数学建模队员选拔问题解析

2015-12-26蔡俊娟

长春教育学院学报 2015年12期

蔡俊娟

蔡俊娟/厦门海洋职业技术学院基础部在读硕士(福建厦门361005)。

问题:需要选择学生参加大学生数学建模竞赛，今假设有 20 名队员(A，B，C，D，…S，T)准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛。表1是20名队员的7科成绩。(详见美国大学生数学建模竞赛题)

表1 20名队员7科成绩

我们将对以上20名参加培训的学生进行分数统计，并进行汇总排序，从而选出最优秀的18名学生参加大学生数学建模比赛。

一、数据处理

不论我们用何种方法来选拔参赛的学生，我们都会发现这20位学生7门学科中，有些科目所有学生的分数普遍较高(比如协作能力)，有些科目分数普遍较低(比如其它特长)。所以首先我们必须对数据进行归一化处理，以去除各因素之间打分差距的相互影响，我们构造相对偏差矩阵R:

也就是先找出每列因素指标里的最小值和区间长度，再用每位学生的分数减去最小值并除以区间长度，所得到的数据都介在0－1之间，最高分值就转化为1，最低分值就转化为0，这样就可以避免由于某些选项的取值偏小，而忽略其对整体评价的重要性。

将所有数据处理过后，我们将采用三种方法来对20位学生进行选拔。

二、选拔方法

(一)不考虑各因素的权重，直接计算成绩并选拔

首先，我们先选择最简单的一种方式，就是不考虑各因素的权重，直接将7个因素指标的每位学员的分数相加，这样我们就可以非常容易地得到各学员的总成绩，详见表2。

表中，分数最高的学生为D(5.12分)，而应该淘汰分数最低的两位选手，分别是B(1.24)和J(2.34)。纵观各学生的成绩，D选手分数普遍比较高，特别是外语水平和协作能力的分数都是第一。而选手J的其他特长只有4分，因此拉低他的总体分数。

表2 不考虑权重所得到的学生分数

(二)利用各指标来确定权重，计算各选手的成绩

(一)所采用的方法，最大的缺点是未考虑各因素之间权重的大小关系。通过观察各学员的分数，我们发现所选拔的学生都是各方面成绩比较均衡的学生，但这样的计算方式并不一定太合理，所以接下来我们利用各指标之间的方差值来计算各因素指标的权重。

1.计算各指标的权重系数:

2.对权重系数vi进行归一化处理:为了保证公平性，权重还需进行归一化处理:

利用以上三个步骤，我们可以得到各因素指标的权重及20位队员的分数如下表。

表3 7个因素的权重

表4 考虑权重后，20名学员的总成绩

从上述两表中可以发现，在这7个因素指标中，最重要的应该是动手能力，而权重最小的是学科成绩和其他特长。因此，20位学生的加权成绩计算过后，我们应该淘汰的选手是B(0.1851)和N(0.5301)。

(三)利用层次分析法，计算各选手的成绩

但是由于数学建模比赛中有些因素是非常重要的，在(二)的计算过程中，权重最小的为学科成绩，但是根据以往的经验，我们一般认为学习成绩应该比其它特长要重要得多，但是按照(二)的选择方式，重要的因素是动手能力，学科成绩反而并不重要。

1.建立系统的递阶层次结构。

2.构造两两比较矩阵。因为指标因素众多，要直接对每一个因素指标确定权重是非常有困难的。因此接下来，我们对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，做出权重分析［1］。

我们不妨认为在这七个因素中，分别的重要性依次应该是学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语水平、协作能力、其他特长。如果认为七个因素指标的顺序不应该如此，只需根据各自的要求进行排序即可。

其中，7表示特别重要，也就是说本文认为学科成绩比其他特长要重要得多，当然其所占的权重分数要高得多。

3.单个矩阵的一致性检验。由于我们在计算的过程中是两两进行比较，容易构成甲比乙强，乙比丙强，但是丙确比甲强。判断矩阵中的数值多半是根据专家的意见给出的，而衡量判断矩阵的合格标准是其是否具有一致性。由于在评判过程中，每一件事物的评判准则受主观因素影响较大，完全一致的判断往往是不现实的，一般只需近似地满足一致性即可。

接下来，我们需要判断我们所构造的矩阵A的一致性。

(1)利用数学软件MATHEMATICA:Eigenvalues［矩阵］，我们可以得到该矩阵的特征值，并找出其中最大的特征值:7.19553。通过以下公式计算一致性指标: