基于PMA的船舶多学科协同可靠性分析

蔡厚平，李明霞

(南通航运职业技术学院，江苏 南通226010)

0 引 言

船舶作为一个复杂的庞大系统，涉及到操纵、阻力、耐波、结构、振动与噪声、工艺、材料等多个方面，这些方面之间存在着相互影响、制约的耦合关系，使得船舶设计是一个多学科、多变量、多约束的复杂工程设计问题。传统的串行设计方法由于割裂了学科间耦合关系，设计的结果往往失去了全局最优性，而陷入局部最优。近年来，兴起于航空航天领域的多学科设计优化(Multidisciplinary Design Optimization，MDO)开始被应用于船舶优化设计领域。Christopher［1］将粒子群算法与协同优化算法结合，以年运货量、单位重量运输费用、空船质量为优化目标完成了杂货船多学科概念设计。李冬琴等［2］针对海洋平台支援船优化设计存在的多目标、多约束特点，建立了海洋平台支援船的多学科优化设计模型，并采用协同优化算法，完成了优化模型的求解;姜哲等［3］针对船舶和海洋平台设计的具体特点，归纳了适合于船舶或海洋平台多学科设计优化的MDO算法所需要具备的特征。

然而，上述多学科优化设计是在确定性条件下得出的优化方案，而忽略了船舶设计制造过程中存在着不确定的事实，这样出来的优化方案存在2 个缺陷:一是系统性能受设计变量波动敏感，严重时导致产品失效，甚至灾难发生;二是设计方案往往偏于保守，往往以牺牲经济性为代价。基于可靠性的多学科设计优化 (Reliability － Based Multidisciplinary Design Optimization，RBMDO)因而得到了广泛关注，DU 等［4］在所提出的RBMDO 策略中，采用了性能测量法 (Performance Measure Approach，PMA) 与多学科可行方向法 (Multidisciplinary Feasible ，MDF)结合的方法进行可靠性分析，但复杂产品的系统分析是一个迭代过程，需要进行大量的单学科分析，计算效率低下。孟德彪 等［5］提 出 将 PMA 与 单 学 科 可 行 方 向 法 (Individual Disciplinary Feasible ，IDF)结合的方法，但系统级仍然承担整个可靠性分析任务，子学科系统仍然没有独自优化能力。

针对上述问题，本文提出一种基于性能策略法的遗传协同优化算法的多学科可靠性分析方法。该方法将PMA 方法与多学科协同优化算法结合进行复杂系统工程可靠性分析。同时，采用遗传算法求解系统级可靠性优化问题，克服多学科协同优化算法中拉格朗日乘子不存在的缺陷。通过散货船概念设计多学科可靠性分析这一简单的工程例子证明了文中提出方法的效率和精度，这个优点在大规模的复杂工程系统的设计中能够更好地体现出来。

1 多学科遗传－协同优化算法

不失一般性，我们以三学科的例子来说明多学科优化设计问题。如图1 所示。

图1 三学科多学科优化设计框架Fig.1 Multidisciplinary design optimization framework with three disciplines

优化数学模型表示为:

在上述多学科系统中，xs为共享变量，是系统级和学科级的输入设计变量;xi为学科级各自的输入变量，y=(y21，y31，y12，y32，y12，y32)为耦合变量，yij为学科i 的输出，同时，也作为学科j 的输入;zi为学科i 的输出。

协同优化算法将式(1)所述优化问题分为两级:一个系统级和并行的多个子学科级同时通过附加到系统级优化中的等式约束来保证不同学科的一致性，一致性等式的值通过学科级优化得到。如图2所示，优化初期，系统级向各个子学科级传递系统级共享变量的期望值，各个子学科级在满足学科内局部约束的条件下，其目标函数即为子学科间共享变量与系统级传递的期望值的差距最小，子学科级优化结束后，将共享变量解返回到系统级，系统级在满足一致性等式约束条件下，优化共享变量，以解决各学科间耦合变量的不一致。通过系统级优化和子学科级之间的多次迭代，最终得到满足一致性约束的最优方案。

