数学建模思想融入高职高等数学教学的探索与实践

齐圆华 李志平 杨亚辉

摘要：本文针对目前高职院校高等数学线性代数模块教学的现状，探讨了在线性代数教学中从概念、例题和课后习题三方面融入数学建模思想和方法的尝试，并举例说明结合数学建模的思想方法使其抽象的理论形象化，提高教学效果及应用数学的意识。

关键词：线性代数;数学建模思想;教学;案例

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）21-0146-03

引言

当前，高考第五批和中专对口升学学生成为高职院校的主要生源，高等数学在高职院校不仅是工科学生公共必修课，同时也为经济类的专业基础课，对学生学习后续专业课程非常重要。但学生数学基础相对薄弱，对学习不感兴趣，自制力差。而学生对线性代数抽象的概念定理及其冗繁的计算难以接受成为线性代数教学的突出表现，因此，在线性代数教学中融入数学建模思想方法是解决学生理解困难和实现教学目标的有效途径。

一、高职院校线性代数教学情况与建模发展概况

1.线性代数教学情况。行列式、矩阵和线性方程组是目前高职院校线性代数部分教学的主要内容，所用的教材是以理论计算为主体，教学偏重其基本定义和定理，过分强调理论学习，忽视其方法和应用，有关线性代数应用实例几乎不涉及。再者高职院校高等数学总体课时少，因此线性代数部分课时也非常有限，但其理论抽象，内容较多，教师在课堂上大多采用填鸭式的教学方式，导致该课程与实际应用严重脱离，造成了学生感觉线性代数知识枯燥，计算繁杂，学习它无用处，大大降低了学生的学习热情。

2.数学建模及其发展概况。数学建模的基本思想是利用数学知识解决实际问题，是对问题进行调查、观察和分析，提出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数量关系;并利用数学知识和Matlab、Lingo、Mathematics等数学软件求解所得到的模型;再用所得结论解释实际问题，结合实际信息来检验结果，最后根据验证情况来对模型进行改进和应用[1]，它使学数学与用数学得到统一。

数学建模大专组竞赛开展已有15年，参赛的高职院校逐年增加，我院在多年的参赛中取得了一定的成果，但因数学建模难度大和学生数学基础薄弱以及高职院校学制的原因，参加数学建模培训的学生基本为大一新生，而且只有小部分，明显受益面小。

二、数学建模思想融人线性代数教学中的具体实施

线性代数因其理论抽象，逻辑严密，计算繁琐，让人对其现实意义感受不到，使高职学生学习起来有困难，也就很难激发学生的学习兴趣，因此，线性代数教学过程中就要求教师介绍应用案例应体现科学性、通俗性和实用性。

1.数学建模思想融入线性代数理论教学中。线性代数中的行列式、矩阵、矩阵乘法、线性方程组等复杂抽象的概念都可以通过实际问题经过抽象和概括得到，故而可以恰当选取一些生动的实例来吸引学生的注意力，通过对实际背景问题的提出、分析、归纳和总结过程的引入线性代数定义，同时自然地建立起概念模型，让学生切实体会把实际问题转化为数学的过程，逐步培养学生的数学建模思想。比如讲授行列式定义之前，可以引入一个货物交换模型，并介绍模型是由诺贝尔经济学奖获得者列昂杰夫（Leontief）提出，让学生拓展视野。引导学生分析问题，建立一个三元线性方程组来求解该问题，再以此问题引出行列式，使学生了解行列式应用背景是为求解线性方程组而定义的。从简单的经济问题入手，让学生了解知识的应用背景，使学生感受到学习行列式是为生产实践服务的，提高学生学习的积极性[2]，明确学生学习的目的性。

2.数学建模思想融入线性代数案例教学中。选择简单的实际案例作为线性代数例题，给学生讲授理论知识的同时引导学生对问题进行分析，对案例进行适当简化并做出合理假设，再建立数学模型并求解，进而用结果解释实际案例，学生通过这样的学习过程容易理解掌握理论知识，同时也体会了数学建模的基本思想，更让学生认识到线性代数的实用价值，而且有利于提高学生分析问题和解决问题的能力[3]。对于不同的专业，可以根据专业需要引入相应的数学模型，但专业性不能太强，由于大一学生还暂时没有学，因课时限制，在线性代数课堂教学中应该采用简单的例子。比如经管类专业的学生学习矩阵和线性方程组的相关例题时，可以分别选择简单的投入产出问题和互付工资问题的数学模型;而电子通信类专业的学生学习矩阵和线性方程组的相关例题时，可以加入简单的电路设计问题和电路网络问题的数学模型。

