如何求概率

□秦振

如何求概率

□秦振

一、列举法

就是根据题意列举出事件的所有可能的n种结果，从中找出事件A的所有可能的m种结果，再利用公式计算其概率.

例1小颖准备了10张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上，从中任取一张，以卡片上的数作为不等式ax＋3＞0的系数a，求该不等式没有正整数解的概率.

分析：用列举法，将卡片上的10个数分别代入不等式求解.

解：当a＝－1时，不等式为－x＋ 3＞0，解不等式，得x＜3，不等式有正整数解.当a＝－2时，不等式为－2x＋3＞0，解不等式，得不等式有正整数解.当a＝－3时，不等式为－3x＋3＞0，解不等式，得x＜1，不等式没有正整数解.当a＝－4时，不等式为－4x＋3＞0，解不等式，得，不等式没有正整数解.……，当a取－3至－10中任意一个整数时，不等式没有正整数解.所以不等式没有正整数解的概率为

点评：应用列举法解题时，在计算时应该及时观察、归纳解题过程及计算结果的规律，通过猜想，减少运算量，简化解题过程.

二、树状图法

在求概率的过程中，为了分析出所有可能出现的结果，我们采用“树状图”的方法，将所有结果都列出来，这样既避免了重复和遗漏，又直观且有条理.

例2从一副扑克牌中取出两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、4.将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸一张，那么摸出的数字之和等于5的概率是多少？

分析：根据题意，可以用树状图法，列出从两组牌中各摸一张的所有可能情况，从中找出其数字之和为5的所有情况，再计算其概率.

解：从两组牌中各摸一张的所有可能情况：如图1所示.从图中可知共有16种机会均等的结果，而两张牌的牌面数字之和等于5的结果有4种，因此P（摸出的数字之和等于

图1　

点评：利用树形图时，务必注意各种情况出现的可能性相同.

三、列表法

对于比较复杂的问题，可以用列表的方法将所有可能的结果全部列出，然后再求解.它适合出现的结果比较多的情况.

例3已知甲袋中有四张除数字外完全相同的标有1、2、3、4的卡片，乙袋中有三张除数字外完全相同的标有1、2、3的卡片，从甲袋和乙袋中分别抽出一张卡片.

（1）分别用a、b表示从甲袋、乙袋抽出的卡片上标有的数字，请用列表法写成（a，b）的所有取值；

（2）求在（a，b）中关于x的一元二次方程x2－ax＋2b＝0有实数根的概率.

分析：（1）a可以取不同的4个值，b可以取不同的3个值，所以（a，b）有12个可能的结果.

（2）方程x2－ax＋2b＝0有实数根的条件是Δ＝a2－8b≥0，在（1）的结果中，选出满足这个条件的（a，b）的个数，然后求概率.

解：（1）（a，b）所有可能如下表：

1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）ab

（2）要使方程x2－ax＋2b＝0有实数根，则需Δ＝a2－8b≥0.而使Δ＝a2－8b≥0成立的（a，b）有（3，1）、（4，1）、（4，2），因此所求概率为P＝

点评：列举法、树状图法和列表法是求概率的三种基本方法.解题时，可以根据问题的特点，选择适当的方法，使解题思路更清晰、过程更简洁.

四、利用几何图形长度的比求概率

例4将长为18cm的铁丝任意剪成两段，N表示“较长的一段大于或等于较短一段的2倍”，求N的概率.

分析：如图2所示，设分点为M，分析M的位置变化，归纳出点N的可能位置.

图2　

解：如图2所示，设分点为M，AM＝x，根据题意0＜x＜18.当有0＜x＜6或12＜x＜18时，满足较长的一段大于或等于较短一段的2倍，所以

点评：如果试验的可能性结果用线段的长度n表示，A可能发生的可能性用线段的长度m表示，则由概率的定义可得

五、利用几何图形面积的比求概率

根据概率的定义可知，在几何图形中，事件发生的概率就是该图形的面积与总图形面积的比.

例5如图3所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个正方形拼成的一个大正方形.小颖同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别为2和1，则针扎在小正方形（阴影）区域的概率是（）

图3　

分析：分别求出大正方形和小正方形的面积，其概率为小正方形与大正方形面积的比.

点评：这类问题可归纳为：设在面积为S的区域中有任意一个区域A，它的面积为SA，如果任意投掷一点，点落入区域A中的可能性大小与SA成正比，而与A的位置和形状无关，点落入A的概率为

六、利用频率估计概率

在相同的条件下进行多次重复试验后，事件发生的频率会逐渐稳定，稳定后的频率可以作为概率的估计值，反之，如果知道一个事件发生的概率，就可以由此推断出在多次重复试验后，该事件发生的频率.

例6某出版社对其发行的杂志的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：

（1）计算表中的各个频率；

（2）读者对该杂志满意的概率P（A）大约是多少？

?

（2）用稳定的频率值估计概率.

解：（1）表中的频率分别为：0.998、0.998、0.998、0.999、1.

（2）由（1）的结果可知，出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是：读者对该杂志满意的概率大约是P（A）＝0.998.

点评：有的问题从表面上看是偶然性起作用，实际上这种偶然性始终是受内部隐藏着的规律支配的，关键在于发现这些规律.

列表法和树状图法是计算概率常用且有效的两种方法，是解决概率问题的左膀右臂.树状图法适合于涉及3个或3个以上因素的较复杂的事件.有些可能的结果没法一一统计，例如雨点落在地面上的位置，转盘上的指针最后停下来的位置等等，这时可以借助几何图形的面积或线段的长度来计算.