图2 协同优化框架Fig.2 Flow chart of CO

协同优化算法中系统级优化的一致性等式约束条件形式是L2 － 范数形式，其导数在最优解处的Jacobia 矩阵是奇异矩阵将导致系统级Kuhn －Tucker条件无法满足，优化求解时采用基于梯度的优化方法，常出现无法收敛或收敛陷入局部最优的尴尬境地。针对这种情况，本文采用具有优秀全局搜索能力的遗传算法取代系统级中基于梯度的优化算法，由于遗传算法并不需要计算拉格朗日乘子，在一定程度上能保证协同算法的鲁棒性。

2 可靠性分析与多学科遗传－协同优化算法的集成

2.1 可靠性分析方法

可靠性分析的任务其实就是计算下面的这样一个多元积分:

式中:g(x)为极限状态函数;g(x)≤0 为安全模式;X={x1，x2，…，xn}为随机设计变量;fx(X)为X 的联合概率密度函数;R = Prob{g(x)≤0}为极限状态函数可靠性概率。

在复杂系统设计时，fx(X)和g(x)通常具有高维非线性，往往无法通过解析法直接获得极限状态函数的可靠度。在设计问题比较简单时，蒙特卡罗仿真(MCS)方法能够有效解决上述问题，但当工程系统设计问题规模增大时，该方法的计算成本将呈几何级数增长。一阶可靠性方法 (First Order Reliability Method，FORM)和二阶可靠性方法(Second Order Reliability Method，SORM)是解决这类概率积分高效的解析方法。FORM 或SORM 求解上式的共同点是通过求解MPP，MPP 是U 空间中极限状态函数曲线上概率密度函数值最大的点，即极限状态函数上对可靠度积分贡献最大的点，且把从原点到MPP 的距离定义为可靠性指数β，如图3所示。

图3 MPP 点示意图Fig.3 Schematic diagram of MPP

求解MPP 的步骤如下:

首先，随机变量X={x1，x2，…，xn}，通过把随机变量由起始空间转换到标准正态空间中的变量实现的转换后的叫u 空间，也叫标准正态空间，该空间中的变量服从N ～(0，1)分布。转换后式就变为如下形式:

然后，采用FORM 或SORM 在MPP 点处展开极限状态函数g(u)。FORM 方法计算简便，且它的计算精度一般能达到工程需求，因此本文用FORM 方法来进行可靠性分析。

求解MPP 点的数学模型如下:

上式的最优解即为MPP 点，β = u*为可靠度指标，由此得到可靠度R=φ(β)

然而，式(3)和式(4)是计算概率约束的值，而在设计优化中，通常有很多约束不起作用，也就是说它们的概率约束非常接近于1，这时求解式(3)和式(4)方法仍然对它们进行大量的计算，这样就会带来很高的计算负担，造成计算效率低的问题。为了解决这个问题，只在必要的水平进行可靠性评价，即定义［6］

gR可通过如下模型求解:

式(6)式即为PMA 方法的数学表达。

2.2 基于PMA 的多学科遗传协同可靠性分析

考虑不确定性，式(1)多学科设计优化问题数学模型变为:

本文采用协同优化的方法将可靠性约束分成单学科问题进行求解，这使得系统对目标函数优化的计算变得简单。尤其当系统比较复杂、可靠性约束较多时，其效率会更高。流程如图4 所示。

图4 PMA－GA－CO 框架Fig.4 Flow chart of PMA－GA－CO

图4 中，u 是与x 空间中的变量相对应的设计变量在u 空间所组成的向量。us0，uj0，yi0。是从系统级传下来的目标值。对于给定的R，β=φ-1(R)，φ-1是标准正态分布的累积分布函数的反函数。

采用遗传协同优化算法求解上式的计算步骤如下:

1)系统级将us0，uj0，yi0作为子系统共享变量的期望值传递给子学科。

2)子学科并行优化，求得各子学科的最优解。用最优解替换q 中的us0，uj0，yi0，这样新得到的q 就作为系统级优化的约束，以实现学科间的一致性，学科分析被当作子系统级优化的等式约束参与运算。

3)系统级优化得到新的最优解，将其作为新的期望值传给各子学科级。

4)循环迭代求解，如收敛，则结束，否则转步骤2。

3 散货船概念设计多学科协同可靠性分析

3.1 散货船概念设计多学科数学模型建立

本文在参考文献［7］中载重35 000 DWT 散货船散货船多目标概念设计优化例子的基础上，将其修改为一多学科设计优化问题。根据船舶总体概念设计的实际流程，按照多学科设计优化的思路，将散货船概念设计优化问题分解为1 个系统级层和5 个子学科级，如图5 所示。

