考虑横向剪切变形下水中矩形板声振特性研究

朱拥勇

(海军工程大学 兵器工程系，湖北 武汉430033)

0 引 言

水中结构的特征阻抗与结构周围的声传输介质特征阻抗接近，故介质阻抗对结构振动不可忽略。结构振动向周围介质空间辐射声能，同时反作用于结构的声场又改变结构的振动特性，这种特性称为流-固耦合，通常求解时的步骤为:先求解结构的声辐射问题，得到结构的辐射阻抗，再将结构辐射阻抗等效为流体对结构的反作用力，用结构的位移变量引入到结构的振动方程中，求解该耦合方程就得到结构在考虑流体加载效应时的响应，进而得到结构辐射的声压场。1952 年，Junger［1］最早对浸没声场中的圆柱壳进行研究，将此类问题简化为平面问题情况下分析流体载荷对圆柱壳振动特性影响，得出了附连水的存在降低壳体固有频率显著影响结构低频振动的结论。Davies［2］采用瑞利积分公式研究了水下矩形薄板受到简谐点激励、面激励、线激励作用下低频段的声振特性。Nelisse 和Beslin［3］用一组特定的三角函数作为基函数，采用瑞利-里兹方法求解了有、无障板条件下矩形板在水中的辐射效率。Chang［4］假定流体在不可压、无旋无粘以及“湿”模态扰度等于“干”模态扰度的条件下，利用二维傅里叶变换，求解了无限大障板中单面临水的简支、固支矩形板的声振动频率。求解水中结构声辐射问题还有一种等效方法，将结构声辐射抗等效为附加在结构上的质量块，结构的同振质量随之改变，将改变的质量以结构密度的等效密度体现出来［5］。国内对水中结构声振特性研究，崔宏武等［6］对水下结构声振特性做了详细的理论分析，具有国内研究开创性。何祚镛出版专著重点研究了水下结构和声场耦合产生振动和声场的分析计算［7］。汤渭霖［8］、石焕文［9］等集中于研究结构噪声的控制激励，系统研究了水中弹性结构声散射和声辐射以及水下裂纹板结构的声振耦合机理。研究结构-流体耦合系统的动态特性，需充分考虑结构表面声压对结构的作用力，结构在外界激励载荷和流体耦合力的综合作用下达到动态平衡，这样的研究对水下航行体的设计更具参考价值。

本文采用变分法建立流- 固耦合方程，通过求解结构的质量矩阵及刚度矩阵，并结合模态叠加方法分析结构模态辐射效率及振动模态耦合对结构产生的影响，对比分析空气与水中结构的声振特性。

1 声振模型及基本理论公式

1.1 矩形板动力学响应

一般从经典的线弹性理论出发，给出描述问题的控制方程、物理方程和几何方程，以及实际求解时的位移、应力、应变以及边界条件。经典板壳振动弹性理论是基于Love -Kirchhoff 假定的所谓薄板理论，采用直法线假定，忽略了板横向的剪切变形，计算误差较大。镶嵌在无限大障板中的简支矩形板模型如图1 所示，长、宽分别为a，b，流体介质为轻流体空气和重流体水介质。变分法涉及到结构动力和应变能，基于Mindlin 模型，考虑板振动的横向剪切变形下板的位移场可表示为

式中:u，v，w 为板沿x，y，z 方向的振动位移;u0，v0，w0为中面的面内和法向线位移;φx和φy为横截面分别绕x 和y 轴的旋转角位移。从而可知，计算过程中含有3 个线自由度u0，v0，w0，以及2 个法向转角自由度φx和φy。线自由度以与坐标轴的正方向一致时为正，转角自由度遵守右手螺旋定则，以绕各坐标轴顺时针方向转动为正。

图1 简支矩形层合板结构的空间模型Fig.1 Space model of simply supported multilayered rectangular plate

研究板振动问题时，需建立形变分量与位移的关系，也就是振动响应的几何方程，通过此方成能将振动位移分量与各应变分量联系起来。应力根据按照几何关系和Mindlin 弯曲理论，对于单层板可得到位移应变关系为

其中应变关系分为面内应变{ε0}，横向剪切应变{γ}，及弯曲应变{χ}。

对于各向同性的材料，一般认为z 轴方向的变形和x 及y 轴方向的变形相比较小，则可近似σz=0，τyz= τzx= 0，运用胡克定理来表示为建立形变分量与应力的关系，也就是振动响应的物理方程

式中:Qmn为板的刚度系数;Q11= Q22= E/1 - υ2，Q12=Q21= Eυ/1 - υ2，Q44= Q55= Q66= G = E/2(1 + υ2)E 为板的杨氏模量;υ 为泊松比;G 为剪切模量。

最后建立边界条件方程，简支矩形板的振型函数为φmn(x，y)= sin(αmx)sin(βny)，则板结构的线自由度及转角自由度可表示为:

式中:Amn，Bmn，Cmn，Dmn和Emn为各自由度所对应的主则坐标。通过Rayleigh - Ritz 变分法求解振动问题，关键是表示出结构的动能和应变势能，一旦式(8)中的振动位移确定，就能确定系统的能量。这里只考虑横向位移引起的动能，应变能综合考虑拉压变形、弯曲变形以及剪切变形引起的应变势能。则结构的动能可表示为:

应变势能可表示为:

结合式(8)可表示出应变势能，将式(9)第2 项和第3 项代入式(10)并在整个面内积分，可得拉压应变势能的主则坐标的表达式为:

式中Rmn为拉压比例系数，则拉压应变势能可表示为:

同理，可假设剪切应变与横向位移的关系为:

式中Pmn为剪切比例系数，则拉压应变势能可表示为:

弯曲应变势能中只含Amn一个未知量，直接对式(8)进行积分即可求出弯曲应变势能。结合式(14)和式(15)以及积分表达式(9)可获得结构的总应变势能为:

简写为矩阵的形式为

式中Lmn为应变势能的总比例系数。利用粘弹性层减振降噪技术，主要是利用其在受交变应力作用时，变形滞后于应力的变化，这种滞后将振动体的动能一部分转化为热能而消耗掉，一部分以应变的形式

式中含有2 个未知量Bmn和Cmn，如果要求解出3 种应变势能共需要求解5 个主则坐标，Amn易于求出，其余4 个量求解较困难。针对上述问题，Ungar针对简支梁模型［10］，将结构的拉压应变表示成横向位移的形式，这样简化了模型并且降低了求解系数矩阵的维数。则简支板结构的相应近似关系可表示为:存储起来，进而达到减振降噪的目的。从而可知，在计算粘弹性层时主要考虑的是其拉压的变化，因此粘弹性层的横向剪切变形不可忽略，但对于弹性层(基板、约束板)刚度较大，主要发生的是弯曲变形以及拉压变形，因此可忽略粘弹性的横向剪切变形，则Lmn表示为:

通过以上分析可知，总的应变势能中的未知量只有Amn。运用哈密尔顿(Hamilton)原理对整个结构系统的能量进行变分处理，则能求出Amn。结构系统涉及的能量包括横向位移引起的动能、应变势能外载荷能量以及流体介质反作用施加的能量。前2 种能量在上述分析中已给出，后2 种能量的表达式为:

式中:f(x，y，0)为外载荷;P(x，y，0，t)为结构表面声压。结构在(x0，y0)处受到简谐激励载荷的作用，则Vexcition= F0(t)w(x0，y0，t)。

1.2 声辐射阻抗公式推导

声辐射阻抗为复杂的四重积分，很难直接计算出，通过坐标变换可将四重积分化为二重积分，坐标变换时令ε = 2x/a，η = 2y/b，ε′ = 2x′/a，η′ =2y′/b，结合变换坐标有μ = ε - ε′，ν = ε′ 及μ′ =η -η′，ν′ = η′。则辐射阻抗可表示为

为坐标变换后的格林方程

通过式(20)成功将声辐射阻抗矩阵化为二重积分求解的形式，Fmp(μ)和Fnq(μ′)很容易得到，大大降低了求解的难度。由声场互易性原理知，辐射阻抗矩阵是对称矩阵，其对角线元素对应自辐射阻抗，且恒为正，非对角元素对应互辐射阻抗，且呈稀疏排列。自辐射表示第(m，n)阶振动模态对声辐射的贡献，互辐射表示第(m，n)与(p，q)阶模态之间的耦合对声辐射的贡献。(m，n)与(p，q)为同类型时互辐射不为0，其余情况下均为0。

1)当(m + p)为奇数时，Fmp(μ) = 0;当Fmp(μ)≠0 时，Fmp(μ)= Fpm(μ)。

2)当m = p 时，代表自辐射阻抗值

3)当m ≠p 时，代表互辐射阻抗值

采用Gaussian 方法求解Zmn，pq，因为高斯求积分针对积分范围为［-1，1］，需要转换积分象限。则高斯求解方程可表示为

式中，Ng为高斯积分阶数;Pr和Ps为高斯求积节点;μr和μ′s为相应的求积系数。

1.3 矩形板声学问题

推导出结构的振动响应，通过根据赫尔姆兹声学方程以及边界连续声压条件则可将振动横向位移与声压联系起来，再接合辐射阻抗以及结构振动速度则可求出声辐射特性参数，赫尔姆兹声学方程以及结构表面的连续边界条件

结构表面声压可由瑞利积分获得

剔除时间部分ejωt，结合式(22)及式(23)可获得流体介质反作用的能量

表示为矩阵形式为

根据哈密尔顿(Hamilton)原理，结构系统的总能量满足关系式

利用拉格朗日方程求解式(26)有:

由于结构受到简谐激励作用，则结构振动体现简谐变化规律，若剔除时间部分ejωt，式的矩阵形式为:

式中:Mmnpq为质量矩阵;Kmnpq为刚度矩阵;{fmn}为外部激励载荷向量。质量矩阵和刚度矩阵具体表达式为:

表征结构阻尼性能最常用的量是结构损耗因子，它的物理意义是表征每振动一次所损耗的能量与原有总能量的比值。阻尼层即利用其大阻尼的特性而达到减振降噪的效果，考虑结构的阻尼作用时，弹性模量为复数= E(1 +jη)，η 为第i 层板的结构损耗因子，则相应量的复数形式为和

式(28)给出了考虑流固耦合作用下板结构的振动方程，获得了唯一的未知量Amn，则可获得结构的声学特性，均方速度、声辐射功率以及辐射效率可表示为:

2 仿真分析

以铝材料为例进行实例分析，密度ρp= 2.680 ×103kg/m3，结构几何尺寸为:a = 1.0 m，b = 0.8 m，h = 0.005 m;结构损耗因子η = 0.01，泊松比υ =0.33，弹性模量E = 6.6 × 1010N/m2，空气密度ρ0= 1.293 kg/m3，声速c0= 340 m/s，水密度ρ =1 000 kg/m3，声速c = 1 400 m/s，激励幅值F = 1，点激励力位置为(0.5，0.4)。

2.1 模态叠加效应及振动模态耦合

模态作用效应与结构总体体现的关系如图2 所示，图2(a)将均方振速进行归一化处理，表示各阶振动模态对结构振动响应贡献量，图中的波峰对应的频率表示结构的自然频率。在结构发生共振时，该阶模态振动所引起的辐射声是板结构被激噪声的主要构成，尤其是前几阶模态的振动程度直接决定了结构的整体辐射噪声水平。图2(b)给出了模态辐射效率与总辐射效率对比图，从中可以看出，低频段时模态辐射效率呈现较大差异，结构的声辐射能力主要取决于低阶振动模态，此时平均辐射效率随激励频率的变化呈现一定的波动，这是由于简支板为有限结构，振动波在边界存在反射，振动波相互叠加产生驻波效应。随着频率的增大，有限结构振动特性趋近于无限结构，边界处反射作用减小，曲波波长减小，辐射效率趋向于1。

图2 声振特性中模态量与总量的关系图Fig.2 The relationship between modal and total of vibro-acoustic characteristics

图3 给出了(1，1)，(2，3)模态的自辐射阻抗以及(11，13)， (21，43)阶模态的互辐射阻抗。从图中可知，自辐射阻随着频率的增大逐渐趋近于1，自辐射抗部分逐渐趋于0，但自辐射阻抗始终大于0。由于模态间的耦合作用，互辐射阻抗有在0 附近波动，随着频率的增加，最终趋于0，互辐射阻抗幅值较自辐射阻抗相差约一个数量级，在低频时模态的耦合效应较强，从而可知只有在高频计算结构声辐射时不需考虑模态之间的耦合效应。因此在计算结构输出声功率时必须考虑到结构模态间的耦合。

图3 辐射阻抗的实部与虚部Fig.3 The real part and imaginary part of radiation impedance

2.2 水中、空气中声振特性对比分析

图4 给出了空气介质和水介质中结构的声振特性。从图4 (a)中可知，水介质中结构的均方速度峰值较空气中整体前移，这是因为流体-结构耦合系统在振动平衡状态下，附加质量使水中结构的各阶共振频率降低，附加质量体现为声辐射抗部分。从图4 (a)与4 (c)可看出，均方振速和辐射效率曲线因其水介质的作用，在数值上都有较大幅度下降，声辐射效率最大相差达到2 个数量级。虽然水中的辐射效率远小于空气中的辐射效率，但由于水中的特性阻抗(ρc)较大，水介质的特征阻抗约为空气的3 500 倍，这表明较小的速度将会辐射出较大的能量，如图4 (b)所示，水介质中辐射声功率较大，同时还可知随着频率的升高水介质的结构振动响应和辐射声功率更易衰减。

图4 不同介质中结构的声振特性Fig.4 Vibro-acoustic characteristics of the structure in different modal medium

3 结 语

本文以Mindlin 板弹性理论为基础，考虑结构横向剪切振动，通过近似替代将结构的线自由度和和转角自由度均表示成横向位移的形式，进而导出了矩形简支板振动方程。结合结构的振动方程，采用变分法建立了水中矩形简支板的流- 固耦合方程，分析了单一模态量和整体量的相互关系，讨论了自辐射模态和互辐射模态的变化规律，对比分析了空气中和水中结构声振特性。研究表明:低频时振动模态的耦合较明显，在计算结构声功率输出时必须考虑振动模态的耦合，高频时可忽略。

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