可怜的木棍

卢声怡

上一期，孔子和弟子们转个圈圈就找到了多边形的外角和规律。这一期，他们竟然玩起了木棍，这次又要解决什么数学难题呢？来，我们听故事吧！

我揉着惺松的睡眼，走出宿舍，猛然看到一个身影蹲在前廊旁边，吓了我一跳。这人和孔老师一样，穿着宽袍大袖的衣服，但却捋起裤管露着两条大毛腿，没有一点儿孔老师的斯文样。看他正用树叶兜着一大把细砂，在那儿反复削磨着手里的圆木棍。

“难道是小偷？”我不由得胡思乱想起来。我从墙后面找来块石头，把它握在手里当兵器，悄悄地绕到前面，跳了出去，正想拿石头往这“坏蛋”的脑门上招呼，仔细一看，连忙抓紧差点儿出手的石头。原来，蹲在那儿对木棍又削又磨的，是孔老师！

“孔老师，您在做什么呀？”我好奇地问。

“你来猜一猜，这根黄花梨木的棍子有多长？”孔老师立起身来，挥着手里的木棍，笑嘻嘻地问我。我发现木棍已经被孔老师加工得油光水滑，煞是可爱。

“目测是1米，也就是100厘米。”我脱口而出。

“不错，你对长度的估测能力很强。”孔老师微笑地点点头。

听到孔老师的表扬，我信心倍增。看了看孔老师手里的木棍，我虚心请教：“您拿这根木棍干什么呢？啊，我知道了，您是要把它削到很细很小，把它用在算盘上？或者是再小一些，变成古老的算筹？还是要把它磨成一根牙签？”

“你是想起昨天宰予说的那则新闻了吧？”孔老师哭笑不得。

宰予可是我们班的消息通，经常在教室里召开“新闻发布会”，也不知道他那些稀奇古怪的事都是从哪儿听来的。昨天，他讲了一件很有趣的事：一个人想制作一个“最珍贵的宝贝”，于是把自己家门口的一棵千年银杏树伐倒，然后一直削，花了大半年时间，终于把银杏树削成了一根牙签，当然这人成了铺张浪费的笑柄。

“我是打算制作一些黄花梨木的圆柱，以供大家研究立体图形的规律时使用。”作为杏坛学校的创始人，孔老师身兼校长、老师、保安、敲钟人、维修师傅等各项重任。为了省钱，凡是能自己制作的教学用具，他都尽量自己制作。

“那您打算怎么做呢？我看直接平均分吧，切成20段、50段、100段都可以啊，我来帮您……”说着，我想接过孔老师手里的锯子。

“不、不、不，我从一册古卷上查到一种特别的切法，你看。”孔老师指了指旁边的一卷竹简，上面写着：取一百厘米圆木棍一根，左而右每六厘米点之，右而左每五厘米点之，继以点处锯开则得。

“这什么意思？”我有点儿不明白。

“读古文的秘诀就是——连猜带蒙。”孔老师笑着说，“意思就是取100厘米长的圆木棍一根，从左往右，每隔6厘米点一下；再从右往左，每5厘米点一下；最后从有点的地方锯开。”

“我明白了，那我们赶紧动手，一起来‘虐待这根可怜的木棍吧！”我跃跃欲试，可是又被孔老师拦住了。

“你忘记我告诫你们的话了吗？‘学而不思则罔，思而不学则殆，只知道跟着做，却不想想为什么这么做，这样是不可取的；反过来，只思考不动手也不行。所以，在你动手操作之前，一定要认真分析一下这些要求，问问自己是否都明白了。”

仔细一思考，我还真是有了大收获。我欣喜地叫起来：“其实，从右而左每5厘米点一点和从左而右每5厘米点一点，它们的效果是一样的。”

“为什么？”孔老师笑眯眯地望着我。

“因为100厘米正好是5厘米的20倍，也就是100能被5整除。前面说的从左而右每6厘米点一点，因为100除以6有余数，就不能改成从右而左了。”我有把握地继续说，“经这样一改，两次都是从左而右。”