图5 散货船概念协同设计框架Fig.5 Conceptual framework for collaborative design of bulk carriers

各个子学科级的数学模型分析如下:

1)浮性与稳性子系统

对于船舶设计而言，首先要保证船舶的浮态和初稳性。本子系统计算重量和排水量和初稳性高。概念设计阶段要求重量W 和排水量Δ 相等。其中排水量计算公式为:

W 由空船重量WL和载重量DWT 两个部分组成，估算公式参照文献［7］。初稳性约束条件为［8］:

2)阻力子系统

船舶阻力一般可以分成两大部分，一是裸船体在静水中的阻力，另外一部分包括空气阻力、波浪引起的阻力增值和附体阻力。设RT为船的总阻力，可以采用Holtrop 阻力公式估算［9］:

3)推进子系统

推进子系统根据给定的主机功率和转速，进行螺旋桨的终结没计。螺旋桨总效率:

式中:ηs为轴系效率;ηR为相对旋转效率;ηO为敞水效率、相对旋转效率;ηH为船身效率。

4)操纵性与适航性子系统

在概念设计阶段，由于获得的数据优先，仅对船舶的相对回转直径和横摇周期进行估算。相对回转直径的计算采用Lyster 和Knights 的回归公式［10］:

式中:δ 为舵角;Ab为首部浸湿面积;Trim为船舶纵倾。

适居性条件需满足

式中

5)造价子系统

船舶造价采用分项估价法，将船舶分成船体钢料、木作栖装、机电设备三大项，分项的价格均根据其重量乘以每吨价格估算。由此可以写出船价估算公式:

式中:rs，ro，rm分别为船体钢料、舾装及机电设备每吨的价格。本文取rs= 0.5，ro= 0.8，rm= 1.5。

3.2 可靠性分析及结果讨论

由于制造工艺误差，设计变量往往为不确定量，当设计变量有微小波动时，会对经济性和安全性造成一定影响，为简化分析，本例将船长L，船宽B，型深D，吃水T，方形系数CB看作随机设计变量，浮性要求g1、初稳性要求g2、适居性条件g3看作极限状态函数，进行可靠性分析。假设L，B，D，T，CB服从正态分布，变差系数为0.1，(L，B，D，T，CB)=(172，31.7，11.85，9.4，0.79)，各极限状态函数的多学科可靠性分析数学描述如下:

1)对于浮性要求g1:

2)对于初稳性要求g2:

3)对于适居性条件g3:

根据本文提出方法，建立极限状态函数g1，g2，g3的CO 框架，即一个系统级优化和2 个子系统级优化。采用MCS 方法，取样10 000 次所得结果作为上述船舶多学科可靠性分析的标准结果，比较文献［4］中的PMA － MDF 与本文的PMA － GA － CO 算法。结果如表1 所示。

表1 可靠性分析结果比较Tab.1 Comparative of reliability analysis results

由表1 可知，PMA －MDF 与PMA －GA －CO 方法得出的可靠性指数和可靠度与MCS 方法得出的结果基本相同。但是，PMA －GA －CO 函数评价次数明显少于PMA－MDF 方法。说明，本文方法计算效率高于PMA－MDF 方法。当工程系统设计问题规模增大时，这种计算成本的节约将更加明显。

4 结 语

在大规模工程中，现有的多学科可靠性分析方法由于只进行系统级优化使过多的时间花费在学科分析子模块和系统级优化器的通讯上，求解效率很低，系统级优化器的工作负担很重。文中提出采用PMA －GA －CO，在这个方法中，所有的学科能够独立的进行优化。这个方法不仅解除了所有学科之间的耦合，而且提高了搜索MPP 的效率。由于学科级能进行优化，系统级优化器的负担可显著地降低。通过散货船概念设计多学科可靠性分这一简单的工程例子证明了文中提出方法的精度，这个优点在大规模的工程系统设计中能够更好地体现出来。此外，文中提出的方法仅仅对随机不确定性进行分析，并没有考虑认知不确定性，下一步的研究将考虑随机和认知不确定同时存在的情况下，进行多学科优化设计可靠性分析。

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