浸染数学式思维风格 渗透有效的数学文化

《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数学文化是“贯穿于整个高中数学课程的重要内容之一”，并“要求渗透在每个模块与专题中”.然而新课程改革至今虽已过去十余年，但课堂上究竟该如何体现数学的文化价值，众多一线教师仍深感茫然.有人认为渗透数学文化太浪费时间，影响升学率.有人认为渗透数学文化无非就是课堂上介绍一些数学家的生平、言论或数学趣题，它们不过是知识传授之余供学生消遣、可有可无的一块内容.这些观点让数学文化的浸染与知识点的传授油水分离.其最终后果是学生学到了数学的壳却丢了核；学到了数学的形式却丢了灵魂.那么，在当下的应试环境下，我们究竟该如何教学，才能既兼顾学生的眼前利益，又能让学生因数学的学科熏陶而有长远发展的后劲？笔者认为，揭示数学式思维风格是鱼与熊掌兼得的一个有效措施.

一、数学式思维风格的意义

哈里森在他的《善用你的思考风格》中给出的思维风格含义是：“思维风格是人们在观察世界、理解世界及面对问题、提出问题时的方式，面对问题或抉择时，无论是否出于自觉，我们使用的一组特定的策略.”[1]斯腾伯格说：“思维风格是指人们所偏好的思维方式，它不是一种能力，而是一种偏好的表达和使用能力的方式.”[2]

上述论述表明，思维风格是人们在面临问题、解决问题时偏好的思考策略与行为方式.这种方式表现出如下三个特点：一是它的独特性；二是它的一贯性；三是它的综合性.因此，思维风格是个人价值观与行为方式的综合体现.

数学家群体看问题偏好共有的一套价值评判标准，我们可称之为数学式思维风格.具体地说，即是数学共同体特有的研究问题表现出来的着眼点的选择、共享的一套价值观念系统、问题转换偏好的方式方法.回溯数学的发明发现历程，不难窥见数学精神、数学价值取向、数学审美评判这些观念性成分对数学发展进程的决定性作用.所以，揭示数学大师们的思维风格，让学生由感悟、默会、赏析到知识背后的思想动机，是数学教育更高层次的追求.是数学文化教学表达的一种重要方式.这样的教学，将促使教师不仅关注数学知识的显性层面，还将知识背后的数学价值判断与审美选择等数学独有的思维特性加以彰显与揭示.这样学生不仅能学到“是什么”的知识，还能学到“为什么”“干什么”“怎么干”的知识，这种教学更能鞭辟入里地揭示数学思考的源头与本质，学生才能更好地像弗氏所说进行有效的“再创造”学习，“根之茂者其实遂，膏之沃者其光晔”.深受数学式风格浸染的学生，走上社会即便忘掉了具体知识细节，相信他们也能自如地用相关的数学思想与适当的行动去应对面临的种种情况.

二、数学式思维风格的特质

米山国藏谈过数学的七种精神，它们是：应用化精神；扩张化、一般化精神；组织化、系统化精神；思想的经济化精神；致力于发明发现的精神；统一建设的精神；严密化的精神.这七种精神活跃于数学家的研究中，表现为对周遭事物的认识、理解、解释、表述都是数学式思维风格.

例如，陈省身由三角形内角和为180°，转换为外角和为360°，推广并一般化，在此基础上，陈省身发展出一般曲面上封闭曲线方向改变量总和的公式.

又如，欧拉研究哥尼斯堡七桥问题，欧拉把桥、岛分别抽象成线与点，把七桥问题简化为通过4个点、7条线的“一笔画”问题.通过对“一笔画”问题的深入研究，寻找到满足“一笔画”的充要条件，漂亮而彻底解决了“七桥问题”，[3]并由此诞生出数学的一大分支——图论.

再如，哲学家总是在前人工作的基础上，摧毁前人的建筑，用自己的工作证明别人是错的，写出自己的一页.但数学家不一样，数学家总是用自己的新建筑使前人的工作显得更加完满、更加巩固，添上自己的一页.[4]比如，从数学的统一性着眼，早期数学家希望数学的全部对象统一于自然数，然后希望统一于几何、统一于逻辑、统一于算术.经过这些试图统一的努力都失败之后，诞生出哥德尔定理.数学家正是在数学式思维风格──“统一建设的精神”之下探索、失败、再探索过程中，发现了许多新的分支，通过不断改组、不断完善自己的理论，从而使数学王国更加生机勃勃，气象万千.

一叶知秋，见微知著，上述案例让我们看出数学式思维风格的若干特质.