我接过孔老师手里的笔和尺子，由左到右仔细地边量边做标志。我在黄花梨木棍上每6厘米点一点，很快就均匀地标出了一排整齐的红点。最后一个点离木棍的最右边有4厘米的距离，显得最后一段木棍特别短。其实这不奇怪，因为100除以6，最后的余数就是4厘米嘛。

“再来5厘米一点。”我继续用笔和尺子，重复刚才的步骤，很明显5厘米一点比6厘米一点更容易找。一会儿，在黄花梨木棍上由左而右、均匀地又留下了一些红点。这次每两个红点之间的间隔是5厘米，红点距离更紧凑了。有意思的是，我在点的时候发现有一些红点和前面标记的红点恰好在同一个位置，它们重合在一起了。

“哪些红点是两次的红点合起来的呢，你还记得吗？”孔老师突然问我问题，我愣住了。我心想：怎么不早一点儿问我？如果知道您会问我这个问题，我就用不同颜色的笔标记了。现在我哪还记得呀！

不过，思考片刻，我有了主意，对孔老师说：“那些重合的点所在的位置不就是5的倍数，同时又是6的倍数吗？也就是5和6的最小公倍数30的倍数。”

听了我的分析，孔老师很满意，他补充了一句：“最小公倍数就是所有的公倍数中最小的那个。”

经孔老师的点拨，我不再傻乎乎地从头去找，而是直接找30的倍数的那些点，并做上蓝色记号。这次，在木棍上，每隔30厘米就被清晰地标记着一个蓝色的点，不多不少，一共有3个。

“现在，我们可以把它锯开了。但锯开之前，你知道木棍一共被分成了几段吗？”孔老师总有问不完的问题。

这个问题我确实要好好想想。5厘米一点一共有100÷5-1=19（个）点，因为100÷6=16……4，所以6厘米一点一共有16个点，重复的点有3个，那么一共就有19+16-3=32（个）点。木棍上有32个点，锯开之后，不就应该有32+1=33（段）吗？

我把思考后的结果跟孔老师一说，孔老师却冷不丁地又问了我一个问题：“那你知道锯开后的这些长长短短的圆柱木段里面有多少段正好是1厘米的长度吗？”

“这简单呀，锯开后数一数就知道了。”我挥了挥锯子，准备动手。

“唉，学而不思则……”孔老师提醒我。

我不好意思地摸摸脑袋：“其实不用锯，直接看上面的点，同样也能数清楚。”

我正要开始数呢，孔老师又摇头晃脑地说：“学而不思则……”

“我已经‘思了呀，数上面的点就好了。” 我很不服气，可孔老师却丝毫没有顾忌我的情绪，继续发问：“那如果是更长的木棍呢？200厘米，300厘米，400厘米，又该怎样？”

我接过孔老师手里的一米木棍，仔细观察起来。从左边开始，一厘米一厘米地往右看着，瞬间我有了新发现：因为每30厘米的情况是一样的，所以我根本不需要数整根100厘米的木棍上有多少段1厘米，只要数前面这30厘米就行了。

解决了难题，我终于可以得意地笑出声来。没想到，从这简简单单的一根木棍上，我们居然能研究出这么多秘密来。最好玩的是，我们并没有把这根可怜的木棍锯开，仅仅靠想象、分析和推理就把问题给解决了。

数学点睛：木棍上的点数与段数之间的关系，是 “植树问题”模型。两种不同的点和它们之间重复的点，是“重复问题”。两种数量组成的集合中含有的元素，等于这两个集合元素个数的和，减去它们之间重复的元素的个数。最后，在解决“1厘米长的木段有几段”时，我们通过找规律的办法，发现了周期现象。你现在知道答案了吗？100÷30=3……10，这余下的10厘米中还含有一段1厘米的，所以1厘米长度的木段有3×2+1=7（段）。