3.数学建模思想融入线性代数课后练习中。高职院校线性代数教学内容侧重于理论，课后习题的配置大多数只是为学生巩固基础知识和运算技巧的，对线性代数的定义、定理的实际应用问题基本没有涉及，学生的实际应用训练不够，因此适当地补充一些简单的线性代数建模习题，让学生通过对所学的知识与数学建模思想方法相结合来解决。我们从两个方面具体实施：（1）在线性代数课程中加入Matlab数学实验，利用2个学时介绍与行列式、矩阵、线性方程组等内容相关的Matlab软件的基础知识，再安排2个学时让学生上机练习并提交一份应用Matlab计算行列式、矩阵和线性方程组相关内容的实验报告。（2）针对所学的内容，开展1次数学建模习题活动，要求学生3人一组利用课余时间合作完成建模作业，作业以小论文形式提交，提交之后，教师让每组选一个代表简单介绍完成作业的思路和遇到的问题，其余队员可作补充，再针对文章的不同做出相应的点评并指出改进的方向。通过这种学习模式，不但提高学生自学和语言表达以及论文写作能力，而且利于培养学生团队合作和促进师生关系，教学效果也得以提升。

4.数学建模思想的案例融入线性代数教学中。

案例1：矩阵的乘积。

现有甲、乙、丙三个商家代理某厂家的A、B、C、D四款产品。四款产品的每箱单价和重量分别为A：20元，16千克;B：50元，20千克;C：30元，16千克;D：25元，12千克。甲代理商代理的产品与数量分别为A：20箱，B：5箱，D：8箱。乙代理商代理的产品与数量分别为B：12箱，C：16箱，D：10箱。丙代理商代理的产品与数量分别为A：10箱，B：30箱。求解三家代理商代理产品总价和总重量。

模型假设：①在没任何促销优惠措施下严格按照单价和数量计算总价;②同款产品对即使不同级别的三家代理商执行同样的单价。

模型建立：由已知数据分析可知，发往各代理商的产品类别不尽相同，通过用0代替，可以列成表。由此，分别将产品的单价和单位重量，各代理商代理的各款产品数量以及产品总价和总重量用表1、表2、表3来表示：

模型求解：用三个矩阵表示以上三个表格，

A=20 50 30 2516 20 16 12，B=20 0   10  5 12 30  0 16   0  8 10   0，

矩阵C的元素c是矩阵A的第一行元素与矩阵B的第一列对应的元素乘积之和，即

同理有

于是得

C=850 1300 1700516  616   760。

模型分析：对以上算法进行抽象可得到两个矩阵相乘的定义，设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，即A=（a）m×s，B=（b）s×n A与B的乘积是一个m行n列矩阵C=（c）m×n，记为C=AB。矩阵C的元素c是用矩阵A第i行元素与矩阵B第j列对应元素乘积之和求得[4]。

案例2：互付工资问题。

木工、电工、油漆工准备相互装修他们的房子，他们有如下协议：（ⅰ）每人为另外两人和自己工作的时间为10天，（ⅱ）按照一般市场价，每人每天工资范围是60～80元，（ⅲ）每人每天的工资应使的其总收入等于总支出。工作情况如表4。

计算每人每天的工资。

模型假设：①每人每天工作情况正常，不能偷懒;②每人每天工作时间长度相同，不加班。

模型建立：设木工每天的工资x元，电工y元，油漆工z元，可得

2x+y+6z=10x4x+5y+z=10y4x+4y+3z=10z，即-8x+y+6z=04x-5y+z=04x+4y-7z=0 （1）

模型求解：执行Matlab命令求得方程组（1）通解为x=k（31/36，8/9，1）。根据每人每天工资范围是60～80元得≤k≤80，取k=72，则木工62元，电工64元，油漆工每天工资72元[5]。

通过以上两个简单直观的案例可以让学生了解学习矩阵、线性方程组是与实际应用密切相关，充分体会它们在解决实际问题中的用途，像这样融入数学建模思想的案例在线性代数中很多，适当的引入类似的案例不但让学生对知识易于接受，对理论也方便深入学习，而且增强学生学习主动性和数学的应用意识。

三、改革的初步成效

数学建模思想方法与线性代数的教学适当结合并灵活运用，这一教学改革提高了学生们的能力和素质，主要表现在以下几个方面：（1）熟练掌握Matlab等数学软件的使用，利用数学软件加深了数学理论知识的理解和应用;（2）学生学习积极性明显提高，启发学生初步产生用数学解决实际问题的意识;（3）学生已逐步形成一种建模思维，逐步形成良好的分析和处理问题的习惯。另外，适时应用数学建模思想教学，促进了线性代数教学方法的改进，提高教学水平和教学效果，利于高职高等数学的教学改革进一步推进和课程建设的长效发展。

总之，在高职院校高等数学各个教学模块中逐渐地融入数学建模思想方法，能使学生的数学素养有较大提高，并对教师教学理念的转变起到促进作用。

参考文献：

[1]许小芳.数学建模思想融入线性代数教学的探索[J].湖北理工学院学报，2013，10（5）.

[2]韦程东，周桂升，薛婷婷.在高等代数中融入数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛，2008，8（4）.

[3]岳晓鹏，孟晓然.在线性代数教学改革中融人数学建模思想的研究[J].高师理科学刊，2011，7（4）.

[4]张小向.线性代数课程教学中怎样体现数学建模思想[J/OL].（2009-11-04）.

http：//www.paper.edu.cn/.

[5]陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数[M].北京：电子工业出版社，2007.