如何构造相似三角形

□邹兴平

如何构造相似三角形

□邹兴平

学习了相似三角形以后，我们会经常遇到计算或证明问题，而事实上，许多的问题看似与相似三角形无关，但通过作适当的辅助线即可构造出相似三角形，从而使问题获解.

一、作平行线构造相似三角形

例1如图1，M、N分别在△ABC的边AB、AC上，且BM＝CN，MN、BC的延长线交于点P.请说出AC· NP＝AB·MP的理由.

图1

分析：本题的题设中有BM＝ CN，自然会想到用等线段代换.但光有等线段代换还不够，观察AC· NP＝AB·MP，即，还必须寻求第三个比作为中间量.由条件和图形又找不到相似三角形或平行线，此时我们就会想到添加辅助线，即过某分点作某线的平行线.这里我们可以过点N作NQ∥AB交BC于Q，得△CNQ∽△CAB和△PNQ∽△PMB，则，又BM＝CN，故本题可证.

说明：过点N作NQ∥AB交BC于Q，所以△CNQ∽△CAB，得又△PNQ∽△PMB，所以，而BM＝CN，则，所以，故AC·NP＝ AB·MP.

点评：作平行线构造相似三角形是解决此类问题的首选，值得注意的是当图形中没有相似三角形或平行线时，可以过分点作平行线，过分点作平行线的原则是不能破坏待证结论中的线段.另外，证明比例式或等积式的基本方法是证明包含比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似.如果直接证明不容易，则可借助等线段转化或等比转化.

二、借助于全等构造相似三角形

例2如图2，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，D是垂足.试说明：BC2＝2CD·AC.

图2

分析：题目中给出的条件和图形都很简单、明确，但是待证的结论却与我们熟悉的情况不同，除了有四条线段外，还多了一个系数“2”.因此首先要先处理这个“2”，若能把“2”看成是CD的系数，即可设x＝2CD，则待证式就转化为BC2＝x· AC，显然这又是我们平常所熟悉的式子，于是我们可以设法转化这个系数“2”，即在DA上截取DE＝CD，则CE＝2CD，连结BE，即可证得△CBE∽△CAB，使本题获证.

说明：在DA上截取DE＝CD，连结BE，则CE＝2CD.因为BD⊥AC，所以∠BDC＝∠BDE＝90°.因为BD＝BD，所以△BDC≌△BDE，所以∠C＝∠CEB.又AB＝AC，所以∠C＝∠CBA，即∠CEB＝∠CBA，所以△CBE∽△CAB，所以，即BC2＝ CE·AC.而CE＝2CD，所以BC2＝2CD·AC.

点评：为了处理结论中的“2”，结合图形的特征，可从构造全等三角形入手.事实上，本题中的“2”还可以看成是AC的系数，这样就可以通过延长CA到E，使AE＝AC，连结BE；也可以把结论的两边同除以2，得到BC2前面的系数是“”，这时可以取BC的中点E，连结AE.在证明带有倍、分线段的结论时，关键要处理好倍、分的关系，从不同角度去分析，从而构造出相似三角形.另外，在处理这类问题的时候，我们还应注意数形结合的思想方法的运用，以便很快找到问题的切入点.