1.在变化中寻找不变量，在不变的事物中追寻可变量的思维习性.

2.遇到特殊问题，试图用一般化的思维习性解决.陈省身正是从不满足于三角形、四边形等多边形内角和随边数变化的特点出发，把外角和为常数的结论推广到一般曲面，得到“陈氏类”理论.这种步步深入、由特殊到一般思考问题的方式，体现的是数学“扩张化的精神”“统一建设的精神”及“严密化的精神”.

3.大胆想象、小心求证的思维习性，丰富的直觉、精巧的构思的习性.非欧几何的发明发现过程可说明这一点.

4.善于数学化、合理表征的思维习性.欧拉为了解决哥尼斯堡七桥问题，把岛与道路抽象成点与线，上述“数学化”过程使人更易集中精力于问题的关键处.同时，七桥问题的解决过程让我们看到恰当表征的重要性——将七桥问题表征为“一笔画”问题.七桥问题的解决过程，体现了数学“思想的经济化精神”，而类比七桥问题设计出周游世界问题体现的是“致力于发明发现的精神”.[5]

从毕氏试图把数学统一于自然数，到形式主义代表人物希尔伯特希望把数学统一于算术，体现的是数学式的思维风格──“统一建设的精神”“严密化的精神”.

人的观念系统中若持有这七种数学精神，他的思维风格必将是数学式的，外显的行为处事方式也将是数学式的；这种人往往在没有数学的地方能看到数学，并总能恰当地运用数学式思维高效经济地解决问题.

戴维斯指出：“在数学学习中，学生进行数学工作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才能有更多的机会取得成功.”[6]这段话恰好说明了相比于知识的汲取，让学生感悟、模仿、习得数学式思维风格更具深远意义.

三、浸染数学式思维风格的教学策略endprint

（一）生书熟讲 熟书生温

华罗庚在《高等数学讲义》中说：我讲书喜欢埋下伏笔，有些重要概念、方法尽可能早地在具体问题中提出，生书熟讲，熟书生温，似乎在复习，但把新东西讲进去了.揭示数学式思维风格，我们不妨效仿华老的做法，即对整个中学教材体系进行梳理，对教材中体现出的数学式思维不厌不倦地反复揭示.比如每次上概念课前，教师都应该例行思考：本节概念课，在引入、定义以及进行数学规定时，究竟体现了数学的哪些特色思维？在概念引入前是否需要介绍相关的数学价值观念，而把本节内容纳入为上述观点的具体应用？学完概念后对学生提点：反思学习过程，在哪些环节能看出数学人的一贯做法？长久下去，学生对数学式思维风格就能多一份了然，在后续学习中，只要遇到类似情境，就能自觉地运用数学式思维，遇新思陈、推陈出新，对知识的学习与运用就能做到前呼后应、上挂下连.这样的数学学习自然是自觉、自娱、自得且高效的.

比如我们让学生感悟“思想的经济化精神”的体现──“化归”思想，初中学习二元一次方程、分式方程、无理方程最后都是化归为一元一次方程.那么高中学习一元二次方程时，学生也将自觉运用“化归”这一思维的望远镜，“看到”需要通过分解因式化归为一元一次方程.同样，一元高次方程需要分解因式化归为一元一次方程.后续方程内容的学习，学生就能知道“怎么干”“干什么”“为什么这么干”，从而对解方程的思路了然于胸.在学习指数与对数函数初期，学生对形如y=a f （x），y=loga f（x）的函数单调性、值域等类问题常感吃力，但只要令f（x）=t，则只需先考虑t的单调性、t的取值范围，问题就化归为初始的简单函数y=at，y=logat的问题了.在三角函数学习中，学习y=Asin（ω+φ）的图象与性质时，无论是求值域、求单调区间，还是求对称轴等，只要化归为最基本的函数y=sint（t=ωx+φ）的相关问题.同样，立几问题多是降维化归为平几问题.“书读百遍，其义自现”，学生对化归的方式遇之愈丰，知之愈明，迁移愈广. 李白说“但得此中味，勿为醒者传”，不断经历化归这一化繁为简过程的学生，对化归思维的妙处肯定与李白诗中的醉汉有得一比，都是身心得到了难以言喻的高峰体验.

（二）溯源析流 道术合一

杜威说：“如果学生不能筹划自己解决问题的方法，自己寻找出路，他就学不到什么，即使他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还是学不到什么.”弗赖登塔尔一直倡导“做中学”，他的理由是“……数学家从来不按照他们发现、创造数学的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，他们常常以‘显而易见或是‘容易看出轻描淡写地一笔带过；而教科书则做得更彻底，往往把表达的思维过程与实际创造的进程完全颠倒……”[7]因此，要让学生“做中学”有成效，学生就应该了解一些数学式思维风格，这样当学生自己“做数学”时，他们才会胸中有章法、目力能预见，才不至于整天被老师牵着鼻子晕头转向，逐渐地，学习状态就能像贝特拉米所期望的那样“学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行思考活动”.这种亲历“做数学”的学习，学生除学到知识，还能不断感悟、印证数学式思维风格的美妙与奇崛，这是溯源析流、道术合一的数学教学.

比如教师讲授复数时，把复数概念的引入设计成：“已知两数的和是10，积是40，求这两数.”让学生面临当初数学家同样的困窘.这时教师设计先行组织者，即让学生了解从自然数到正分数、负整数、负分数、有理数、无理数、实数的发展历程，知晓数学式思维风格，即对数系扩充的规则要求（因袭数性）.再启发学生，对于前面的每一种数，都找到了它的几何表征并要研究其运算与性质，那么复数呢，能否有几何表征方式？复数的运算法则又是什么样的？……这样既避免了学生无方向的低效摸索，又让其在数学式思维风格引导下，像数学家一样经历知识的“再创造”过程.让学生体悟到数学研究的一般精神与方法.这种方式的学习对于学生的意义，正如美国谚语所说：我听到的会忘记，看到的能记住，唯有做过的才入骨入髓.[7]

（三）返身自观 缄默显化

由于教学进度关系，由于自身的怠惰与麻痹，或受师生知识水平所限，师生容易关注显性知识的传递与学习，而让个体在学习中的一些缄默感受一滑而过.比如为何集合中元素要规定三性，为什么要定义直线的方向向量而非法向量，有了倾斜角为何还要用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度，数学归纳法为什么有了奠基步与递推步后就可以证明对一切自然数都成立？如此诸多缄默感受会积压在学生心头.其实学生缄默困惑点有极大成分是数学式思维风格导致的结果. 学生懵懂，教师难言.如果师生在教学中能经常驻足停留片刻，返身自观其思维活动中涉及的思路、方法、观念，进行显化慢分析，并与同伴交流，一方面能放大定格其中的数学式思维风格，并有效固化在学生的观念系统中；另一方面能帮助学生纠正模糊懵懂观念上的偏差.比如定义直线的方向向量是为了刻画和确定直线的方向，因为直线的方向相同指的是直线互相平行，而一条直线的法向量无法确定直线的方向.两个不共线的法向量可以确定一个平面，而与平面垂直的直线方向是确定的，但用不共线的两个法向量刻画直线显然不符合数学“思想的经济化精神”.讲过椭圆第二定义后，教师可以让学生反思一篇小论文：学过椭圆第二定义后，我们还可研究什么内容，怎么研究？定义需作哪些改变？由数学的“统一建设的精神”学生知晓，前面既然讨论了e<1，下面需要讨论e>1，e=1的情况，这些教学内容尽可以放手让学生自己去探究.由于这些知识是学生自己亲身“做数学”的体验，他们更易对数学式思维风格在数学应用中的普适有效有深刻的认同感.

当学生对数学的基本认识是以文化观念为积淀而不是单纯以知识为唯一目的，就可以获得更长久、更真实的对于数学的印象……这种长久性只有在数学课程达到文化层面的时候才有可能达到.[8]只有持续地在教学中濡染数学式思维风格，学生数学素养的提升才能不期而至，不为而成.在当前应试环境下，这是让数学课程抵达文化层面的最佳途径.

参考文献：

[1] 哈里森.善用你的思考风格[M].廖立文，译.台北：远流出版公司，1985：15.

[2] 斯腾伯格.活用你的思考风格[M].薛侚，译.台北：天下远见出版股份有限公司，1999：28.

[3] 姜伯驹.一笔画和邮递线路问题[M]. 北京：中国青年出版社，1962.

[4] 黄晓学，苗正科.从七桥问题看图论的本原思想与问话内涵[J].数学教育学报，2008（4）.

[5] 张景中.数学与哲学 [M].北京：中国少年儿童出版社，2003：99.

[6] DAVIS W J.我们所教的数学就是我们所做的数学吗[J].数学译林，1997（1）：56-63.

[7] 乔爱萍.弗赖登塔尔教育思想在今天的现实意义[J].江苏教育与研究（理论版），2014（2）.

[8] 张维忠.数学教育中的数学文化 [M].上海：上海教育出版社，2011.endprint