝，这就要求数学教师做一个“眼明手快”的人，及时发现学生思维细节中的亮点和漏洞。以往的数学教育主要关注学生显性的知识问题，忽视学生隐性思维中的细节问题，故而就错改错，学生的数学思维能力并未得到提升。所以，教师应透过“知识性”错误分析“思维性错误”，并开出相应的处方。

同时，教师还应做一个“画龙点睛”的人，巧用细节升华学生思维能力。譬如，对于有一定阅读量和思维量的问题，学生往往会忽视一些重要的细节，造成解题思路受阻，这就需要教师引领学生关注细节，达到“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果。

3.给予学生充足的思考时间和充分的表达机会

著名数学家张伯驹先生告诫我们：“数学使我学会长时间的思考，而不是匆忙地去做出解答。”[3]而学校数学教育中，过量的问题充斥整个学习过程，留给学生自己思考的时间极为有限，学生思维的深度和细致程度受到削弱，所收获得只是题量而不是思维量。因此，学校数学教育者应作相应的转变。

第一，适当减少题量，将时间和空间让位于思维。这要求我们在课前认真选择蕴含思维量适中，并能巩固所学的题型。这样，学生有充足的时间分析、思考，能获得对问题更深刻的理解，进一步巩固所学。

第二，将思考的主体地位归还学生。知识取向的数学教育，教师将问题的分析、表达一人承担，学生则负责将教师的思维成果“迁移”到自己的笔记本或试卷上。结果，学生逐渐丧失了思维的意识和能力，学习演变为简单地模仿。因此，教育者不能越俎代庖，而应相信并帮助学生发挥思维主体的作用。

第三，给予学生充分的表达机会。提升思维品质的数学教育提倡学生灵活地、个性化地解决问题，鼓励不同的学生对于相同的问题有不同的解法，我们的职责是让学生将他们的成果展现出来，达到相互交流和帮助的目的。更重要的是，“辩论”能激发学生的思维活力，并且让学生体会这也是数学学习的有效途径之一。

4.提倡与培养学生的怀疑和批判精神

提升思维品质的数学教育，旨在培养学生思维的创造性和创新性。为此目的，学校数学教育应提倡和培养学生的怀疑和批判精神。

第一，不能为学生的思维设定框架。数学教育长期重视数学知识和技能，其后果是让学生徘徊于题海之中，思维也受制于数学知识的严密结构。所以，在夯实基础的前提下，应适当填充相应的内容，开阔学生的视野，为创造和创新提供支持。单纯重视题型的训练容易导致学生思维固化，降低思维迁移能力，适当地增加数学教育中的思维量，能为学生思维发展提供更多可能性。

第二，批判和怀疑精神需要鼓励。现实中学生缺乏怀疑和批判能力的重要原因是不敢怀疑和批判。所以，教育者应及时鼓励学生的创造性行为和思维，激发学生去怀疑和批判，并体会其带来的成就。同时，怀疑和批判精神的养成需要长期关注，否则学生思维惰性就会显现，创新思维的培养也不能延续。此外，教师的鼓励应是辩证的，不能对所有怀疑和批判行为都表示赞许，否则创新就会成为“异想天开”。

5.调整评价思路，重视对学生思维发展和完善程度的诊断

现实中，数学教师主要是以对知识点的考察来评价学生学习效果的优劣，而思维则被放置在次要的位置上。这样就使评价失去了从根本上查漏补缺的功能。所以，数学教育者亟需转变评价观念，重视对学生数学思维的考察。首先，评价的对象应由数学知识转变为数学思维。这彰显了数学思维在数学学习中的核心地位，也体现了数学教育的着力点是数学思维。其次，评价的目的应转变为发展和完善学生思维。只有这样，我们才更明确思维是成绩的前提，但成绩不能替代思维的事实，进而更重视对学生数学思维的培养。最后，符合思维导向的评价，应在教师和学生两个活动系统之间建立一种动态的联系。在这个动态的过程中，数学教育者通过正式或非正式的方式与学生交流，探析学生数学学习心理、思维发展和完善程度，然后有针对性地对思维进行提升或补救。

参考文献

[1] 郑毓信.“数学与思维”字深思[J].数学教育学报，2015（1）.

[2] 胡绪，宋晓林.数学处方式教学探究[J].教学与管理，2014（4）.

[3] 代钦.对日本精英教育的怀旧及其借鉴作用——日本数学家藤田宏教授访谈录[J].数学教育学报，2010（2）.

【责任编辑 郭振玲】